精品解析：河南省安阳市滑县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

八年级数学拓展训练二 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解本题的关键．形如，这样的代数式是二次根式，根据定义逐一分析即可额． 【详解】解：是三次根式， 是二次根式，不是二次根式，只有当是二次根式， 故A符合题意； 故选A 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过等式变形，将的系数化为，再对根式进行化简计算．本题主要考查二次根式的运算及一元一次方程的求解，熟练掌握二次根式的化简与运算，通过系数化为求解方程是解题的关键． 【详解】解：由，两边同时除以， 得 ， ∴ , 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别对每个选项依据二次根式的运算法则（加减时需先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；乘除时 ， ）来判断计算是否正确．本题主要考查二次根式的加减乘除运算法则，熟练掌握同类二次根式的概念以及二次根式乘除、加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接相加，所以，A错误． 选项B：先化简，则，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，D正确． 故选：D 4. 下列属于勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，2，3 D. ，2， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于勾股数，符合题意； B、，但不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； C、，不属于勾股数，不符合题意； D、，且不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，点坐标为，则线段的长为（ ） A. B. C. 13 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理直接列式计算即可．本题考查的是已知两点坐标求解线段的长，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 【详解】解：∵点坐标为，，， ∴， 故选B 6. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 7. 边长为5的菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质，先连接对角线，结合勾股定理求出相关线段长度，进而确定点坐标．本题主要考查菱形的性质与勾股定理的应用，熟练握菱形对角线互相垂直且平分、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， ∵菱形， ∴，， ． ∵， ∴ ． ∵菱形边长， ∴在中，由勾股定理得 ， ∴ ， ∵点在第四象限， ∴点坐标为 , 故选C． 8. 如图，在正方形的外侧作等边，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形的性质，求出相关角的度数，再根据等腰三角形的性质计算的度数．本题主要考查正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些图形的性质，通过角度的计算求解是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，， ∴ ． 同理， ． ∵， ∴ ． 故选：B． 9. 如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理，把圆柱的高和底面直径作为直角边，求出斜边长度，即能放入铅笔的最长长度． 本题主要考查圆柱的性质与勾股定理的应用，熟练掌握圆柱底面直径与高和最长线段构成直角三角形，运用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：圆柱底面半径为， ∴底面直径为 ，圆柱高 ． 能放入的最长铅笔长度为底面直径与高构成直角三角形的斜边， 根据勾股定理（， ），可得 ， 故选：C． 10. 如图，在中，，对角线的垂直平分线交于，若的周长是8，则长为（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，再根据的周长得出，即可求解． 【详解】解：在中，， ，， 垂直平分， ， 的周长是8， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，任取范围内一个x的值即可. 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则被开方数， 解得， 即任意大于或等于的实数都符合要求. 故答案为（答案不唯一） 12. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13. 若最简二次根式与的和是一个单项式，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意易得最简二次根式与是同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴； 故答案为：1． 14. 如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，连接，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．证明四边形是平行四边形，设两条宽度相同的纸条的宽度为，再根据平行四边形的面积，得出，从而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：纸条的对边平行， ，， 四边形是平行四边形， 设两条宽度相同的纸条的宽度为， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 15. 矩形中，，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，连接，，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理，分和两种情况，结合三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：当时，如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴； 当时，则：； 同理：，， ∴； 故答案为：或 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查利用立方根解方程，二次根式的混合运算： （1）利用立方根的定义，解方程即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， 移项得，， 开方得，， 移项得，； （2）原式 ． 17. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作垂线的垂足为，求的长度． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2）3 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点和另一点，以点和另一点为圆心，大于两点间的距离为半径画弧，交于一点，连接点和该点的直线即为所求； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，， ∴， 在中， ． 18. 如图，中，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的混合运算，熟练掌握勾股定理和二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）利用面积公式结合二次根式的乘法进行计算即可； （2）利用勾股定理和二次根式的混合运算，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵中，，，， ∴的面积， 即的面积是2； 【小问2详解】 ∵中，，，， ∴． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以图中的格点为顶点画一个面积为17的正方形； （2）在图2中以图中的格点为顶点画一个周长为的矩形． 【答案】（1） 由题意，画图如下： （2） 由题意，画图如下： 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，勾股定理与网格问题： （1）画一个边长为的正方形，即可； （2）画一个长为，宽为的矩形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，，，且． （1）求证：； （2）若，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）矩形， 理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，矩形的判定，等边对等角等等，熟知全等三角形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，再由等边对等角可得，据此可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，得到，则．进而可证明，则平行四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索（或）的长度为尺. 【解析】 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解. 本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程是解题的关键. 【详解】解：设的长为x尺, 尺，尺， (尺), 在中，尺，尺，尺， 由勾股定理得： 解得：， 答： 秋千绳索（或）的长度为尺. 22. 如图，边长为4的菱形中，、、、依次为，，，各边的中点． （1）求证：四边形为矩形； （2）当______时，四边形为正方形． 【答案】（1） 证明：连接， ∵、、、依次为，，，各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，正方形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相关性质和判定方法，是解题的关键： （1）连接，根据三角形的中位线定理得到四边形为平行四边形，，进而得到四边形为矩形； （2）根据有一组邻边相等的矩形为正方形，得到当时，即，菱形为正方形，四边形为正方形，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，四边形为正方形，理由如下： 当时，菱形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 作于P，于Q， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）作于P，于Q，证明，即可； （2）勾股定理得到，进而得到为的中点，得到点F与C重合，矩形为正方形，即可得出结果； （3）分与的夹角为和与的夹角为，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2中，在中，， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， ∴点F与C重合，矩形为正方形， ∴． 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在BC边上，， 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：， ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学拓展训练二 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列属于勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，2，3 D. ，2， 5. 在平面直角坐标系中，点坐标为，则线段的长为（ ） A. B. C. 13 D. 5 6. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 边长为5的菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形的外侧作等边，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，对角线的垂直平分线交于，若的周长是8，则长为（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 12. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 13. 若最简二次根式与的和是一个单项式，那么______． 14. 如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使，连接，则的度数为______． 15. 矩形中，，对角线，交于点，点是边的三等分点，连接，点是的中点，连接，，则的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在中，，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作垂线的垂足为，求的长度． 18. 如图，中，，，． （1）求的面积； （2）求的长． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以图中的格点为顶点画一个面积为17的正方形； （2）在图2中以图中的格点为顶点画一个周长为的矩形． 20. 如图，，，且． （1）求证：； （2）若，判定四边形的形状，并说明理由． 21. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度． 22. 如图，边长为4的菱形中，、、、依次为，，，各边的中点． （1）求证：四边形为矩形； （2）当______时，四边形为正方形． 23. 如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $