2025年九年级中考数学不规则扇形阴影面积考前冲刺专题提升训练

2025年九年级中考数学不规则扇形阴影面积 考前冲刺专题提升训练 1．如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 2．如图，是的直径，是的弦，半径，交于点F，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由： (2)若，，求阴影部分的面积． 4．如图，是的直径，点C是上的一点，点F是的中点，连接并延长至点D，交于点A，连接，． (1)证明：为的切线； (2)若，． ①求的长； ②求阴影部分的面积． 5．如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点D、E，与相切于点于点，连接交于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，求图中阴影部分的面积． 6．如图，是的直径，点和点是上的两点，延长到点，连接，且 (1)求证：为的切线； (2)已知：， ①求的长； ②求阴影部分的面积． 7．如图，是的直径，为上一点（不与点重合）连接，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分面积． 8．如图，在中，，以腰为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：． (2)连结，若，，求图中阴影部分的面积． 9．如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，交于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：为的切线； (2)已知，求阴影部分的面积． 10．如图，是的直径，是的弦，过点C的切线交的延长线于点D，且． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 11．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 12．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积． 13．如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 14．如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点P，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 15．如图，在中，，以为直径的分别交于点D，G，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：与相切； (2)当时，求阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)证明见解析 (2)，阴影部分的面积为 【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； （2）由三角形的内角和定理可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理，求其他不规则图形的面积，三角形的面积公式，求扇形面积等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 3．(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，即，即可得证； （2）解求得，，由计算即可． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：连接 ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形面积、解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．(1)见解析 (2)①2；② 【分析】（1）先根据圆周角定理得出，结合中位线定理推出，进而得出即可求证； （2）①设的半径为，推出，则，得到，然后利用勾股定理即可求解； ②由①知，，推出，，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点是的中点，点是的中点， ∴， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2）解：①设的半径为， ， 由（1）知， ， ∴， ∴； ②由①知，， ， 阴影部分的面积 的面积扇形的面积 ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，求扇形面积等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接．证明．由是的半径，即可得到结论； （2）设的半径为，连接．证明四边形是正方形．得到．在中，，即，解得，利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵ ∴． ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． ∵是的半径， 直线与相切． （2）设的半径为，连接． ∵与AB相切于点 ∴． ，且 ∴四边形是正方形． ∵ ∴． 在中，，即， 解得（负值舍去）． ∵是正方形的对角线， 是等腰直角三角形． ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、扇形面积公式、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，证明直线与相切是解题的关键． 6．(1)证明见解析 (2)①，② 【分析】（1）连接，由圆的基本性质得，结合等腰三角形的性质得，由直径所对的圆周角是直角得，即可求解； （2）①运用斜边上的中线等于斜边的一半，得，即可作答； ②由勾股定理得，由即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，    ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：①， ， ， ， ， ②， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，切线的判定，等边三角形的判定与性质，求扇形中不规则图形的阴影部分面积；掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，能将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键． 7．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠可得，，根据题意可得，则，即，根据切线的定义即可求证； （2）连接，过点作于点，根据圆周角定理得到，，由含角的直角三角形的性质得到，，则，同理得到，，，则，，根据代入求值即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：连接，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查切线的证明，垂径定理，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，不规则图形面积的计算，扇形面积的计算方法，掌握切线的证明方法，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算方法是解题的关键． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一的性质即可得结论； （2）连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，最后结合直角三角形性质，以及面积和求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， 中，，， ，， 图中阴影部分的面积， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 9．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，结合角平分线的定义得出，由垂径定理得出，即可得证； （2）连接、，由（1）可得：，求得，，，解直角三角形得出，，再由计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接、， 由（1）可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、扇形的面积计算、垂径定理、解直角三角形、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，正确地作出辅助线是解此题的关键． 10．(1)； (2) 【分析】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键． （1）连接，由切线的性质，推出，由，推出，据此求解，即可解决问题； （2）先求得，利用三角形面积公式和扇形面积公式，进而可求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：连接，    ∵过点C的切线交的延长线于点D， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 11．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和角平分线的定义可得出，则可判断，根据平行线的性质可得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：， ． 平分， ． ． ． ． ， ． 即． 是的切线． （2）解：在中， ，， ，． ． ． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，扇形的面积． （1）连接，，交于，由切线得到，再由结合垂径定理得到，即，则； （2）连结、，由垂直平分，得到，则为等边三角形．，推出，得到，，最后根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接，，交于， ∵的切线， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连结、， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14．(1)证明过程见解答 (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，由切线的判定可得出结论； （2）由直角三角形的性质求出，可得出，求出，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴阴影部分的面积的面积扇形的面积． ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再由可得，等量代换可得，根据同位角相等两条直线平行可得，又因为，根据垂直于两条平行线中的一条，与另一条也垂直，得到即可证明结论； （2）先证明可得是等边三角形，即、，进而得到、，最后结合即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴与相切． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用、求解扇形的面积等知识点，熟练的证明圆的切线是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$