精品解析：湖南省常德市澧县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年上学期期中考试试卷 八年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 2. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 5. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，B是y轴上的任意一点，则线段的最小值是（ ） A 5 B. 7 C. 12 D. 17 7. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 9. 如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A 6 B. C. 5 D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 在中，斜边上的中线，则斜边的长是______． 12. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 13. 中，，，则______． 14. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______． 15. 冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是______．． 16. 如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为________． 17. 如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为_________． 18. 窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则______． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上． 20. 如图，在中，，是对角线上两点，且．求证：． 21. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． （1）求证：四边形是矩形． （2）若还满足，则四边形的形状为________． 22. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间． 23. 放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． （1）求此时风筝的垂直高度的长； （2）若放风筝同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 24. 如图，在平行四边形中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案 乙方案 我的方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）你认为按照他们两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由． （2）请你给出一种和他们不同的方案．并说明这三种方案有什么共同的特征． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期期中考试试卷 八年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列长度的线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 6，8，10 B. 5，12，13 C. ，，3 D. 1.5，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解答． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 2. 如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，求解即可． 【详解】解：∵，点在同一水平线上， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，则的值可能为（ ） A. B. 4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，根据点在第三象限，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， ∴的值可能为； 故选A． 5. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，点，B是y轴上的任意一点，则线段的最小值是（ ） A. 5 B. 7 C. 12 D. 17 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的特征是解题的关键． 如图：过点A作轴，此时的长度最小，然后根据平面直角坐标系即可解答． 【详解】解：如图：过点A作轴，此时的长度最小， 即的最小值为5． 故选：A． 7. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，菱形的对角线交于点O，且，，则菱形的高的长是（ ） A. 10 B. 96 C. 9.6 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴； 故选C． 9. 如图，在中，，，，点N是边上一点．点M为边上的动点（不与点B重合），点D，E分别为，的中点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，当点M与点B重合时，最大，从而可得到的取值范围．． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 当点M与点B重合时，最大值8，最大值为4， ∵点M为边上的动点（不与点B重合）， ∴． 故选D． 10. 如图、在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为， 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 在中，斜边上的中线，则斜边的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵是斜边上中线，， ∴． 故答案为：． 12. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； ②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故答案为：②④⑤． 13. 在中，，，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据三角形的内角和等于180度，能够得出答案． 【详解】解：根据三角形的内角和等于180度， ∴，即， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，理解三角形的内角和等于180度是解题的关键． 14. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是______． 【答案】30 【解析】 【分析】如图，根据角平分线的性质得出DE＝DC＝4，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，则∠E＝∠C＝90°， ∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝DC=4， ∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD＋S△BAD＝×BC×CD＋×AB×DE＝×9×4＋×6×4＝30， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE＝DC是解此题的关键． 15. 冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是______．． 【答案】##720度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和计算公式是关键． 根据n边形内角和为，求解即可． 【详解】解：这个多边形为六边形，它的内角和为：． 故答案为：． 16. 如图，等边的顶点与矩形的中心重合，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，根据矩形和等边三角形的性质可得：，，，根据，即，即可求解． 详解】解：如图，连接， 等边的顶点与矩形的中心重合， ，，， ，即， ， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，点E是边的中点，分别交，边于点F，G．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作交于点N，先证明，推出，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点N，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 18. 窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则______． 【答案】336 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和，邻补角定义，先根据多边形外角和为，求出，然后求出即可． 详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：336． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 如图所示，已知，．求证：点C在的平分线上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作，的延长线，根据条件证明即可得，从而证明． 【详解】解：如图，作，的延长线，垂足分别为E，F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C在的平分线上． 【点睛】本题考查角平分线的判定， 掌握角平分线的判定定理和全等三角形的判定与性质是关键． 20. 如图，在中，，是对角线上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，据此可证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． （1）求证：四边形是矩形． （2）若还满足，则四边形的形状为________． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 22. 由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在市的正西方向的处，以的速度正向南偏东的方向移动，距沙尘暴中心的范围内是受沙尘暴严重影响的区域．市是否会受到沙尘暴的影响，请说明理由；若受影响，求出受影响的时间． 【答案】受影响，10h 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理的运用，根据题意，过点作于，根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，求出；以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响，勾股定理解出，再根据速度公式，求出移动时间，即可． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴市受沙尘暴影响； 以点为圆心，为半径作圆，交于点，，当沙尘暴在线段上移动，都对市有影响， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴受影响的时间为． 答：市会受到沙尘暴的影响，市受沙尘暴影响的时间为． 23. 放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的距离为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． （1）求此时风筝的垂直高度的长； （2）若放风筝的同学站在点不动，风筝沿的方向继续上升到处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿方向上升的高度的长． 【答案】（1）米 （2）12米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求出米，然后得到米，进而求解即可； （2）首先得到米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵米，米， ∴米 ∵米 ∴米 ∴米； 【小问2详解】 ∵风筝线又放出了8米， ∴米， ∴米， ∴米． 24. 如图，在平行四边形中，点O是对角线AC的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下： 甲方案 乙方案 我的方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）你认为按照他们两人的方案得到的四边形是平行四边形吗？如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．如果哪种方案不可行，请说明理由． （2）请你给出一种和他们不同的方案．并说明这三种方案有什么共同的特征． 【答案】（1）甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形．证明见解析 （2）在上取，这三种方案的共同点是． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质： （1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的性质与判定证明即可，甲方案：两条对角线相互平分的四边形为平行四边形；乙方案：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形； （2）在上取，即可得到四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形； 证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； 乙方案： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【小问2详解】 在上取，即可得到四边形为平行四边形， 证明：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 三种方案都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$