精品解析：安徽省阜阳市界首市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、当时，，此时不是二次根式，不符合题意； D、，则，故是二次根式，符合题意； 故选；D． 2. 一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 3. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，1， B. 5，4，12 C. 1，，8 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴5，4，12不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴1，，8不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和解一元一次不等式，掌握二次根式的非负性成为解题的关键． 直接根据二次根式的非负性列关于a的不等式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选B． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查利用一元二次方程根的情况求参数，根据判别式及二次项系数不等于零即可求出答案 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∴，， 解得且， 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，直接根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 7. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（ ） A. 9 B. 17 C. 13 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 先将原方程配方得到，即可得出p、q的值，进而可得答案. 【详解】解：方程即为， 所以， 即， ∴， ∴； 故选：A. 8. 若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（ ） A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算，正确计算二次根式的乘法、掌握估算的方法是解题的关键； 先计算二次根式的乘法，再估算得到的结果，即可求出答案. 【详解】解：， ∵，， ∴， ∵（a，b为连续整数）， ∴， 故选：C. 9. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据勾股定理可得，即为，求出即可解决问题. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， 即, ∴； 故选：D. 10. 如图，已知线段与相交于点E．若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：过点B作，过点C作，与相交于点F，连接，得出四边形为平行四边形，得出，根据（当三点D，B，F在同一条直线上时，取等号），得出的长就是所求的最小值，过点D作于点M，最后利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：如图：过点B作，过点C作，与相交于点F，连接，则四边形为平行四边形， ∴，， ， ∵（当三点D，B，F在同一条直线上时，取等号）， ∴的长就是所求的最小值， 如图：过点D作于点M， ∵，， ， ， 在中，∵ ，， 又， ， 在中，由勾股定理得： ，即的最小值是． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形三边关系的应用等知识点，正确作出辅助线、找出使最小时D、B、F的位置是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件为：被开方数为非负数得出，解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数关系．把方程化为一般形式，根据一元二次方程根与系数关系，代入数值进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴即的两个实数根分别为， ∴， 故答案为： 13. 如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、两点之间线段最短、几何体的展开图等知识点，掌握勾股定理“”是解题的关键．把长方体沿边剪开，利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把长方体沿边剪开，连接，     根据题意：，， 在中，由勾股定理得：. 故答案为：． 14. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则______； （2）化简的正确结果为_______． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可； （2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，按照二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 先移项，再提公因式进行解方程即可． 【详解】解： 或， 解得，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、求代数式的值、因式分解的应用．由题意可得，，，将所求式子因式分解得出，代入式子计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 18. 四边形，，，，，，求四边形面积是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可根据求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： （1）___________； （2）写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得第个等式为：； 【小问3详解】 解： ． 20. 秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． （1）在中，，，，请用上面的公式计算的面积； （2）如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，勾股定理，熟练掌握海伦一秦九韶公式是解题的关键： （1）直接利用公式求出三角形的面积即可； （2）利用等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 六、（本题满分12分） 21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． （1）求此时花圃边的长； （2）花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）花圃边的长为4米． （2）花圃的面积不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【小问1详解】 解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． 【小问2详解】 解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 七、（本题满分12分） 22. 阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）若代数式的最小值为2，求的值； （3）图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）代数式的最小值为 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）配方得出，结合题意得出，求解即可； （3）由题意表示出，，计算出即可得解． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，为， ∵代数式的最小值为2， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． （1）请你利用图1证明勾股定理； （2）如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； （3）已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）的斜边的长为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）证明，根据列式可得； （2）过点A作交延长线于H，设，由勾股定理得，整理得，由可得，故可得结论； （3）把代入得，求出的值，再求的值即可． 【小问1详解】 证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 3. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，1， B. 5，4，12 C. 1，，8 D. ，， 4. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（ ） A. 9 B. 17 C. 13 D. 5 8. 若（a，b为连续整数），则a，b的值分别为（ ） A. 3和4 B. 4和5 C. 5和6 D. 6和7 9. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，，若，，，则的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 4 D. 6 10. 如图，已知线段与相交于点E．若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 12. 若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则______． 13. 如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，1，7，用一根细线绕侧面绑在点处，不计线头，细线的最短长度为_______． 14. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则______； （2）化简的正确结果为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，，求的值． 18. 四边形，，，，，，求四边形面积是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： （1）___________； （2）写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） （3）计算：． 20. 秦九韶（1208年~1268年），南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，为三角形的面积，那么． （1）在中，，，，请用上面的公式计算的面积； （2）如图，在中，，，，，垂足为D，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． （1）求此时花圃边的长； （2）花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：． ，，∴代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）若代数式的最小值为2，求的值； （3）图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． （1）请你利用图1证明勾股定理； （2）如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； （3）已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $