精品解析：云南大学附属中学2025年初中学业水平考试第三次模拟考试数学试卷和答案

云大附中2025年初中学业水平考试第三次模拟考试数学试题卷 （全卷共三大题，27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷、考生必须在答题卡上解题作答． 2.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱6 文记为文，那么亏钱2文记为（ ） A. 文 B. 文 C. 文 D. 文 2. 在全球人工智能应用领域，我国技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月5日，我国某款应用软件的全球下载量已突破40 000 000次．数据40 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某几何体的三视图，则此几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 直三棱锥 D. 球 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图 ，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB 的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 61° D. 122° 6. 数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，平分，于点 C，于点 D，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 不能确定 8. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼．小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分条形统计图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 第四小组有10人 B. 第五小组对应圆心角的度数为 C. 本次抽样调查的样本容量为50 D. 该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为480人 13. 如图，已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 15. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分） 16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 17. 因式分解：x2y﹣y=_____． 18. 某校举行“共绽石榴红，同铸华夏魂” 演讲比赛，某位选手的 “演讲内容”“语言表达”和“形象风度”三项得分分别为分、分、分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是______分． 19. 如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 22. 为完善全球生态治理提供中国方案，习近平总书记指出：“建设生态文明关乎人类未来，国际社会应该携手同行、共谋全球生态文明建设之路，牢固树立尊重自然、顺应自然、保护自然的意识，坚持走绿色、低碳、循环、可持续发展之路”．进入新时代，中国坚定不移走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，建设人与自然和谐共生的现代化，保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比用废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 23. 彩云之南，一片被时光轻抚的秘境，每个城市都是一帧如诗的画卷．小明是个旅游爱好者，他打印了如图所示的四张城市照片简介（这四张照片依次分别用字母A，B，C，D表示，四张照片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张照片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张照片是香格里拉C的概率是 ； （2）小明计划从中随机抽取两张照片来决定自己的假期旅行目的地，请用列表法或画树状图法计算小明抽取的两张照片恰好是大理A和西双版纳D的概率． 24. 如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，平行四边形的面积为，求的长度． 25. 五月的昆明沉浸在一片紫色的花海中，众多游客乘坐“蓝花楹专列”欣赏美景，拍照打卡．某文创销售店看准商机，推出“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”两种文创产品．已知销售店老板购进2个“蓝花楹棉布袋”和4个“蓝花楹笔记本”一共需要100元；购进3个“蓝花楹棉布袋”和2个“蓝花楹笔记本”一共需要90元． （1）分别求每个“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”的进货价格； （2）该销售店计划购进两种文创产品共100个，且“蓝花楹棉布袋”的数量不超过“蓝花楹笔记本”数量的一半．若每个“蓝花楹棉布袋”的售价为40元，每个“蓝花楹笔记本”的售价为30元，则购进多少个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线． （1）求b的值； （2）若点在抛物线上且，求证：点A、B、C三点共线； （3）点、在抛物线上（），记抛物线在 P、Q 之间的部分为图象G（包含 P、Q 两点），若图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值． 27. 如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云大附中2025年初中学业水平考试第三次模拟考试数学试题卷 （全卷共三大题，27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷、考生必须在答题卡上解题作答． 2.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 早在两千多年前，我国就有了正负数的概念．在当时的商业活动中，以余钱为正，亏钱为负，如果余钱6 文记为文，那么亏钱2文记为（ ） A. 文 B. 文 C. 文 D. 文 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：余钱6 文记为文，那么亏钱2文记为文， 故选：A． 2. 在全球人工智能应用领域，我国技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月5日，我国某款应用软件的全球下载量已突破40 000 000次．数据40 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解： 40000000． 故选：B． 3. 如图是某几何体的三视图，则此几何体为（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 直三棱锥 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状， 主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形． 主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，由此可以得出答案． 【详解】解：主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥， 此几何体为圆锥， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，幂的乘方计算，单项式乘法、合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A，，原式计算错误，不符合题意； B，，原式计算错误，不符合题意； C，，原式计算错误，不符合题意； D，，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图 ，∠1＝∠2＝58°，根据尺规作图痕迹，可得∠ADB 的度数是（ ） A. 58° B. 60° C. 61° D. 122° 【答案】C 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可得，AD平分，根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可得，AD平分，则， ∵， ∴，， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了尺规作图（角平分线），平行线的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹判断出AD平分． 6. 数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意； C、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 7. 如图所示，平分，于点 C，于点 D，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 9. 如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故选：A． 10. 如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴, ∴， 故选：D． 11. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 12. 在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼．小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分条形统计图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，全校共有1200名学生，根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 第四小组有10人 B. 第五小组对应圆心角的度数为 C. 本次抽样调查的样本容量为50 D. 该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为480人 【答案】B 【解析】 【分析】用第二组人数除以第二组的占比得到总人数，用总人数减去其他组的人数和得到第四组人数，用乘以第五组的占比得到圆心角度数，用全校总人数乘以后三组的占比之和估计出成绩优秀的人数． 【详解】解：（人），故C正确； （人），故A正确； ，故B错误； （人），故D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是能够根据统计图的信息求出统计结果． 13. 如图，已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是知道相似比与面积比的关系． 直接利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D ． 14. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（如图）等．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割、无理数的估算，掌握估算无理数大小的非负数解题的关键． 根据，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 15. 如图，是的直径，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先利用邻补角的定义计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：为直径，， ， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分） 16. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 17. 因式分解：x2y﹣y=_____． 【答案】y（x+1）（x﹣1）． 【解析】 【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可． 【详解】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 18. 某校举行“共绽石榴红，同铸华夏魂” 演讲比赛，某位选手的 “演讲内容”“语言表达”和“形象风度”三项得分分别为分、分、分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的运用，如果一组数据中各个数据的“重要程度”不相同，求其平均数需采用加权平均数的计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据加权平均数的定义进行计算即可求解． 【详解】解：， 该选手的平均得分是分， 故答案为：． 19. 如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角的度数为 ∴正六边形的每个内角为 设这个圆锥底面圆的半径是， 根据题意得， 解得： ∴这个圆锥高 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握运算性质． 先计算每一项，然后进行加减运算即可． 【详解】 21. 如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】略 22. 为完善全球生态治理提供中国方案，习近平总书记指出：“建设生态文明关乎人类未来，国际社会应该携手同行、共谋全球生态文明建设之路，牢固树立尊重自然、顺应自然、保护自然的意识，坚持走绿色、低碳、循环、可持续发展之路”．进入新时代，中国坚定不移走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，建设人与自然和谐共生的现代化，保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比用废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 【答案】1.4吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则废纸质量为吨，再结合题干条件进行列方程，解得，再验根，即可作答． 【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则废纸质量为吨． 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨． 23. 彩云之南，一片被时光轻抚的秘境，每个城市都是一帧如诗的画卷．小明是个旅游爱好者，他打印了如图所示的四张城市照片简介（这四张照片依次分别用字母A，B，C，D表示，四张照片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张照片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张照片是香格里拉C的概率是 ； （2）小明计划从中随机抽取两张照片来决定自己的假期旅行目的地，请用列表法或画树状图法计算小明抽取的两张照片恰好是大理A和西双版纳D的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从四张卡片中随机抽取一张照片是香格里拉C的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表分析： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表知，共有12种等可能结果，其中小明抽到的两张照片恰好是大理A和西双版纳D的结果有2种（A，D）、（D，A）． ∴P（小明抽取的两张照片恰好是大理A和西双版纳D）． 