精品解析：河北省唐山市路北区2024一2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

20242025学年度第二学期学业水平中期评价 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本次评价满分100分，时间为90分钟． 2．答卷前，务必在答题卡上用黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用铅笔把对应考生号的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用铅笔画图，答在试卷上无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则实数不可能是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，坐标系中有两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点均在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，中线，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 7. 正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知，且均为整数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 25 D. 42 9. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 随的增大而减小 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 10. 如方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则（ ） 2 6 3 A. 6 B. 2 C. 2 D. 3 11. 如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 12. 由四个全等直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13~14题各3分，15~16题每空2分．） 13. 计算：___________． 14. 正比例函数的图象经过点（-1，2），则__________． 15. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1）___________m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了___________． 16. 已知直线，将直线向上平移个单位后得到． （1）若的解析式为，则___________； （2）若点在的异侧，则取值范围是___________． 三、解答题（本大题有8道小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，． （1）求的长； （2）求边上高线的长． 19. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为． （1）求长方形的周长； （2）求图中两块阴影部分的面积和. 20. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求的解析式； （2）通过计算说明图象是否过点． 21. 为增强手机安全性，夕夕设置了手势密码图．如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁． （1）求按此解锁一次的路径长； （2）请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为． 22. 如图，在中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止．设运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （3）直接写出面积为3时的值． 23. 已知的三边． （1）求证：是最长边； （2）求证：是直角三角形； （3）直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 24. 在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于点，直线与直线交于点． （1）如图，当时，求的周长； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段围成的区域（不含边界）为． ①结合函数图象，试说明当时，区域内一定有整点； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 20242025学年度第二学期学业水平中期评价 八年级数学（人教版） 注意事项： 1．本次评价满分100分，时间为90分钟． 2．答卷前，务必在答题卡上用黑色字迹的签字笔填写自己的学校、班级、姓名及考生号，并用铅笔把对应考生号的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题必须用，黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液，涉及作图的题目，用铅笔画图，答在试卷上无效． 4．必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若二次根式有意义，则实数不可能是（ ） A. 0 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和解不等式，根据二次根式有意义的条件列出不等式解得a，再结合选项即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得，解得， ∵， ∴不满足要求， 故选：D． 2. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，三角形的内角和定理的应用，先证明，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：中，， ∴， ． 故选：B． 3. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加、减、乘、除运算．根据二次根式加、减、乘、除运算法则计算即可作答． 【详解】解：A、，计算正确，故本项不符合题意； B、，计算正确，故本项不符合题意； C、，原计算正确，故本项不符合题意； D、，计算错误，故本项符合题意； 故选：D． 4. 如图，坐标系中有两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，根据两点的坐标得出，，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵点 ∴，， ∴， 故选：B 5. 已知点均在函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题中一次函数y随着x的增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随着x的增大而减小． ， ， 故选：A． 6. 如图，在中，，中线，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，先证明，，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵，中线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 7. 正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，再结合直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象，可得，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， 如图，直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项C符合题意． 故选：C． 8. 已知，且均为整数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 25 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简与二次根式的性质，由条件可得，，可得，，进一步可得答案． 【详解】解：∵，且均为整数， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 9. 对于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 随的增大而减小 C. 图象经过第一、二、三象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，原说法错误；故该选项不符合题意； B．∵，∴一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；故该选项不符合题意； C． ∵，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故该选项不符合题意； D．令，解得，则当时，，说法正确；故该选项符合题意； 故选：D． 10. 如方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则（ ） 2 6 3 A. 6 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法运算，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，进一步即可求解． 【详解】解：各行、各列及各条对角线上三个实数之积均相等， ， 解得：， 故选：A． 11. 如图，直线分别交两坐标轴于两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是列一次函数关系式，一次函数的应用，设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的矩形的周长为，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为， ， ， 即直线的函数表达式是， 故选择：B． 12. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明四边形是正方形，求解，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，正方形的边长是2，， ∴，，， ， ∴，， ∴四边形正方形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C 二、填空题（本大题有4个小题，共14分.13~14题各3分，15~16题每空2分．） 13. 计算：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，原式直接根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 14. 正比例函数的图象经过点（-1，2），则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由正比例函数的图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出2=-k，解之即可得出k值． 【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2）， ∴2=-k， ∴k=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键． 15. 如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1）___________m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了___________． 【答案】 ①. 2.5 ②. 1.3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是： （1）直接根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， 故答案为：2.5； （2）∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即梯子的底端向外移动了， 故答案为：1.3． 16. 已知直线，将直线向上平移个单位后得到． （1）若的解析式为，则___________； （2）若点在的异侧，则取值范围是___________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数图象的平移规律以及点与直线位置关系的应用．第一问直接运用平移的“上加下减”原则，较为基础；第二问将函数与点的位置关系转化为不等式求解，熟练掌握以上解题技巧是解题的关键． （1）对于一次函数（k，b为常数，）的图象平移，遵循“上加下减”原则，即图象向上平移m个单位时，函数解析式变为；向下平移m个单位时，函数解析式变为，已知直线向上平移个单位后得到：，可根据平移规律求解t的值． （2）若两点在直线（A、B不同时为0 ）的异侧，则．先将化为一般式，再把点，代入并根据异侧条件列不等式求解t的取值范围． 【详解】解：（1）直线向上平移t个单位后，根据“上加下减”原则，其解析式变为， ∵的解析式为， ∴可得方程． 方程两边可消去，得到，移项可得； 故答案为：2； （2）把移项化为一般式为． ∵点，在的异侧， ∴，即． 令，则． 对于二次函数，二次项系数大于0，图象开口向上，不等式的解集为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有8道小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则进行计算即可； （2）结合完全平方公式和平方差公式进行计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 18. 如图，在中，． （1）求的长； （2）求边上高线的长． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据勾股定理求解，即可解题； （2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：在中， 【小问2详解】 解：由面积得，， 即：， 解得，． 19. 如图，长方形内两个正方形的面积分别为． （1）求长方形的周长； （2）求图中两块阴影部分的面积和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求阴影部分的面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用开平方运算求出大正方形的边长，小正方形的边长，再结合长方形周长公式求解，即可解题； （2）利用长方形面积减去两个正方形面积，即可得出图中两块阴影部分的面积和． 【小问1详解】 解： 两个正方形的面积分别为， 大正方形的边长为，小正方形的边长为， 长方形的周长为； 【小问2详解】 解：两块阴影部分的面积和为． 20. 已知一次函数的图象经过和两点． （1）求的解析式； （2）通过计算说明的图象是否过点． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把和代入进行计算，即可作答； （2）把代入，计算出结果，即可作答． 【小问1详解】 解：设的函解析式为：， 将点和代入得，， 解得， ； 【小问2详解】 解：将代入解析式得，， 的图象经过点． 21. 为增强手机的安全性，夕夕设置了手势密码图．如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁． （1）求按此解锁一次的路径长； （2）请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出与的长即可推出结果； （2）作一个腰长为4的等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 解：连接， 在和中， 按此解锁一次的路径长为： 【小问2详解】 解：如图， 22. 如图，在中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止．设运动时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； （3）直接写出的面积为3时的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及动点问题，三角形面积等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）分两种情况∶当时，D在边上，； 当时，D在边上，； （2）描点画出图象即可； （3）在和中，分两种情况列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：当时，D在边上， ； 当时，D在边上， ； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，； 当时，； 描点画出图象如下∶ 【小问3详解】 解：在中，令得， 解得； 在中，令得， 解得． 综上所述，t的值为或3． 23. 已知的三边． （1）求证：是的最长边； （2）求证：是直角三角形； （3）直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）12，35，37 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用、整式混合运算和乘法公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是关键． （1）分别证明，，即可证明结论； （2）根据勾股定理的逆定理进行证明即可； （3）当时，即，求出此时即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 综上可知，是的最长边； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：当时，即， 则此时， ∴的三边长为12，35，37． 24. 在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于点，直线与直线交于点． （1）如图，当时，求的周长； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段围成的区域（不含边界）为． ①结合函数图象，试说明当时，区域内一定有整点； ②若区域内没有整点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据k变化分析W区域内整数点的情况是解题的关键． （1）分别求出A、B、C的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可； （2）①根据当时，直线在y轴的右侧，直线在x轴的下方，直线的图象经过第一、二、三象限，则围成的区域W中必含原点，即可得证； ②由①知，区域内没有整点，则，然后分别画出，，，，的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，；当时，，解得 ∴，， 又与的交点C的坐标为， ∴，，， ∴的周长为； 【小问2详解】 ①证明：当时，直线在y轴的右侧，直线在x轴的下方，直线的图象经过第一、二、三象限， 则围成的区域W中必含原点， ∴当时，区域内一定有整点； ②联立方程组， 解得 ∴， 联立方程组， 解得， ∴， 直线与的交点C的坐标为， 由①知，区域内没有整点，则， 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内无整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内无整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内有整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内无整点； 当时，如图， 观察图象发现，此时区域W内有整点； 综上，当或时，区域W内无整点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$