专题08 有理数的混合运算-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题08.有理数的混合运算 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、加减乘除混合运算 3 题型2、含乘方的有理数混合运算 7 题型3、有理数混合运算与运算技巧 10 题型4、有理数混合运算--程序框图 14 题型5、有理数混合运算--24点游戏 16 题型6、有理数混合运算--新定义 17 题型7、有理数混合运算的实际应用 20 基础通关 26 拓展提优 34 1. 掌握有理数的混合运算的基本概念和方法； 2. 理解混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序； 3. 能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程； 4. 能够熟练运用有理数混合运算解决相关应用问题。 【思考1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”。 对于下面的计算：，运算顺序有是怎样的呢？ 【24点游戏】‌ 24点游戏 的起源可以追溯到20世纪60年代的 中国 或 美国 ，具体起源尚有争议‌。一种说法是24点游戏由美籍华人孙士杰 在20世纪60年代发明，旨在帮助孩子提升心算能力‌。另一种观点认为，24点游戏是西方数学教育中“算术组合游戏 ”的变体，类似玩法在西方早已存在，并在20世纪80年代由美国出版商 商业化推广至全球‌。 游戏规则：24点游戏的规则非常简单：使用一副扑克牌（去掉两个王），随机取四张牌，牌上的数字通过加、减、乘、除四则运算组合成24。玩家需要在规定时间内找出所有可能的运算组合，使得结果等于24。 24点游戏的历史影响：24点游戏因其教育意义和智力挑战性，逐渐风靡全球，并进入了中小学数学课本。它不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还促进了大脑的灵活性和逻辑思维能力。‌ 【思考2】游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式。 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型1、加减乘除混合运算 【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘除，后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)；(3)； (4)． 例2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 变式4．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 题型2、含乘方的有理数混合运算 【解题技巧】含乘方的有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)；(2)． 例2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算：(1)(2) 变式1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) (3) (4)． 题型3、有理数混合运算与运算技巧 【解题技巧】运用运算律简化计算常见技巧： 加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 例1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 例2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)． 变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)； (4)． (5)； 题型4、有理数混合运算--程序框图 【解题技巧】程序框图解题通用步骤： （1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。 （2）‌分步代入计算 （3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。 注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若输入的x值为正整数，输出的结果为556，则输入的x值是 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ． 题型5、有理数混合运算--24点游戏 【解题技巧】24点游戏易错点： 1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数； 2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误； 3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合。 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 变式1．（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 变式2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 题型6、有理数混合运算--新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 解题步骤：（1）‌破译定义规则‌ ①‌提取关键符号含义‌：明确新定义中运算符的转化公式；②‌优先级判定‌：注意新运算符与常规运算的优先级关系；②‌示例对照验证‌：通过题目给出的示例反推规则细节。 （2）‌分步代入转化‌ ①‌数值替换‌：将题目数值代入新定义公式，严格遵循运算层级；②嵌套运算处理‌：逐层解析复合表达式 （3）‌逆向推理验证‌‌：从结果反推输入值（如已知新定义结果，构造方程求解未知数）。 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 例2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 变式1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不超过x的最大整数如，计算下列各式的值： ； ． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：．①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 题型7、有理数混合运算的实际应用 【解题技巧】有理数混合运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，图书馆、小明家、社区服务中心和超市在同一条笔直的马路上．若小明家位于图书馆和超市连线段上靠近图书馆的三等分点处，则社区服务中心和超市的距离为 m． 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（  ） A．35 B．82 C．83 D．135 例3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为__． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 变式1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；（2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】（3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，解决税收中的数学问题． 素材1 我国新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资扣除各项费用后超过5000元的部分这部分称为“应纳税所得额”需要缴纳税收． 应纳税所得额=月工资专项项目金额 个人所得税税率表参考右表． 个人所得税税率表工资薪金所得适用 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分      2 超过3000元至12000元的部分      3 超过12000元至25000元的部分      4 超过25000元至35000元的部分     5 超过35000元至55000元的部分      素材2 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目各类保险、公益捐赠等 素材3 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元． 任务1 简单计算税额 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员工缴纳的税额为______元． 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额． 任务3 确定捐款金额 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100元，求该技术专家在该月份捐款的金额不超过2000元 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小华在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（    ） A．－1010 B．－1011 C．－1012 D．－1013 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ） A．58 B．63 C．68 D．73 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正六边形（每条边、每个角都相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．F点 4．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）把一根长厘米的小棒，按截成三段，用这三段小棒首尾相接正好围成了一个直角三角形．这个三角形的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 5．（2025·湖北·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 7．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）规定“”是一种新的运算法则，满足：，则 ． 9．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示数，现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个长度单位到达点，按照这种移动规律进行下去，第2024次移动到点，那么点所表示的数为 ． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算的值为 ． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 13．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 15．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)；(2)；(3)． (4)；(5)．（6）． 16．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）规定一种新运算“※”，两数m，n通过“※”运算得，即，例如：，根据上面规定解答问题： (1)求的值；(2)与的值相等吗？为什么？ 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）七（）班数学学习兴趣小组按照苏科版数学课本七年级上册第章“数学探究”《算“”》中的方法玩算“”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方的混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为．其中分别代表，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的张牌分别是黑桃、方块、梅花、红桃，请你列出算得的三个不同式子： (1)______；(2)______；(3)______． 18．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·七年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，，所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题：(1)计算：； (2)计算：．(3)计算： 4．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算：；； ；； ；； (1)【发现】归纳*运算的法则：两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________．(2)【实践】计算：________．(3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料，回答下列问题： 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式，______；______； (3)想一想，将一个非零有理数a的n（）圈次方写成乘方幂的形式等于______； (4)算一算： 6．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【问题背景】 七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了； （1）小薇、小娟两位同学的办法中______办法是可行的． 【变式探究】（2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【拓展延伸】（3）在1，2，3，4，…，2006，2007共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如果，我们把数和称为等式的“共和数对”，记作．(1)，可以称为等式的“共和数对”的是________； (2)若是等式的“共和数对”，求的值； (3)已知为常数，无论取何值，总是等式的“共和数对”，求的值． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如下表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母，，依次对应数字1，2，3，……，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“”，英文字母“”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题：(1)密文“”破译成明文为_________；(2)若破译后的明文为“”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由；(3)是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08.有理数的混合运算 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、加减乘除混合运算 3 题型2、含乘方的有理数混合运算 7 题型3、有理数混合运算与运算技巧 10 题型4、有理数混合运算--程序框图 14 题型5、有理数混合运算--24点游戏 16 题型6、有理数混合运算--新定义 17 题型7、有理数混合运算的实际应用 20 基础通关 26 拓展提优 34 1. 掌握有理数的混合运算的基本概念和方法； 2. 理解混合运算中加、减、乘、除、乘方的优先级顺序； 3. 能够熟练进行有理数混合运算，并正确解释计算过程； 4. 能够熟练运用有理数混合运算解决相关应用问题。 【思考1】在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”。 对于下面的计算：，运算顺序有是怎样的呢？ 【24点游戏】‌ 24点游戏 的起源可以追溯到20世纪60年代的 中国 或 美国 ，具体起源尚有争议‌。一种说法是24点游戏由美籍华人孙士杰 在20世纪60年代发明，旨在帮助孩子提升心算能力‌。另一种观点认为，24点游戏是西方数学教育中“算术组合游戏 ”的变体，类似玩法在西方早已存在，并在20世纪80年代由美国出版商 商业化推广至全球‌。 游戏规则：24点游戏的规则非常简单：使用一副扑克牌（去掉两个王），随机取四张牌，牌上的数字通过加、减、乘、除四则运算组合成24。玩家需要在规定时间内找出所有可能的运算组合，使得结果等于24。 24点游戏的历史影响：24点游戏因其教育意义和智力挑战性，逐渐风靡全球，并进入了中小学数学课本。它不仅锻炼了玩家的数学运算能力，还促进了大脑的灵活性和逻辑思维能力。‌ 【思考2】游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式。 有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 题型1、加减乘除混合运算 【解题技巧】有理数混合运算的顺序：(1)先乘除，后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)；(3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 例2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式            ． （2）解： ． （3）解：， ， ， 变式1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意；故选：D． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)9(2)0(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式4．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； 【答案】(1)(2)18(3)(4)2.2(5)(6)(7) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； 题型2、含乘方的有理数混合运算 【解题技巧】含乘方的有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 例1．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）计算：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4)15 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解： ． （4）解：原式 ． 变式2．（24-25七年级上·江苏·期中）计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解：原式 ． 题型3、有理数混合运算与运算技巧 【解题技巧】运用运算律简化计算常见技巧： 加减法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 乘除法：①运用结合律，将能约分的先结合计算；②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；③带分数应先化为假分数的形式；④几个分数相乘，先约分，在相乘；⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 例1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 例2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）简便计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)8(2)(3)(4)(5)26(6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)； (4)． (5)； 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．(5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． （5）解：原式 ； 题型4、有理数混合运算--程序框图 【解题技巧】程序框图解题通用步骤： （1）‌明确运算结构‌：①识别流程图中运算模块的先后顺序（如加减、乘除、乘方的位置）；②特别注意条件判断模块的阈值。 （2）‌分步代入计算 （3）‌循环终止判断‌：①每次计算结果作为新输入值；②结果满足阈值条件时终止循环。 注意：建议优先掌握运算顺序可视化方法与循环终止条件的快速判定技巧，配合至少3种不同类型的流程图案例进行专项训练。 例1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，，解得：，， ，，故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，是一个运算程序的示意图，若输入的x值为正整数，输出的结果为556，则输入的x值是 ． 【答案】22或111/111或22 【详解】解：若一次输出结果为556，则，解得：，是正整数； 若第二次输出结果为556，则，解得，是正整数； 第三次输出结果为556，则，解得：，不是正整数； 综上所述，开始输入的x值是22或111故答案为：22或111． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）王军同学在自学了电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是3，则输出的数为 ． 【答案】 【详解】解：输入的数是3，，绝对值小于 输入，，绝对值大于则输出 故答案为：． 题型5、有理数混合运算--24点游戏 【解题技巧】24点游戏易错点： 1）‌忽略分数可能性‌：认为必须全部整数运算，实际可用分数； 2）‌运算顺序错误‌：漏加括号导致优先级错误； 3）‌固定思维局限‌：过度追求乘法对，忽略加减法组合。 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 变式1．（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意知，抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，， 可得，故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，故答案为：（答案不唯一）． 题型6、有理数混合运算--新定义 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。 解题步骤：（1）‌破译定义规则‌ ①‌提取关键符号含义‌：明确新定义中运算符的转化公式；②‌优先级判定‌：注意新运算符与常规运算的优先级关系；②‌示例对照验证‌：通过题目给出的示例反推规则细节。 （2）‌分步代入转化‌ ①‌数值替换‌：将题目数值代入新定义公式，严格遵循运算层级；②嵌套运算处理‌：逐层解析复合表达式 （3）‌逆向推理验证‌‌：从结果反推输入值（如已知新定义结果，构造方程求解未知数）。 例1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如，取，则： 若，则第次“”运算的结果是 ． 【答案】 【详解】解：当，则第1次“”运算的结果是：， 第2次“”运算的结果是：，第3次“”运算的结果是：， 第4次“”运算的结果是：，第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：，第7次“”运算的结果是：， 第8次“”运算的结果是：，… 观察以上结果，从第4次开始，结果就只有两个数循环出现， 且当次数为奇数时，结果是4，次数为偶数时，结果是1， ∵而第次是偶数，∴最后结果是1．故答案为：1． 例2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）阅读理解，解答相关问题． 定义“*”运算：a，b是有理数，，例如；； (1)计算：①；②． (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①8；②82(2)存在，2或6或 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：存在，理由如下：∵，∴， ∵m，n为整数，∴或或或， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为2或6或． 变式1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）设表示不超过x的最大整数如，计算下列各式的值： ； ． 【答案】 【详解】解：，则， 由题意得，，则，． 故答案为；． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ；第步后的数： ；第步后的数： ； 第步后的数： ；第步后的数： ；第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个．故选：B． 变式3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：．①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】(1)②(2)①11；②满足，理由见解析 【详解】（1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②．故答案为：②． （2）解：①当，时，；故答案为：11． ②满足，理由如下：，， ，“”运算满足“反换律”． 题型7、有理数混合运算的实际应用 【解题技巧】有理数混合运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，图书馆、小明家、社区服务中心和超市在同一条笔直的马路上．若小明家位于图书馆和超市连线段上靠近图书馆的三等分点处，则社区服务中心和超市的距离为 m． 【答案】 【详解】解：∵小明家位于图书馆和超市连线段上靠近图书馆的三等分点处， ∴图书馆到超市的距离为：m， ∴社区服务中心和超市的距离为：m．故答案为：． 例2．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在电子工程中，数字电路使用的是二进制系统，而采用八进制编码的数字也经常用于显示屏控制、芯片编程和未处理器设备中．现用二进制计数法表示正整数，例如：．记作，，记作，八进制计数法表示正整数，例如：，记作．则等于八进制中的数为（  ） A．35 B．82 C．83 D．135 【答案】D 【详解】解：化为， 则，那么等于八进制中的数为135，故选：D． 例3．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）阅读材料，解决问题： 参考数据 材料1 谷物、牛奶、牛肉、鸡蛋的蛋白质含量 食品种类 谷物 牛奶 牛肉 鸡蛋 每所含蛋白质 10 3 20 15 材料2 有研究认为，周岁男性每天约需要摄入蛋白质． 问题解决 问题1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，则该份早餐中蛋白质总含量为__． 问题2 某天中学生小强刚好通过谷物和牛肉共实现了蛋白质的摄入量，这天他摄入谷物和牛肉各多少克？ 【答案】问题1：25；问题2：他摄入谷物，牛肉． 【详解】问题1：∴该份早餐中蛋白质总含量为； 问题2：设摄入谷物，则牛肉 由题意得，解得， 所以， 答：他摄入谷物，牛肉． 变式1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）2024年欧洲杯在德国举行．某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． (3)若该款足球纪念品每个生成成本25元，并按每个30元出售，则该工厂本周的生产总利润是多少元？ 【答案】(1)本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个 (2)是达到了计划数量，理由见解析 (3)该工厂本周的生产总利润是350050元 【详解】（1）解：（个） 答：本周生产量最多的一天比最少的一天多生产224个． （2）解：是达到了计划数量，理由： 因为所以达到了． （3）解：（元） 答：该工厂本周的生产总利润是350050元． 变式2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】（1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整；（2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】（3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：，第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：，第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：，第二行第一列数字为：，所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：，第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：，第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：；补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴，解得， 又∵，且数字不重复，∴或， 当时，∴； 当时，∴；综上，的值为或111． 变式3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，解决税收中的数学问题． 素材1 我国新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资扣除各项费用后超过5000元的部分这部分称为“应纳税所得额”需要缴纳税收． 应纳税所得额=月工资专项项目金额 个人所得税税率表参考右表． 个人所得税税率表工资薪金所得适用 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分      2 超过3000元至12000元的部分      3 超过12000元至25000元的部分      4 超过25000元至35000元的部分     5 超过35000元至55000元的部分      素材2 我国专项项目金额常见的由以下几个部分： ①每个子女教育金额2000元；②一套住房贷款金额2000元； ③赡养每位老人金额2000元；④其它规定项目各类保险、公益捐赠等 素材3 某企业一技术专家的月工资是45000元，他有1个读初中的儿子、1个读小学的女儿、1套住房的贷款和赡养2位老人，其它规定项目中各类保险3000元． 任务1 简单计算税额 某员工扣除各项费用后的应纳税所得额为2400元，则该员工缴纳的税额为______元． 任务2 计算个人税额 求该企业技术专家月缴纳的税额． 任务3 确定捐款金额 该技术专家在某月份参加公益捐赠活动后，实际收入40100元，求该技术专家在该月份捐款的金额不超过2000元 【答案】任务1：72；任务2：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元；任务3：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元 【详解】解：（任务1）， 该员工缴纳的税额为元 故答案为：72； （任务2）∵该企业技术专家应纳税所得额为元， 该企业技术专家月缴纳的税额为 元 答：该企业技术专家月缴纳的税额为4090元； （任务3）设该技术专家在该月份捐款的金额为x元，根据题意得： ， 解得： 答：该技术专家在该月份捐款的金额为1080元． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小华在纸上画了一条数轴后，折叠纸使数轴上表示1的点与表示－3的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（    ） A．－1010 B．－1011 C．－1012 D．－1013 【答案】D 【详解】解：依题意得：两数是关于1和的中点对称，即关于对称； ∵A、B两点之间的距离为2024且折叠后重合，则A、B关于对称，又A在B的左侧， ∴A点坐标为：，故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ） A．58 B．63 C．68 D．73 【答案】C 【详解】解：由题知，当开始的数串为2，9，7时， 操作第1次后所产生的新数串为：2，7，9，，7，它们的和为：； 操作第2次后所产生的新数串为：2，5，7，2，9，，，9，7，它们的和为：； 操作第3次后所产生的新数串为：2，3，5，2，7，，2，7，9，，，9，，11，9，，7，它们的和为：；， ∴操作第n次后所产生的新数串的和为 当时，，即操作第10次后所产生的新数串的和为，故选：． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正六边形（每条边、每个角都相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是（   ） A．A点 B．B点 C．C点 D．F点 【答案】C 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上数1对应的是D，数轴上数2对应的是C， 数轴上数3对应的是B，数轴上数4对应的是A，数轴上数5对应的是F，数轴上数6对应的是E，…… 依次类推，每六个点为一组循环，又， 所以连续翻转后数轴上2024这个数所对应的点是C．故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）把一根长厘米的小棒，按截成三段，用这三段小棒首尾相接正好围成了一个直角三角形．这个三角形的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， ∴这个三角形的面积是平方厘米，故选：． 5．（2025·湖北·统考二模）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、；B、； C、；D、； ∵，∴结果最小的运算为C选项，故选：C． 6．（2024·河南漯河·七年级校考阶段练习）计算的值，结果正确的是（    ） A．1 B． C．0 D．或0 【答案】B 【分析】由运算式中的加数一共个数，其中偶次方有个，奇次方有个，从而可得答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，掌握“乘方运算的符号规律的确定”是解本题的关键． 7．（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）计算，结果应是 ． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）规定“”是一种新的运算法则，满足：，则 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏常州·期中）按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为3时， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在数轴上，点A表示数，现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个长度单位到达点，按照这种移动规律进行下去，第2024次移动到点，那么点所表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：，， 故答案为： ． 11．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算的值为 ． 【答案】 【详解】解：原式． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 因为这两个两位数相乘的结果为2176，所以，∵m、n为正整数，∴或， 当时，，因为b、c是10以内的正整数，所以不存在两个正整数的乘积是22，故不符合题意；∴，∴；故答案为． 13．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)11(2)(3)1(4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)2(3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解：原式 ． 15．（24-25七年级上·江苏南通·期末）计算： (1)；(2)；(3)． (4)；(5)．（6）． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；（6） 【详解】（1） ； （2） ． （3） ． （4）解：原式， ； （5）解：原式， ， ． （6）解： ． 16．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）规定一种新运算“※”，两数m，n通过“※”运算得，即，例如：，根据上面规定解答问题： (1)求的值；(2)与的值相等吗？为什么？ 【答案】(1)(2)与的值不相等，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：与的值不相等，理由如下： ，故与的值不相等． 17．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）七（）班数学学习兴趣小组按照苏科版数学课本七年级上册第章“数学探究”《算“”》中的方法玩算“”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽张，根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方的混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为．其中分别代表，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的张牌分别是黑桃、方块、梅花、红桃，请你列出算得的三个不同式子： (1)______；(2)______；(3)______． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴，故答案为：； （2）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴，故答案为：； （3）解：由题意得黑桃、方块、梅花、红桃代表的数字分别为：，，，， ∴，故答案为：． 18．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读下列材料：计算 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 =． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的． (2)请你选择合适的解法解答下列问题：计算： 【答案】(1)一 (2)原式 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；故答案为：一； （2）解：∵ ，∴． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）为了求的值，可令，则，因此所以，仿照以上推理，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则， ，，，故选：C． 2．（2025·广东·七年级校考期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【答案】B 【详解】解：根据题意知：早晨6时30分有2人进公园，则， 第一个30min内有4人进去并出来1人，则， 第二个30min内进去8人并出来2人，则， 第三个30min内进去16人并出来3人，则， 第四个30min内进去32人并出来4人，则，…… ∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为， ∴到上午11时30分公园内的人数为： 设， ∴，， ∴， ∴，， ∴．故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② 得． 所以，，所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题：(1)计算：； (2)计算：．(3)计算： 【答案】(1)500500(2)15000(3)2500 【详解】（1）解：设，① 则，② 得． 所以，则，所以； （2）解：设，① 则，② 得． 所以，则，所以； （3）解：设，① 则，② 得． 所以，则，所以． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期中）综合与实践： 【阅读材料】定义“*”运算：；； ；； ；； (1)【发现】归纳*运算的法则：两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________．(2)【实践】计算：________．(3)【提升】是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方；(2)17(3)， 【详解】（1）解：归纳运算的法则：两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，等于这个数的平方． 故答案为：同号得正，异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数的平方； （2）．故答案为：17 （3），，，解得，． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料，回答下列问题： 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式，______；______； (3)想一想，将一个非零有理数a的n（）圈次方写成乘方幂的形式等于______； (4)算一算： 【答案】(1)；(2)；(3)(4) 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解： ∴将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是； （4）解：． 6．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【问题背景】 七年级一次数学活动中，某小组同学决定对课本第69页第20题进行探索研究，问题如下：“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？” 【解决方法】小薇同学采用“配对法”，将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1，另外三组中各数的和都为； 小娟同学采用“奇偶法”，将这12个数按奇偶性分成两组：，，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再使所有的偶数的和也为0，这样就可以使这12个数的和为0了； （1）小薇、小娟两位同学的办法中______办法是可行的． 【变式探究】（2）在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【拓展延伸】（3）在1，2，3，4，…，2006，2007共2007个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为2024，你能做到吗？如果能，请写出一种可行的添加的结果，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）小微的方法可行，小娟的方法不可行，理由见解析；（2）能，理由见解析；（2）能，理由见解析 【详解】解：（1）小薇：，∴小微的方法可行， 小娟：∵，∴要是6个偶数和为0，则要使其中一部分偶数和为21， ∵偶数的和仍为偶数，∴小娟的方法不可行； （2）将这12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中五组中各数的和都为1，另外一组中各数的和都为， 即； （3）在1，2，3，4，…，2026，2027共个， ∴将1，2，3，4，…，2026分为1013组，分别为……，，，使其中508组结果为，剩下505组结果为1， ∴这2026个数的和为，∴则这2027个数的和为． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如果，我们把数和称为等式的“共和数对”，记作．(1)，可以称为等式的“共和数对”的是________； (2)若是等式的“共和数对”，求的值； (3)已知为常数，无论取何值，总是等式的“共和数对”，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：对于，，， 因为，所以不是等式的“共和数对”； 对于，，， 因为，所以是等式的“共和数对”；故答案为：； （2）解：因为是等式的“共和数对”，所以，解得：； （3）解：因为是等式的“共和数对”， 所以， 整理得：，由题意：与的取值无关，所以，所以． 8．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门票等．人类使用密码的历史相当久远，约成书于战国时期的中国古代兵书《六韬》中就有关于君主如何在战争中与在外的将领进行保密通信的叙述．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 如下表，小明制定了一种密码规则，将26个英文字母，，依次对应数字1，2，3，……，26．当接收的密文中的英文字母在表格中对应的数字是偶数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母；当数字是奇数时，明文为代数式所得数值在表格中对应的英文字母．例如：接收的密文内容为“”，英文字母“”对应的数字16是偶数，则明文数字为对应的英文字母“s”；英文字母“t”对应的数字20是偶数，则明文数字为对应的英文字母“u”；英文字母“y”对应的数字25是奇数，则明文数字为对应的英文字母“n”，所以密文破译后的明文为“”． 字母 a b c d e f g h i j k l m 对应数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 对应数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 根据以上材料，回答下列问题：(1)密文“”破译成明文为_________；(2)若破译后的明文为“”，请用英文字母写出应该传输的密文，并说明理由；(3)是否存在这样的英文字母，在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，若存在，请找出这样的字母；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“”(2)“”或“”，理由见解析(3)存在，“”或“” 【详解】（1）解：接收的密文内容为“”， 英文字母“j”对应的数字10是偶数，则明文字母为对应的英文字母“p”； 英文字母“g”对应的数字7是奇数，则明文字母为对应的英文字母“e”； 英文字母“f”对应的数字6是偶数，则明文字母为对应的英文字母“n”； 密文破译后的明文为“”，故答案为：“”； （2）解：应该传输的密文为“”或“”，理由如下：英文字母“m”对应的数字是， 当密文中英文字母对应的数字是偶数时，得：，解得：（符合题意）， 4对应的英文字母是“d”； 当密文中英文字母对应的数字是奇数时，得：，解得：（符合题意）， 23对应的英文字母是“w”；英文字母“c”对应的数字是， 当密文中英文字母对应的数字是偶数时，得：，解得：（不合题意，故舍去）； 当密文中英文字母对应的数字是奇数时，得：，解得：（符合题意）， 3对应的英文字母是“c”；∴应该传输的密文为“”或“”； （3）解：分两种情况讨论： 当是偶数时，根据题意，得：，解得：（22是偶数，符合题意）， 22对应的英文字母是“v”； 当是奇数时，根据题意，得：，解得：（3是奇数，符合题意）， 3对应的英文字母是“c”； ∴存在密文中的英文字母经过破译后的英文字母是同一个，它们是字母“v”或字母“c”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$