24. 如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，平行四边形的面积为，求的长度． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． （）证明可得，进而可得四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由平行四边形的性质可得，由三线合一可得，再根据平行四边形的面积可得，进而由勾股定理得，又可得为的中位线，最后利用三角形中位线的性质即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 四边形是平行四边形，交于点， 为中点， ， 为中点， 为的中位线， ． 25. 五月的昆明沉浸在一片紫色的花海中，众多游客乘坐“蓝花楹专列”欣赏美景，拍照打卡．某文创销售店看准商机，推出“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”两种文创产品．已知销售店老板购进2个“蓝花楹棉布袋”和4个“蓝花楹笔记本”一共需要100元；购进3个“蓝花楹棉布袋”和2个“蓝花楹笔记本”一共需要90元． （1）分别求每个“蓝花楹棉布袋”和“蓝花楹笔记本”的进货价格； （2）该销售店计划购进两种文创产品共100个，且“蓝花楹棉布袋”的数量不超过“蓝花楹笔记本”数量的一半．若每个“蓝花楹棉布袋”的售价为40元，每个“蓝花楹笔记本”的售价为30元，则购进多少个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为元，每个“蓝花楹笔记本“的进货价格元 （2）购进个“蓝花楹棉布袋时，销售这批文创产品的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设未知数，再结合题意，列出二元一次方程，再解得，即可作答． （2）先设购进m个“蓝花楹棉布袋”，“蓝花楹笔记本”时，销售这批模型的利润为w元．再列式得，结合一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为x元，每个“蓝花楹笔记本的进货价格为y元． 由题意得， 解得， 答：每个“蓝花楹棉布袋”的进货价格为20元，每个“蓝花楹笔记本”的进货价格15元． 【小问2详解】 解：设购进m个“蓝花楹棉布袋”，“蓝花楹笔记本”时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，，， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大． 由题意知，m取整数． ∴当时，w最大值（元） 答：当购进33个“蓝花楹棉布袋”时，销售这批文创产品的利润最大，最大利润为1665元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点B，抛物线的对称轴为直线． （1）求b的值； （2）若点在抛物线上且，求证：点A、B、C三点共线； （3）点、在抛物线上（），记抛物线在 P、Q 之间的部分为图象G（包含 P、Q 两点），若图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求t的值． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知，， 抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B， ，， 设经过点A，B的直线的解析式为， 将点A，B的坐标代入，得，解得， 直线的解析式为， 点在抛物线上，且， ，解得（舍）或， 即点， 将代入直线得，， 点在直线上，即点A，B，C三点共线； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合不等式的相关知识点进行推理是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴公式为，即可求解； （2）通过解析式得点，点，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出点，通过点在直线上，即可证明点A，B，C三点共线； （3）由点、（）在抛物线上，得、（），因为抛物线的开口向下，对称轴为，分以下两种情况进行讨论：①当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，即，求出值并判断其是否在的取值范围内；②当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，即，求出值并判断其是否在的取值范围内． 【小问1详解】 解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线， ，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点、（）在抛物线上， ，， 即、（）， 抛物线的开口向下，对称轴为， 分以下两种情况： ①当时，则， 即，点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧， 此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8， 由得：， ，， 点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时点P的纵坐标最小， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）或； ②当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大， ， ， 解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，． 27. 如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是的切线； （3）若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 是直径， ， ， ， ， ， ，即， ， ∵为半径， ∴直线是的切线； （3）是， 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补求解即可； （2）连接，由直径可得，再结合等边对等角的性质，推出，则，即可证明结论； （3）连接、、、．延长、交于点，根据垂直平分线的判定定理，推出是的直径，证明，得到，再证明，得到，证明，设，，，，得出，进而得出，再根据，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：是四边形的外接圆， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、、、．延长、交于点， ∵点是劣弧的中点， ∴劣弧劣弧， ∴， ∵，， ∴、、三点都在的垂直平分线上， ∴是的直径， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴ ∴， 又， ∴， ， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵、为直径， ∴， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，，，， ， ， ， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $