精品解析：吉林省长春市南关区2024-2025学年下学期九年级中考二模数学试题

2024-2025学年度下学期九年级质量调研题数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A. B. 0 C. 3 D. 5 2. 如图，数轴上表示的点所在的线段是（　　） A. B. C. D. 3. 某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点.若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 11. 正九边形的一个外角为_________度． 12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8钱，多余3钱；每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为人，根据题意，可列方程为_______. 13. 如图，得折叠，使点与点重合，折痕为．若；则的周长为________． 14. 如图，是的外接圆，是的直径，弦，垂足为点的平分线交于点、交于点、交于点，连接.给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分图形的面积为；⑤当时，与的面积比为.上述结论中，正确结论的序号有______. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同．小明从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 17. 在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分？ 18. 如图，在中，平分，点在边上． （1）用圆规和无刻度的直尺作线段的垂直平分线，交于点、交于点，连接、（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是菱形． 19. 某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ，n的值为 ； （2）这组数据的中位数是 ； （3）估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作．点在格点上． （1）在图中，是面积为2的等腰三角形； （2）在图②中，是面积为的直角三角形； （3）在图③中，是面积为的锐角三角形． 21. 图①是王老师常用的一教单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节扣构成.通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短.小红为研究王老师这款单肩包单层部分的长度（厘米）与双层部分的长度（厘米）之间的关系，进行了次测量，下表是测量得到的数据． （1）根据表中与的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点； （2）观察（）中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； （3）按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为厘米为最佳肩带长，此时单层部分的长度为_____厘米． 22. 【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 23. 如图，在中，．过点作于点，点是边上的动点（点不与点重合），连结，过点作，过点作于点，连结． （1）线段的长为_____； （2）当A、D、Q三点共线时，求线段的长： （3）连接，若经过边的中点．求证：四边形是矩形； （4）连接，线段的最大值是____，此时线段的长是_____． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，与轴交于点.点A、B是该拋物线上不重合的两点，横坐标分别为，作点关于点的对称点. （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）试说明点与点的横坐标之差为2； （3）当点在第一象限时，连结，以为邻边作. ①当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②当点落在的边上时，直接写出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期九年级质量调研题数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若的运算结果为正数，则内的数字可以是（　　） A. B. 0 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，大于0的数为正数，先把每个选项代入，再算出的结果，然后与0进行比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 2. 如图，数轴上表示的点所在的线段是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，根据无理数的估算方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上表示的点所在的线段是， 故选：C． 3. 某个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 三棱锥 D. 圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立体图形的展开图，根据展开图还原立方体即可，熟练掌握常见立方体的展开图，是解题的关键． 【详解】解：由展开图可知：几何体的上下两个底面为三角形，三个侧面为长方形， 故立体图形为三棱柱； 故选B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，幂的乘方，合并同类项，根据以上运算法则逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在坡角为的山坡上有A、B两棵树，两树间的坡面距离米，则这两棵树的竖直距离可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意可得，则米． 【详解】解：在中，， ∴米， 故选：A． 6. 如图，一束平行于主光轴OF的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点.若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵一束光线平行于主光轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为以及蓄水池上宽下窄，先慢后快变化即可判断求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始下降的更慢，后来下降的更快， 故选：． 8. 已知点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵（是常数，） ∴双曲线过一、三象限，在每一个象限内，随着的增大而减小， ∵点和点均在反比例函数（是常数，）的图象上，且， ∴当时，；故选项A错误； 当，则：， ∴；故选项B正确，选项C错误； 当时，则：，；故选项D错误； 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围，由一元二次方程有实数根可得，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 11. 正九边形的一个外角为_________度． 【答案】40 【解析】 【分析】正多边形的外角都相等，用外角和360°除以边数9，即得一个外角度数． 【详解】∵正多边形每个内角都相等 ∴正多边形每个外角都相等． 又∵多边形外角和为360° ∴正九边形的一个外角为：360°÷9=40°． 故答案为：40． 【点睛】此题考查正多边形角的计算．其关键点是要抓住外角和为360°与边数无关，和每个内角都相等． 12. 《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙购物，每人出8钱，多余3钱；每人出7钱，还缺4钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为人，根据题意，可列方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 13. 如图，得折叠，使点与点重合，折痕为．若；则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质可知：，于是，从而可知的周长，据此求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得：， ∴． ∴的周长， 故答案为：． 14. 如图，是的外接圆，是的直径，弦，垂足为点的平分线交于点、交于点、交于点，连接.给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分图形的面积为；⑤当时，与的面积比为.上述结论中，正确结论的序号有______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，可得，可得①符合题意；证明，可得，可得②符合题意；若，为等边三角形，可得与题干条件不相符，可得③不符合题意；由，可得，如图，连接，可得，，进一步可得阴影部分图形的面积为，可得④符合题意；由，可得，，，设，再进一步可得⑤不符合题意． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵为直径， ∴， ∴， ∵弦， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 若， ∴为等边三角形， ∴，，与题干条件不相符，故③不符合题意； ∵， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴阴影部分图形的面积为，故④符合题意； ∵， ∴，，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴与的面积比为；故⑤不符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理的应用，等腰三角形的判定与现在，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值问题，根据相关运算法则运算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 16. 一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“向”、“未”、“来”，小球除汉字外其余均相同．小明从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀：再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明两次摸出小球上的汉字不相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设用A、B、C分别表示“向”、“未”、“来”，列表如下： 第一次 第二次 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明两次摸出小球上的汉字不相同的结果数有6种， ∴小明两次摸出小球上的汉字不相同的概率为． 17. 在一次智力测验中有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分？ 【答案】14 【解析】 【分析】首先设至少答对x道题，则答对题的分数为5x；错一题扣2分，两道题未答，所以答错(18﹣x)道，列出不等式即可求解． 【详解】解：设小明答对x道题，根据题意可得 5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60 解得：x 因为x是整数，所以x所取最小值为14， 答：小明至少答对14道题，总分才不会低于60分． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．首先要明确题意，找到关键描述语即可解出所求的解． 18. 如图，在中，平分，点在边上． （1）用圆规和无刻度的直尺作线段的垂直平分线，交于点、交于点，连接、（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：是线段的垂直平分线， ． ． 又平分， ． ． ． 同理可证：． 四边行是平行四边形． 又， 四边行是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，熟知菱形的判定定理是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质得到．则由等边对等角和角平分线的定义可推出．则．同理可证：，则可证明四边行是平行四边形，进而可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校为了解八年级学生视力情况，在全校560名八年级学生中随机抽取了20名学生，并对他们进行右眼视力检查，结果如下： 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 人数（人） 1 1 2 1 2 m 1 1 3 n 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ，n的值为 ； （2）这组数据的中位数是 ； （3）估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数． 【答案】（1）2，4 （2） （3）252人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、中位数、样本估计总体等知识点，从统计表中获取所需信息是解题的关键． （1）根据数据进行统计即可解答； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用560乘以右眼视力在及以上的学生人数占比即可； 【小问1详解】 解：统计相关数据可得，，． 故答案为：2，4． 【小问2详解】 解：∵共有20个数据， ∴由小到大排列，中位数为第10和第11数的平均数， ∴中位数． 故答案为：． 【小问3详解】 解：人． 答：估计该校八年级学生右眼视力在及以上的学生人数为252人． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作．点在格点上． （1）在图中，是面积为2的等腰三角形； （2）在图②中，是面积为的直角三角形； （3）在图③中，是面积为的锐角三角形． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）取格点，由图可得，； （2）取格点，由图可得，，可得，得是直角三角形， ； （3）取格点，由图可得，，，可得，得是锐角三角形，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 图①是王老师常用的一教单肩包，其肩带由单层部分、双层部分和调节扣构成.通过调节扣（调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短双层部分的长度，使肩带的长度（单层部分与双层部分长度的和）加长或缩短.小红为研究王老师这款单肩包单层部分的长度（厘米）与双层部分的长度（厘米）之间的关系，进行了次测量，下表是测量得到的数据． （1）根据表中与的对应值，在图②给定的平面直角坐标系中描出相应的点； （2）观察（）中描出各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由； （3）按照王老师的身高和习惯，肩带的长度调为厘米为最佳肩带长，此时单层部分的长度为_____厘米． 【答案】（1） 如图，描点如下： （2）在同一条直线上， （3） 【解析】 【分析】（）根据表格对应值描出各点即可； （）由（）图可判定各点在同一条直线上，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （）由求出的值，进而求出值即可求解； 本题考查了画一次函数图象，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）可知，这些点在同一条直线上， 设这条直线对应的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴这条直线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 即， 解得， ∴， ∴此时单层部分的长度为厘米， 故答案为：． 22. 【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究] 证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]9； [问题拓展] 【解析】 【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； [问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论； [问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】解：[问题探究]略 [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 23. 如图，在中，．过点作于点，点是边上的动点（点不与点重合），连结，过点作，过点作于点，连结． （1）线段的长为_____； （2）当A、D、Q三点共线时，求线段的长： （3）连接，若经过边的中点．求证：四边形是矩形； （4）连接，线段的最大值是____，此时线段的长是_____． 【答案】（1） （2） （3）证明：如图： ∵，， ∴， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形． （4）4 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，灵活应用所学知识并确定点Q的轨迹是解题的关键． （1）直接在中解直角三角形即可； （2）由勾股定理可得，即；再根据题意画出图形，易得，然后在中解直角三角形即可； （3）先根据题意画出图形易证可得，再证四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （4）由平行四边形的性质可得，，再说明点Q在以的中点为圆心，以为半径的圆上运动，则当三点共线时，有最大值；如图：过O作，则四边形是矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求得即可；如图：设圆O与相交于点G，过G作，则；然后根据平行线的性质、正弦的定义、余弦的定义得到，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ∵， ∴，解得：． 故答案为4． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 如图：当A、D、Q三点共线时， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵在中，， ∴，， 如图： ∵， ∴点Q在以的中点为圆心，以为半径的圆上运动， 当三点共线时，有最大值， 如图：过O作，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最大值是13； 如图：设圆O与相交于点G，过G作，则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，解得：，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，与轴交于点.点A、B是该拋物线上不重合的两点，横坐标分别为，作点关于点的对称点. （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）试说明点与点的横坐标之差为2； （3）当点在第一象限时，连结，以为邻边作. ①当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； ②当点落在的边上时，直接写出的值. 【答案】（1） （2） ∵点是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，且 ∴点，点的坐标为． ∵点关于点的对称点． ∴ ∴的坐标为． 故． ∴点与点的横坐标之差为2． （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法进行求解，即可作答． （2）因为点是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为，得点，点的坐标为．结合点关于点的对称点，故 的坐标为，再列式化简得．即可作答． （3）①当点在第一象限时，连结、，以、为邻边作，且，得．则，即点的坐标为，列式．解得（舍去），当经过抛物线顶点时，即．解得（舍去），即可作答． ②当点在上时，因为，证明，即，整理得，解得，当点在上时， 因为，证明，故，整理得，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：把代入， 得． 解得 ∴该抛物线对应的函数表达式是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在第一象限时，连结、，以、为邻边作， 则，， ∵， ∴ ∵与轴交于点． ∴， ∴． 则 即 ∴ ∴点的坐标为． ∵ ∴． 解得（舍去） 当经过抛物线顶点时， ∴． 即． ∴． 解得（舍去） 综上，的取值范围是：． ②由（2）得点，的坐标为．由①得点的坐标为． 当点在上时， 如图所示：过点E作轴， 过点C作轴，两直线交于一点，过点作与点M， ∵ ∴， ∴， 即， 故， 整理得， ∴， 故， 解得，或（舍去）， 当点在上时，过点E作轴， 过点D作轴，两直线交于一点，过点作与点M，如图所示： ∵ ∴ ∴， 即， 故， 整理得， ∴， 故， 解得或（舍去） 综上： 或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求解析式、平行四边形的性质，公式法解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $