精品解析：湖北省黄石市第二中学2025届高三下学期适应性考试(一)数学试题

黄石二中2025届高三下学期适应性考试（一） 数学 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球 3. 设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数（为虚数单位），则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 某次文艺汇演，要将这六个不同节目编排成节目单．如果两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设数列满足，，，，则满足的的最大值是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 8. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，且为等腰直角三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B. 若，则 C. 已知，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大 10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 若自由放置，共有3125种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列命题中，可能成立的是（ ） A. 曲线上所有的点到点的距离大于2 B. 曲线上有两点到点与的距离之和为6 C. 曲线上有两点到点与的距离之差为2 D. 曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数是______．（用数字作答） 13. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数a的取值范围是______． 14. 已知函数，若在该函数的定义域上存在互异的个数、、，使得，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 文旅部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到0.001）； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”. 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数，参考数据：，线性回归方程：，其中，，，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 如图，线段是圆的直径，点是圆上异于的点，底面是上的动点，且是的中点. （1）若时，记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； （2）若平面与平面所成的角为，点到平面的距离是，求的值. 17. 设函数． （1）若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与交于不同的两点，，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上，并求出椭圆的方程． （3）已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程． 19. 已知是公差为2的等差数列，其前10项和为100；是公比大于0的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）记，，，． ①证明数列是等比数列： ②证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄石二中2025届高三下学期适应性考试（一） 数学 全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，根据集合中的元素的特征，判断两集合的关系，由此可得结论. 【详解】由，， 可得，， 所以集合是由元素的奇数倍构成的，集合是由元素的整数倍构成的， 所以，. 故选：C. 2. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球 C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球 D. 至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【解析】 【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b， 则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 3. 设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出该方程表示双曲线时的的取值范围，再根据必要不充分条件的概念即可找出正确选项． 【详解】若该方程表示双曲线，则 ，即 ，又，解得 ， 对于A，是充要条件，A不是； 对于B，真包含于，则是必要不充分条件，B是； 对于 C，真包含于，则是充分不必要条件，C不是； 对于D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，D不是. 故选：B 4. 已知复数（为虚数单位），则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义确定复数对应的点在椭圆上，由椭圆的性质可得． 【详解】设，又，则，消去得， 所以复数z对应的复平面上的点在椭圆上，其右焦点为，， 表示复数与对应的点间的距离，即椭圆的点到右焦点的距离， 则最小值为， 所以的最小值为． 故选：B. 5. 某次文艺汇演，要将这六个不同节目编排成节目单．如果两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】将捆绑，且可从3个位置选择，再将剩余4人进行全排列，得到答案. 【详解】将捆绑，且可放入；和三个位置，故有种情况， 将其它4个节目和4个位置进行全排列，有种情况， 故节目单上不同的排序方式有种. 故选：B 6. 函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知分段函数在每段上为增函数，且，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且， 即，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：D. 7. 设数列满足，，，，则满足的的最大值是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得，，，所以是首项为1，公差为1的等差数列，是首项为2，公差为1的等差数列，分别求得为奇数时，；为偶数时，，代入不等式求出符合条件的的值即可得的最大值. 【详解】数列满足,,，则， ，即，① ，，② 当是奇数时, 由①得，， 由，得，解不等式，得， 又,所以此时的最大值是9； 当是偶数时, 由②得，， 由，得，解不等式，得， 而,所以此时的最大值是12. 综上可知, 的最大值是12. 故选：C. 8. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，且为等腰直角三角形，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得：，根据，且为等腰直角三角形求出抛物线方程，当最小，即最小时，取得最小值，当为抛物线切线时取最小值，据此即可求解. 【详解】 由题意得：，， 因为，所以，因为为等腰直角三角形， 所以，因为， 所以，所以，所以抛物线方程为， 过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两者交于点， 由抛物线定义可知，所以当最小， 即最小时，取得最小值， 由图易知当为抛物线切线时取最小值， 不妨设点在轴下方，因为， 所以，设点， 所以，因为， 所以，所以，所以， 因为，所以. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据，且为等腰直角三角形求出抛物线方程，当最小，即最小时，取得最小值，当为抛物线切线时取最小值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 B. 若，则 C. 已知，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用数量积公式结合夹角公式计算判断A，应用不等式性质计算判断B，应用组合数及排列数计算判断C，列不等式求解概率最大值判断D. 【详解】A.因为，两边同时平方，得，即，所以， 因此，因为，所以， 因此与的夹角为锐角或零角，故A错误，符合题意； 对于B，由于，故，故，B正确， 对于选项C：根据排列数和组合数的计算公式可得，，， 因为，所以有，即解得，故选项C正确； 对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，， 当时，对应的概率， 所以当时，， 令得，即， 因为，所以且， 令，可得， 所以， 即时，概率最大，故选项D正确． 故选：BCD． 10. 现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ） A. 若自由放置，共有3125种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C. 每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D. 将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合组合数、排列数由分步乘法计算原理逐项计算即可求解； 【详解】对于选项A：每个小球都有5种选择，所有共有种，故A正确； 对于选项B：第一步，选择一个盒子不放球，由, 第二步，5个小球分成4组，分别放入4个盒子有：， 所以共有种，故B错误； 对于选项C：第一步选择两个盒子使得编号与小球相同，有， 第二步，剩下3个球，3个盒子使得盒子编号与小球编号不相同共有2种， 所以共有20种，故C正确； 对于选项D：第一步，确定哪个盒子不放球，有， 第二步，剩下四个盒子确定哪个盒子放两个球，即可； 所有共有20种，故D正确； 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列命题中，可能成立的是（ ） A. 曲线上所有的点到点的距离大于2 B. 曲线上有两点到点与的距离之和为6 C. 曲线上有两点到点与的距离之差为2 D. 曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件得出点的轨迹方程为直线，应用点到直线的距离判断A，应用椭圆定义及双曲线定义计算判断B，C，应用抛物线的定义，联立方程组应用判别式判断D. 【详解】设，则由已知可得， ， 所以，点的轨迹方程为直线：． 对于A，点到直线的距离，故A错误； 对于B，根据椭圆的定义可知，到点与的距离之和为6的点在椭圆上，设椭圆方程为， 则，，所以，， 所以，椭圆方程为． 当时，直线方程为，显然与椭圆有两个交点， 即曲线上有两点到点与的距离之和为6，故B正确； 对于C，根据双曲线的定义可知，到点与的距离之差为2的点的轨迹为双曲线的一支． 设双曲线的方程为， 则，，所以，， 所以，双曲线的方程为． 因为双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为2， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行或重合， 所以，直线与双曲线一支最多有一个交点，故C错误； 对于D，当时，根据抛物线的定义可知，到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹为抛物线． 由已知可设抛物线的方程为， 联立可得，， ， 所以，当时，直线与抛物线有两个交点， 即曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等，故D正确． 综上所述，可能成立的为BD． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】展开式中项的系数为. 故答案为：. 13. 若对圆上任意一点，的取值与无关，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为点到直线的距离，然后根于直线和圆的位置关系求得的取值范围. 【详解】设， 则可以看作点到直线， 与到直线的距离之和的倍． 因为的取值与无关， 所以上述距离之和与点在圆上的位置无关． 如图，当直线m平移时，点P到直线m，l的距离之和均为m与l间的距离， 即此时圆在两直线之间． 当直线m与圆相切时， ，化简得， 解得或（舍去）． 所以，即． 故答案为： 【点睛】本题的突破口在于化归与转化的数学思想方法，将转化为点到直线的距离，将“与无关”转化为“圆在两直线之间”，进过转化之后，就可以利用直线和圆的位置关系等知识求得问题的答案. 14. 已知函数，若在该函数的定义域上存在互异的个数、、，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，直线与函数的图象在上有个公共点，求出当直线过点时的值，然后对实数的取值进行分类讨论，数形结合可得结果. 【详解】在上存在互异的个数、、，使得， 即方程在上有个互异的根， 于是得直线与函数的图象在上有个公共点， 函数，的图象如图所示， 直线随着从开始不断增大而围绕原点逆时针旋转， 当时，直线与函数的图象只有一个公共点， 直线与函数的图象的公共点为时，， 当时，直线与函数的图象始终有个公共点， 当时，直线与函数的图象最多有个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 文旅部门统计了某网红景点在2022年3月至7月的旅游收入（单位：万），得到以下数据： 月份 3 4 5 6 7 旅游收入 10 12 11 12 20 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到0.001）； （2）为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了200名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，并判断能否有99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”. 喜欢 不喜欢 总计 男 100 女 60 总计 110 参考公式：相关系数，参考数据：，线性回归方程：，其中，，，其中. 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）可用线性回归模型拟合与的关系，. （2）列联表见解析，有99.9%的把握认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关. 【解析】 【分析】（1）先依据已知条件依次计算、、、和，进而计算，从而得出可用线性回归模型拟合与的关系，再根据最小二乘法求出即可得解. （2）由已知数据即可填写列联表；根据表格数据计算，再结合独立性检验基本思想方法即可得解. 【小问1详解】 由已知得：，， 所以， ， ， 所以， 因为，说明与的线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合与的关系， 所以， 所以关于的线性回归方程为：. 【小问2详解】 列联表如下所示： 喜欢 不喜欢 总计 男 70 30 100 女 40 60 100 总计 110 90 200 零假设：游客是否喜欢该网红景点与性别无关， 根据列联表中数据，， 依据小概率值的独立性检验推断不成立， 即有的把握认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关. 16. 如图，线段是圆的直径，点是圆上异于的点，底面是上的动点，且是的中点. （1）若时，记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； （2）若平面与平面所成的角为，点到平面的距离是，求的值. 【答案】（1） 直线平面. 证明：当时，是的中点，又因为是的中点， 所以，又平面，且平面，所以平面.又平面，且平面平面， 所以. 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）可证平面，从而得到，故可得直线平面； （2）根据平面与平面所成的角为可得，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点面距公式可求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是圆的直径，所以. 由勾股定理得，因为平面，平面， 所以.又，平面， 所以平面，而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， 设平面的一个法向量为， 则所以， 令，则，得， 所以， 所以点到平面的距，所以. 17. 设函数． （1）若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. （2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①； ②证明：令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，. （2） 【解析】 【分析】（1）①对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解. ②令，利用导数法求得其在上单调递减，结合，即可证明. （2）对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 ①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即． ②略 【小问2详解】 由函数，可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m的取值范围为． 18. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，且经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若双曲线的左、右顶点分别为，，动直线与交于不同的两点，，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上，并求出椭圆的方程． （3）已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线与双曲线相切于点，当点位于第一象限，且被轴分割为面积比为的两部分时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，求解即可； （2）设，利用点斜式求出直线的方程，再将两式相乘即可求出； （3）设，，若与双曲线方程进行联立，根据得出，根据点在第一象限求出的范围，若与双曲线方程进行联立，即可求出点的坐标，再根据列出方程组即可求解出. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为，则，，， 解得，， 故双曲线的标准方程. 【小问2详解】 由（1）知， 设，则，且， 直线的方程分别为， 两式相乘得，即， 因为点E既在直线上，又在直线上，所以点E的坐标满足， 所以点E恒在椭圆上． 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率存在且不为，故设直线， 则切线， 设切点， 联立，得， 则，，， 则，， 则， 得，，即或（舍，此时直线与双曲线无交点）， 如图，设直线与轴的交点为，在第二象限，在第四象限， 设，， 因被轴分割为面积比为的两部分， 则，则， 联立，得，则，则， 则， 故，即， 与联立得，， 故直线的方程为. 19. 已知是公差为2的等差数列，其前10项和为100；是公比大于0的等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）记，，，． ①证明数列是等比数列： ②证明． 【答案】（1），； （2） ①由（1）知，， 于是，则， 所以数列是等比数列. ②由（1）及①知，， 即，因此， 设，则， 两式相减得，于是， 所以. 【解析】 【分析】（1）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式. （2）①运算可得，结合等比数列的定义即可得证. ②放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证. 【小问1详解】 由是公差为2的等差数列，其前10项和为100， 得，解得，所以； 设等比数列的公比为，由，， 得，则，所以. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：最后一问考查数列不等式的证明，由于无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $