2025年九年级中考数学复习-几何模型之旋转模型

2025年九年级中考数学复习-几何模型之旋转模型 1．一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，； (3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 2．问题背景：已知的顶点在的边上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．    （1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则 ； 类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值； （2）延伸拓展：当为等腰三角形时，设． （Ⅰ）如图③，当点在线段上运动时，设，，则的表达式为 （结果用，和的三角函数表示）． （Ⅱ）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，求的表达式，写出解答过程． 3．（1）如图1，在中，，，，点D、E分别在边CA，CB上，且，，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是什么？请说明理由. （2）将绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. （3）将绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，求CF的长. 4．已知：如图①，在矩形中，，，，垂足是E．点F是点E关于的对称点，连接．    (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段上时，求出相应的m的值． (3)如图②，将绕点B顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q．当为等腰三角形时，直接写出的长． 5．综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图1，在中，，，D，E分别为，边上一点，连接，且，将绕点A在平面内旋转． (1)观察猜想 若，将绕点A旋转到如图2所示的位置，则与的数量关系为　　； (2)类比探究 若，将绕点A旋转到如图3所示的位置，，相交于点O，猜想，满足的位置关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图4，在（2）的条件下，连结，分别取，，的中点M，P，N，连结，，，若，，请直接写出在旋转过程中面积的最大值． 6．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在中，，点D，E分别在边上，，连接，M是的中点，连接．          (1)观察猜想 请直接写出与的数量关系和位置关系； (2)类比探究 将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)解决问题 若，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值． 7．【特例感知】 （1）如图，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图，和是等腰直角三角形，，写出线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】 （3）如图，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 8．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 9．如图，在平而直角坐标系，点A、B的坐标分别为，，且，将点B向右平移24个单位长度得到C．    (1)求A,B两点的坐标： (2)点P，Q分别为线段，两个动点，P自B点向C点以2个单位长度/秒向右运动，同时点Q自A点向O点以4个单位长度/秒向左运动，设运动的时间为t，连接，当恰好平分四边形的面积时，求t的值： (3)点D是直线上一点，连接，作，边与的延长线相交于点E，平分平分，当点Q运动时，的度数是否变化?请说明理由． 10．如图，在中，，，，点为边的中点，点为上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转至，以和为边作正方形． (1)________． (2)当正方形面积最小时，求的值． (3)当点落在内部时，求的取值范围． (4)连接，当与的某一边垂直时，直接写出的值． 11．已知，在中，，，E是边上一点． (1)如图1，点D是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转至，连接．若，，求的面积； (2)如图2，连接，将绕点E顺时针旋转至，连接，取的中点N，连接．证明：； (3)如图3，已知，连接，P为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点Q是点P关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点G是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最大值时，请直接写出的值． 12．在中，，是上一点． (1)如图1，是中点，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，交于点，当时，试猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，点在上，，连接，若，直接写出的最小值． 13．在和中，，，，若，． (1)如图1，当点在线段上时，连接，求； (2)如图2．将图1中绕着点旋转，使点在的内部，连接，．线段，相交于点，且，此时_______； (3)如图3，在绕着点旋转过程中，当点落在线段上时，过点作交直线于点，直接写出的面积． 14．在中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若，，，求线段的长度． (2)如图2，点为线段的中点，连接，若，猜想，，的数量关系． (3)如图3，当时，过点作射线的垂线，垂足为点．点为直线上的一个动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，取的中点为点，连接，当线段取得最小值时，将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接，直接写出的值． 15．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点为中点，将绕点旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点、在内且、、三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)能得到，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）证明，即可得解． 【详解】（1）解：能得到． 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当时，． 理由：∵， ∴， ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．（1）；类比探究：；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ），过程见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，过点作于点，首先证明，都是等边三角形，然后根据锐角三角函数和三角形面积公式可得，，即可求出； 类比探究：如图，过点作于点，过点作于点，设，，证明，可得，即，推出，然后由，，即可求出的值； （2）（Ⅰ）如图，如图，过点作于点，过点作于点，设，，证明，推出，，，即可求出的值； （Ⅱ）结论不变，解答方法类似． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，过点作于点， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：；    类比探究：如图，过点作于点，过点作于点，设，， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴的值为；    （2）（Ⅰ）如图，如图，过点作于点，过点作于点，设，， ∵是等腰三角形，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴的值为， 故答案为：；    （Ⅱ）如图，过点作于点，过点作于点，设，， ∵是等腰三角形，，，， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴的值为．    【点睛】本题考查几何变换综合题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 3．（1）．理由见详解；（2）成立，理由见详解；（3）或． 【分析】（1）延长到点，使得，连接，先证明（），然后证明，再根据余角的性质，即可得到结论成立； （2）延长到点，使得，连接，证明方法与（1）相同，先证明（），然后证明，再根据余角的性质，即可得到结论成立； （3）由题意可知，当点、、三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：（1）延长到点，使得，连接，如图1， ，，， ， ，，， ， 点是的中点， ， ，， （）， ，， ， ； ， ， ； ， ， ， ． 故答案为：． （2）（1）中的结论仍然成立； 理由如下： 延长到点，使得，连接，如图2, 点为的中点， ， ， （）； ，， ； ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ． （3）由题意可知，当点、、三点在同一条直线上时，可分为两种情况进行讨论： ①当点在线段上时，延长到点，使得，连接，如图， 由（）可知，，， 在中，，， ； 在中，，， ； 在中，， ， ； ； ②当点在线段的延长线上时，延长到点，使得，连接，如图4， 由①可知，，， ， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理，以及余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，运用分类讨论的思想进行分析． 4．(1)， (2)当点落在上时，，当点落在上时， (3)的长度分别为2或或或． 【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值； （3）在旋转过程中，等腰有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ∵点F是点E关于的对称点， ，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：设平移中的三角形为，如图所示：    由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，，，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ，， ， 又易知， 为等腰三角形， ， ，即； （3）解：存在．理由如下： 在旋转过程中，等腰依次有以下4种情形： ①如图所示，点Q落在延长线上，且，则，    ， ，， ， ， ． 在中，由勾股定理得：． ； ②如图所示，点Q落在上，且，则，    ， ， ， 则此时点落在边上． ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ； ③如图所示，点Q落在上，且，则．    ，， ． ， ． ， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， ； ④如图所示，点Q落在上，且，则．    ，，， ， ， ． 综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使为等腰三角形；的长度分别为2或或或． 【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论． 5．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）由旋转性质和“”可证，即可求解； （2）由旋转性质和“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （3）先证明是等腰直角三角形，可得，则当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即可求面积最大值． 【详解】（1）解：如图1，， ， ， ， ， ， ， 由旋转得: , , 在和中 ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：如图，设与的交点为点P， 绕点A旋转到如图3所示的位置，， ， ， 在和中， ， ， ， 是的外角，也是的外角， ， ， ； （3）解： M，P，N分别是，，的中点， ，， ，， ， ， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ∴当点A，点D，点B三点共线时，有最大值，即面积有最大值， 的最大值为， 面积的最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，掌握“手拉手”型的旋转模型、线段和最值问题的解法，灵活运性质解决问题是解题的关键． 6．(1) (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)的最大值为3，最小值为1 【分析】（1）证明，得到，由，推出，根据，得到，进而得到，即可得出结论； （2）延长至点F，使，连接，证明，为的中位线，即可证明结论； （3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴ ∵M是的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下 如图① ，延长至点F，使，连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴为的中位线， ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：的最大值为3，最小值为1 如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知， 当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值， 当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值， 的最大值为， 的最大值为3； 的最小值为， 的最小值为1 【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 7．（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可得线段与的数量关系； （2）通过证明，可得结论； （3）通过证明，可得，则点的运动路线是以为圆心，为半径的圆，即可求解． 【详解】解：（1）线段与的数量关系是：． 理由：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，且，连接，，       ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴点的运动路线是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为：， ∴的最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是添加恰当辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题． 8．(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 9．(1)， (2) (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出a、b的值即可得到答案； （2）根据平分四边形的面积，即可得到根据梯形面积公式即可得到，然后列式求解即可得到答案； （3）分三种情况：当D在线段的延长线上时；当D在线段的延长线上时；当D在线段上时；利用角平分线的定义求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 解得： ∴，； （2）解：∵点B向右平移24个单位长度得到C， ∴， 设，，，， ∵平分四边形的面积， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得； （3）解：当点Q运动时，的度数有变化，理由如下： 如图，当D在线段的延长线上时， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴；    同理求得当D在线段的延长线上时，；    当点D在线段上时，    ∵平分，平分， ∴，， 设 ∵ ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对的非负性，梯形面积公式，角平分线的定义，利用分类讨论的思想是解题的关键. 10．(1) (2)2 (3) (4)或 【分析】本题考查旋转性质、勾股定理、锐角三角函数、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，画出对应图形，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）先利用勾股定理求得，再利用正弦定义求解即可； （2）过D作于H，则，利用锐角三角函数求得的值；根据正方形的面积公式和垂线段最短得到当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合，进而可求解； （3）分当点F在边上时和当F在边上时，画出图形，利用全等三角形的判定与性质及正方形的性质，结合锐角三角函数求解即可； （4）分当对角线，，时，画出对应的图形，根据正方形的性质，结合锐角三角函数定义分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过D作于H，则， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴正方形面积，当时，最小，此时，正方形的面积最小，点E与H重合， ∴， 即当正方形面积最小时，的值为2； （3）解：当点F在边上时，如图，则，即， 由（2）知； 当F在边上时，如图，过D作于H， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由得， 故当点落在内部时，的取值范围为； （4）解：当对角线于H时，如图，则E、G在上， ∴，，此时； 当对角线时，如图，设与交于M，则，， ∴ 过E作于N，则四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 由得； 当对角线时， ∵正方形的对角线，互相垂直且平分，为上一点， ∴点E与C重合，点G与点A重合， ∴， 但，点为边的中点， ∴， ∴不符合题意，故舍去， 综上，满足条件的x值为或． 11．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得，由三角形的面积公式可求解； （2）作辅助线如解析图，证明，可得，进一步可得，证明，可得，从而可得结论； （3）作辅助线如解析图，可得当点，P，N三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，进而得点K在以C为圆心，为半径的圆上运动，可得当点K落在的延长线上时，有最大值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点F作直线于H，    ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）证明∶如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q，    ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作点C关于的对称点，连接，    ∵点Q是点P关于直线的对称点， ∴平分垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点C与点关于对称， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴当点，P，N三点共线时，有最小值， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴点K在以C为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点K落在的延长线上时，有最大值， ∵为等边三角形，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∵，， ∴，，    ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，确定点P的位置是解题的关键． 12．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点E作交于点G，由题意得到，利用勾股定理得到，根据是中点，，得到，推出是等腰三角形，即得到，利用勾股定理求出，，即可求出的长； （2）延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，证明，得到，设，则，根据点C，Q分别为的中点推出，得到，由三角形外角的性质得到，推出是等腰三角形，故得到，即可得出结论； （3）连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；根据是等腰直角三角形，得，利用勾股定理求得，则，由题意证明，得到，进而得到，是等腰直角三角形，推出，，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，最后根据，利用锐角三角函数求解出的长即可得出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点E作交于点G，   ，， ，即， ， ，即， ，， 是中点，， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，延长，在延长线上截取，取的中点Q，连接，   线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，， ， ，， ， ， 设，则， 点C，Q分别为的中点， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，即； （3）解：如图，连接，取的中点P，连接，将绕点G逆时针旋转得到，过点P作，交于点S，交于点T；   是等腰直角三角形，点P是的中点， ，，， ， ， ，则， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，此时当点N与点T重合时，有，有最小值，则有最小值，   ， 在中，， ， ， 都是直角三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合问题，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解直角三角形，正确构造辅助线，证明三角形全等和构造直角三角形是解题的关键． 13．(1) (2) (3)的面积为或 【分析】（1）过点B作，交的延长线于点F，求出,，即可求出的值； （2）过点D作于点H，过点A作于点G，连结，先证明，得到，进一步推得，然后证明，得到，可知点D在上，由此即可得到答案； （3）当点E在左上方时，过点C作于点M，过点E作于点N，延长交于点T，设交于点，利用和逐步求出，，，求得，的值，最后再利用相似三角形的性质即可求得答案． 【详解】（1）如图1，过点B作，交的延长线于点F， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 在中，； （2）如图2，过点D作于点H，过点A作于点G，连结， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点D在上， ， ， 故答案为：． （3）当点E在右下方时（如图3）， 过点C作于点M，过点E作于点N，延长交于点T，设交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得； 当点E在右下方时（如图4）， 同理可求得，，，， ； 综上所述，的面积为或．             【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了图形的旋转，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义等知识，构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作于，解求得和，解求得和，进一步得出结果； （2）将绕点顺时针旋转至，连接、，可推出是直角三角形，进而得出，结合推出，，从而得出是的中位线，进一步得出结果； （3）取的中点，连接，可推出，从而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，交于点，当点运动到′处时，最小；作于，设交于，可推出，进而得出，设，则，，，，进而得出结果． 【详解】（1）解：如图1，过点作于， ∴， ∵，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的长度为； （2）．理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转至，连接、， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴垂直平分，即，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，取的中点，连接， ∵，过点作射线的垂线， ∴， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 连接，交于点，当点运动到′处时，最小， 如图4，作于，设交于， ∵过点作线段的垂线，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵将沿直线翻折至所在平面内得到，过点作线段的垂线，垂足为点，连接， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质和折叠的性质，解直角三角形，垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键利用旋转将条件集中． 15．（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）如图所示，连接，根据等腰三角形的性质可证，由此即可求解； （2）由（1）中，再根据为等腰直角三角形，由此即可求解； （3）点、、三点共线，分类讨论，根据（1），（2）中的结论即可求解． 【详解】解：． 理由：如图所示，连接，设交于点， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， 故答案为：； （2）． 理由：如图所示，连接， 由（1）可知：， ∵、、三点共线 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3），，、、三点共线， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ①如图所示，连接， 由（2）可知：， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴（此时，不符合题意，舍去）； ③如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$