河南省名校阶段性测试（四）2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

大联考 2024—2025学年高一年级阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，进出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 棱柱的所有面都是四边形 B. 棱柱的侧面一定是平行四边形 C. 棱柱的侧棱不全相等 D. 各条棱长都相等的棱柱一定是正方体 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 5. 如图，在正四棱锥中，为底面的中心．若，则绕旋转一周形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体，中，，为正方形内（含边界）一动点，是棱，的中点，且，则点的轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 教材中关于数量积有如下性质“，当且仅当时等号成立”，应用该结论可以解决某些函数最值问题，则函数的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在正方体中，是底面的中心，是所在棱的中点，为顶点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 13. 在中，，为边上的动点，则___________． 14. 已知四棱锥的体积为，底面为矩形，，则该四棱锥外接球表面积的最小值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）求： （2）设在复平面内对应的点分别为，求向量在向量上的投影向量的坐标（为坐标原点）． 16. 如图，在锐角中，． （1）求的面积； （2）求． 17. 如图，在三棱锥中，，是的中点，点分别在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 如图，在正三棱台中，． （1）求证：； （2）求正三棱台的体积； （3）求正三棱台内能容纳的最大球的体积． 19. 如图，在四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，点在同一个圆的圆周上，且，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正弦值． 大联考 2024—2025学年高一年级阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，进出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】CD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】32 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 法一：如图，在线段上取一点，使得，连接． 由已知得，且． 在线段上取一点，使得，连接． 由已知得，且， 所以，且，因此四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面． 法二：如图，连接并延长交于点，连接． 因为是的中点，且，所以是的重心， 所以是的中点，， 又因为，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）． 【18题答案】 【答案】（1） 法一：延长交于点，如图． 因为， 所以三棱锥是所有棱长均为2的正三棱锥． 设在底面内的射影为，则为底面的中心． 连接，则， 又平面，所以平面， 又平面，所以，即， 又，所以． 法二：延长交于点，如图． 因为，所以三棱锥是所有棱长均为2的正三棱锥． 取的中点，连接，则， 又平面，所以平面， 又平面，所以，即． （2） （3） ． 【19题答案】 【答案】（1） 取的中点，连接，如图， 由为等边三角形，得， 又平面平面，且平面平面， 平面，则平面，又平面，则， 由点在同一个圆的圆周上，，得，即， 又平面，于是平面， 又平面， 所以平面平面． （2） （3） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $