第六章 变量之间的关系 章末复习讲义 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

6.1-6.2知识梳理 1.在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做________ 2,在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做_________. 3,一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且变量y随着变量x的变化而变化，那么我们就说x是_______，y是_________. 4.用表格表示变量之间的关系 ◆优点：可以直接从表格中找出自变量和因变量的对应值，能够表示因变量随自变量的变化而变化的情况 ◆缺点：具有局限性，不能全面准确地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，需要对表格中的数据进行分析 1．学校用100元钱购买乒乓球，所购买球的数量W与单价n（元）之间的关系是，其中（   ） A．100是常量，W，n是变量 B．100，W是常量，n是变量 C．100，n是常量，W是变量 D．100是变量，W，n是常量 2．李老师到求实附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（　　） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 3,圆的半径为r，圆的面积S与半径r之间有如下关系：S＝πr2．在这关系中，常量是　 　 变量是　 　 ． 4．如图，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式S＝πr2中自变量是（　　） A．S B．π C．r D．r2 5．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s（单位：），满足公式其中（单位：）表示刹车前汽车的速度．这个公式中的自变量是（   ） A．300 B．v C．s D．s与v 6．近几年来，随着打工大潮的涌动，某校从2011年到2017年留守儿童的人数（人）与时间（年）有如下关系： 时间/年 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 人数/人 50 80 100 150 200 270 350 则下列说法不正确的是（    ） A．上表反映了留守儿童的人数与时间之间的关系 B．（人）随时间（年）的推移逐渐增大 C．自变量是时间（年），因变量是留守儿童的人数（人）D．自变量是留守儿童的人数（人），因变量是时间（年） 7．一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 8．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法正确的是　 　． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为0cm； ③物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm；④所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm． 9，某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）： 温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30 声速/m/s 318 324 330 336 342 348 下列说法错误的是（　　） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越高，声速越快 C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s 10，高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度（m）与空气含氧量（g/m3）之间关系的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.6 182.1 下列说法不正确的是（　　） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 B．海拔高度每上升1000m，空气含氧量减少33.8g/m3 C．在海拔高度为2000m的地方空气含氧量是234.8g/m3 D．当海拔高度从3000m上升到4000m时，空气含氧量减少了27.5g/m3 11，一空水池现需注满水，水池深4.9m，现以不变的流量注水，数据如下表．其中不变的量是 　 ，可以推断注满水池所需的时间是 　 　． 水的深度h/m 0.7 1.4 2.1 2.8 注水时间t/h 0.5 1 1.5 2 12．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 13心理学家发现，当提出概念所用的时间在2分到20分时，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：min）之间有如表关系： 提出概念所用的时间x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 学生对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用的时间是7min时，学生的接受能力是 　 　；当提出概念所用的时间是17min时，学生的接受能力是 　 　； （3）根据表格中的数据回答：当提出概念所用的时间是几分时，学生的接受能力最强？ （4）根据表格中的数据回答：当x在什么范围内时，学生的接受能力在增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力在减弱？ 14．游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立万米，换水时关闭进水孔打开排水孔，它们的变化情况如表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 游泳池的存水量/立方米 858 780 702 624 546 468 根据表格中的数据，回答下列问题： (1)上表中______是自变量；_______是因变量； (2)当放水时间为1小时时，游泳池的存水是为_______立方米；当放水时间为4小时时，游泳池的存水量为______立方米； (3)说一说这个游泳池的存水量从放水1小时至12小时是怎样变化的； (4)请你估计当放水5.5小时和9小时时，游泳池的存水量分别是多少立方米？ 6.3知识梳理 1,关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式（如y=3x）,我们可以根据任何一个_______的值求出相应的_________的值。 2.用关系式表示两个变量之间关系的优缺点 ◆优点：能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数值关系，便于分析计算； ◆缺点：需要计算，不直观，只能反映规律性较强的变量间的关系，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来. 1，已知一个长方形的周长为68cm，相邻两边分别为x cm，y cm，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝68﹣x B． C．y＝34﹣x D． 2，某树苗原始高度为60cm，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度y（单位：cm）与生长月数n之间的关系式为（　　） A．y＝5n+55 B．y＝5n+60 C．y＝10n+50 D．y＝10n+60 3，某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x千米，油箱中剩余油量为y升，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝0.12x B．y＝60+0.12x C．y＝﹣60+0.12x D．y＝60﹣0.12x 4，某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（　　） A．y＝54x（x＞2） B．y＝54x+10（x＞2） C．y＝54x+90（x＞2） D．y＝54x+100（x＞2） 5，已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如表所示， x ﹣1 0 1 y 3 2 1 则y与x之间的关系式可能是（　　）A．y＝x B．y＝x2+x+1 C．y＝﹣x+2 D．y＝ 6，如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（　　） A．y＝2n+1 B．y＝2n+1+n C．y＝2n+n D．y＝2n+n+1 7．某种型号的凳子按图中的方式叠放在一起，如下表是叠放凳子总高度与数量的几组对应值，则凳子总高度与数量满足的函数关系可能是（   ） 凳子的数量n（个） 1 2 3 4 叠放凳子的总高度h（厘米） 52 57 62 67 A． B． C． D． 8．已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为7cm，在弹性限度内，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，则挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式是 　 　． 9．长方形的周长为36cm，其中一边长为x（cm），面积为y（cm2），则y与x的关系可表示为 　 　 ． 10．某办公用品文具店推出一种优惠方案：购买1个书包，赠送1支水性笔．书包每个定价50元，水性笔每支定价3元．小亮和同学需购买5个书包和若干支水性笔（不少于5支）．试写出购买费用y（单位：元）与所买水性笔x（单位：支）之间的关系式：　 　 ． 11．正方形边长为4，若边长增加x，面积增加y，则y与x的函数关系式为 　 ． 12．如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知每个铁环长4厘米，铁环粗厘米，铁环间处于最大限度的拉伸状态．设个铁环长为厘米，则与之间的关系式为 ． 13.如图，某种型号的自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm．如果x节链条的总长度是ycm，那么y与x之间的关系式为 　 　 ． 14.如图，用若干张长6cm的纸条粘贴成一条纸带（每2张纸条重叠1cm），纸带的长度y（cm）与纸条的张数x之间的函数关系式是 　 　． 15，一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.07升，如果设油箱内剩余油量为y（升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化． （1）写出y与x的关系式 　 　 ． （2）这辆汽车行驶300千米时剩油多少升？汽车剩油14升时，行驶了多少千米？ 16，“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）． （1）求该车平均每千米的耗油量； （2）直接写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）的关系式；当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值； （3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 17，在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是一地某天的海拔h（km）与对应高度处气温T（℃）的关系． 海拔h/km … 0 1 2 3 4 … 气温T/℃ … 20 14 8 2 ﹣4 … （1）当海拔高度为3km时，气温是 　 ℃；当气温为﹣4℃时，海拔是 　 　 km； （2）写出气温T与海拔h的关系式：T＝　 ； （3）求海拔7km处的气温． 18．圆锥的高变化时，圆锥的体积也随之变化． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． (2)在这个变化过程中，写出圆锥的体积V与高h之间的关系式； (3)当h由变化到时，V是怎样变化的？ 19，某城市出租车的收费标准为：行车里程在3km以内（含3km）收取车费8元行车里程超过3km时，超过部分每千米收取车费1.4元． （1）在这个过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）写出行车里程超过3km时，车费y（元）和行车里程x（km）之间的关系式； （3）若小明乘坐出租车的车费是15元，则他乘坐了多少km的里程？ 20，如图，长方形ABCD中，BC＝8，CD＝5，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，四边形ABCE的面积也发生变化． （1）写出四边形ABCE的面积y与AE的长x（0＜x＜8）之间的关系式． （2）当x＝3时，求y的值． （3）当四边形ABCE的面积为35时，求DE的长． 21，某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2.5元 超过10立方米 超过的部分每立方米3.5元 （1）写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式： ①每月用水量不超过10立方米时，y＝　 　 ； ②每月用水量超过10立方米时，y＝　 　 ； （2）若某户居民某月用水量为6立方米，则应交水费多少元？ （3）若某户居民某月交水费32元，则该户居民用水多少立方米？ 22．小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 23．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如表格所示： 碗的数量（只 1 2 3 4 5 高度 4 5.2 6.4 7.6 8.8 （1）上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）用表示这摞碗的高度，用（只表示这摞碗的数量，请用含有的代数式表示； （3）若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 24，按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1张餐桌摆6把椅子，2张餐桌摆10把椅子，3张餐桌摆14把椅子…，其中餐桌的数量用（张）表示，椅子的数量用（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化．    (1)题中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请写出椅子的数量（把）和餐桌的数量（张）之间的关系式； (3)按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐80人？请说明理由． 25．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为2cm． （1）求5张白纸黏合的长度； （2）设x张白纸黏合后的总长为ycm，写出y与x的函数关系式． 26，泰和工农兵大道安装的护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． （1）根据如图，将表格补充完整． 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度（米） 0.2 3.4 　　 9.8 　　 … （2）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （3）设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ （4）求护栏总长度为61米时立柱的根数？ 27.为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒（不少于6个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元． (1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 6.4知识梳理 1,图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是________ ◆通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示_______；用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示_________ 2.用图象法表示两个变量之间关系的优缺点 ◆优点：能直观、形象地反映变量间的变化情况并预测变化趋势； ◆缺点：只能反映变量间的部分关系，且难以得到准确的对应值. 1.历史上某地曾干旱缺水，因此在全国开展了献爱心、建母亲水窖的活动，如图是某母亲水窖的横断面示意图，如果这个母亲水窖以固定的流量注水，下面能大致表示水的深度和时间之间的关系的图象是（    ） A．B． C． D． 2.在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度与时间的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 3.小明从家骑自行车上学，先以0.4千米/分的速度匀速骑行5分钟，途经超市时，买文具用了5分钟，为按时到校，再以0.5千米/分的速度骑行2分钟到学校．设小明骑自行车的速度为v（千米/分），离家路程为s（千米），上学时间为t（分）．下列图象能表达这一过程的是（　　） A． B． C． D． 4.下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（　　） A．③④①② B．②①③④ C．①④②③ D．③①④② 5.小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A．B． C．D． 6.某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修．如图所示的图象反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（　　） A．修车花了10分钟 B．小明家距离学校1000米 C．修好车后花了25分钟到达学校 D．修好车后骑行的速度是110米/分钟 7.小亮的家与学校在同一条笔直的大街上．一天，小亮从家骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，以下是他本次用的时间与离家的距离的关系示意图．根据图中信息，下列说法正确的是 　 　． A．本次上学途中，小亮共行驶了2700米 B．小亮家与学校的距离是1500米 C．小亮在书店停留了4分钟 D．若骑单车的速度大于300米/分就有安全隐患，在整个上学过程中，小明有2分钟的骑行较快，存在安全隐患 8.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 9.如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ） A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 10．假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间T的关系在平面直角坐标系中所示，如图，请结合图形和数据回答问题： （1）这是一次 　 　米赛跑； （2）甲、乙两人中先到达终点的是 　 　； （3）甲到终点用的时间是 　 　秒；乙到终点用的时间是 　 秒． （4）乙在这次赛跑中的速度为 　米/秒； （5）甲到达终点时，乙离终点还有 　 米． 11．在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 12.校体育队一名田径运动员以每秒3m的速度绕长方形体育馆ABCD进行跑步训练，抽象成如图1所示的数学模型，运动员（点H）按A→B→C→D的路径匀速运动，跑到点D停止．已知 AD＝30m，设点H的运动时间为ts．△HAD 的面积S（m2）与运动时间t（s）的关系如图2所示． （1）图2的两个变量中，自变量为 　 　 ， 因变量为 　 ； （2）AB＝ 　 　 ，a＝ 　 ，b＝ 　 　 ； （3）当△HAD 的面积为240m2时，求t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$