精品解析：广东省惠州市惠城区综合高级中学2024-2025学年度下学期5月综合素质训练 八年级数学试卷

2024-2025学年度第二学期5月综合素质训练八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 说明：选择题考生必须用2B铅笔按要求涂黑，非选择题用黑色钢笔或签字笔在指定区域作答． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、被开方数含开的尽的因数，故A不符合题意； B、被开方数含分母，故B不符合题意； C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 在某次以足篮排三大球为主题的运动会中，甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是，方差分别是如果要从中选择更高更整齐的啦啦队进行表演，你认为最应该派去参加比赛的是（　　） A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，平均数，根据方差和平均数的意义求解即可．解题的关键是掌握方差的意义． 【详解】解：∵甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是， ∴选择甲、乙两个啦啦队， ∵， ∴派去参加比赛的是甲队， 故选： 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法或除法运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．直接利用二次根式的乘法或除法运算法则依次计算进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、无意义，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象过点 B. y值随着x值的增大而增大 C. 函数的图象经过第三象限 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质对每一项进行判断分析即可得出结果． 【详解】解：A、将时，代入函数解析式得，故图象不经过点，说法错误，不符合题意； B、因为函数，所以随的增大而减小，说法错误，不符合题意； C、因为函数解析式与轴的交点，与轴的交点，所以可得它的图象不经过第三象限，说法错误，不符合题意； D、当时，，又由随的增大而减小可知，当时，，说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键． 5. 在Rt中，，斜边，则斜边上的中线（　　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】解：如图，在中，，斜边， 斜边上的中线， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键． 6. 若，两点都在直线上，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：∵直线中的， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 7. 如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，勾股定理求出的长，进而得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∵点在原点的左侧， ∴点C表示的数为； 故选A． 8. 如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得边长为12，根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长为48cm， ∴AD=12cm，AC⊥BD， ∵E是AD的中点， ∴OE=AD=6（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质；三角形中位线定理，掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，再进一步利用勾股定理可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴， 解得：， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线y=kx-3（k＞0），与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则这三个点是（1，-1），（1，-2），（2，-1），因此此时的k的取值范围应介于直线l1和直线l2的两个k值之间． 【详解】解：如图：直线y=kx-3（k＞0），一定过点（0，-3）， 把（3，0）代入y=kx-3得，k=1； 把（3，-1）代入y=kx-3得，k=， 直线y=kx-3（k＞0），与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则k的取值范围为≤k＜1， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数之间的关系，利用图象确定k的取值范围介在直线l1和直线l2的两个k值之间是解决问题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分共15分） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：二次根式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键． 12. 将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，对角线，，则这个菱形的周长为______． 【答案】40 【解析】 【分析】由四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相平分且垂直，即可得OA＝AC＝×12＝6，OB＝BD＝×16＝8，AC⊥BD，又由勾股定理，即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16， ∴OA＝AC＝×12＝6，OB＝BD＝×16＝8，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD ∴∠AOB＝90° ∴AB＝ ． ∴此菱形的边长为10， ∴周长为40． 故答案为：40． 【点睛】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握菱形的对角线互相平分且垂直的应用是解此题的关键． 14. 如图，直线y=x+b与y=kx的图象交于点M(-5，5)，则不等式x+b>kx的解集为________ 【答案】x>-5 【解析】 【分析】根据题意可知，不等式x+b>kx时，直线y=x+b在y=kx上方，由此可得出x的取值范围. 【详解】解：根据题意可知，不等式x+b>kx时，直线y=x+b在y=kx上方,此时x＞-5. 故答案为x＞-5 【点睛】本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键. 15. 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去…，则正方形的面积为______． 【答案】625 【解析】 【分析】连接AC，，如图（1），根据三角形面积公式得到，，则，所以，按照此规律易得正方形的面积． 【详解】解：连接AC，，如图（1）， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴正方形的面积． 故答案为：625． 【点睛】本题考查了正方形的性质，也考查了规律型问题的解决方法，本题利用等底同高的两个三角形面积相等解决问题． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，先根据二次根式的乘法法则，二次根式的除法法则，零指数幂和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 小亮步行上山游玩，设小亮出发x min加后行走的路程为y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系， （1）小亮行走的总路程是____________m，他途中休息了____________min. （2）当5080时，求y与x的函数关系式. 【答案】（1）3600，20；（2）y=55x-800. 【解析】 【分析】（1）由函数图象可以直接得出小亮行走的路程是3600米，途中休息了20分钟； （2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可； 【详解】解：（1）由函数图象，得 小亮行走的总路程是3600米，途中休息了50-30=20（分钟）． 故答案为3600，20；（2）设当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ∴当50≤x≤80时，y与x的函数关系式为：y=55x-800； 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题． 18. 某公司随机抽取18名销售员，他们的月销售额（单位：万元），数据如下： 25，26，24，22，18，23，22，27，25，21，21，24，35，39，36，35，41，47． 公司根据月销售额情况将销售员分为A，B，C，D四个等级，具体如表： 月销售额（万元） x≥40 30≤x＜40 20≤x＜30 x＜20 等级 A B C D 请根据以上数据回答下面问题： （1）若该公司共有180名销售员，试估计全公司A等级的销售员的人数； （2）为了调动工作积极性，公司决定对销售员进行奖励：A等级的每人奖励14万元，B等级的每人奖励10万元，C等级的每人奖励8万元，D等级的每人奖励6万元，求这18位销售员获得的平均奖励为多少万元？ 【答案】（1）20人；（2）9万元． 【解析】 【分析】（1）用180乘以样本中A等级的频率可估计全公司A等级的销售员的人数； （2）根据加权平均数的定义计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：抽取18名销售员，A等级的销售员有2人，频率为， 180×＝20（人）， 答：估计全公司A等级的销售员的人数是20人； （2）由题意得：A等级的销售员有2人，B等级的销售员有4人，C等级的销售员有11人，D等级的销售员有1人， ×（14×2+10×4+8×11+6×1）＝9（万元） 答：这18位销售员获得的平均奖励为9万元． 【点睛】本题考查平均数、加权平均数的计算方法，掌握平均数、加权平均数的计算方法是题的关键． 19. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）连接，与交于点O，由（1）则可得，再根据正方形的性质求出的长，然后在中，利用勾股定理可得的长． 小问1详解】 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，与交于点O， 由（1）得：， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【解析】 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【小问1详解】 解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． 【小问2详解】 解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角形的面积，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求出点，把坐标、分别代入计算即可； （2）根据，利用数形结合思想计算即可； （3）设，结合点，求出或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：直线与直线交于点， ， ， 直线交轴于点， ， 解得：， 直线的解析式为； 小问2详解】 解：根据函数图象得，当时，； 【小问3详解】 解：令，则， 解得：， ， 设， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 22. 在等边中，，点D是射线上一点，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，在线段上取一点E，使得，求证：； （2）如图2，当点D在延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，． ①当位于内部，且恰好被平分时，若，求的长度； ②如图3，当时，记线段与线段的交点为G，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）①；②，理由见详解 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质，利用证明，即可证得结论； （2）①过点作于点，先证，再利用等边三角形性质、角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可求得答案；②延长到点，使等于，连接，先证，再证，从而证得点是的中点，即可证得结论． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①过点作于点，如图2， 和中， ， ， ，， ， 在中，， ，， ， ， ； ②，理由如下： 延长到点，使，连接，如图3， ，， ， ， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ，， ,， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，含的直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段． 23. 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图4，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且．若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）、；、；， 【解析】 【分析】（1）如图1，过点轴于E．证明推出，，可得； （2）若将直线绕点A顺时针旋转得到，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，由（1）的模型可得，求出，再由待定系数法求函数的解析式； （3）分、、三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，过点轴于E， ∵点C的坐标为，A点的坐标为， ∴，， ∵等腰，，， 又∵轴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 若将直线绕点A顺时针旋转得到， 如图3，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， 由（1）的模型可得， ∵与x轴的交点， ， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 ∵直线分别交x轴、y轴于点A，C， ∴，， ∵． ∴， ∴， 设点，点， ①如图4， 当时，（点M在x轴上方）， 分别过点Q、B作y轴的平行线、，过点M作x轴的平行线分别交、于点G、H， 由（1）的模型可得：， ∴，， 即：，， 解得：，； 故点、点； 同理当点M在x轴下方时， ∴，，解得：（舍去）； ②当时，如图5， 同理可得：，， 解得：，， ∴、； ③当时，如图5， 同理可得：，， 解得：，， ∴，； 综上，、；、；，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质和判定，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形，结合坐标与图形性质解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期5月综合素质训练八年级数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分值：120分 说明：选择题考生必须用2B铅笔按要求涂黑，非选择题用黑色钢笔或签字笔在指定区域作答． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，最简二次根式( ) A. B. C. D. 2. 在某次以足篮排三大球为主题的运动会中，甲、乙两个啦啦队的平均身高都是，丙、丁两个啦啦队的平均身高都是，方差分别是如果要从中选择更高更整齐的啦啦队进行表演，你认为最应该派去参加比赛的是（　　） A. 甲队 B. 乙队 C. 丙队 D. 丁队 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象过点 B. y值随着x值的增大而增大 C. 函数的图象经过第三象限 D. 当时， 5. 在Rt中，，斜边，则斜边上的中线（　　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 若，两点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，，垂足为A，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　） A 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm 9. 如图，在中，，相交于点，，，记的长为，的长为，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点，直线与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有三个整点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分共15分） 11. 二次根式有意义，则取值范围是______． 12. 将直线向左平移3个单位长度，则所得直线的函数表达式为______． 13. 如图，在菱形中，对角线，，则这个菱形的周长为______． 14. 如图，直线y=x+b与y=kx的图象交于点M(-5，5)，则不等式x+b>kx的解集为________ 15. 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去…，则正方形的面积为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算：． 17. 小亮步行上山游玩，设小亮出发x min加后行走的路程为y m.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系， （1）小亮行走的总路程是____________m，他途中休息了____________min. （2）当5080时，求y与x的函数关系式. 18. 某公司随机抽取18名销售员，他们的月销售额（单位：万元），数据如下： 25，26，24，22，18，23，22，27，25，21，21，24，35，39，36，35，41，47． 公司根据月销售额情况将销售员分为A，B，C，D四个等级，具体如表： 月销售额（万元） x≥40 30≤x＜40 20≤x＜30 x＜20 等级 A B C D 请根据以上数据回答下面问题： （1）若该公司共有180名销售员，试估计全公司A等级的销售员的人数； （2）为了调动工作积极性，公司决定对销售员进行奖励：A等级的每人奖励14万元，B等级的每人奖励10万元，C等级的每人奖励8万元，D等级的每人奖励6万元，求这18位销售员获得的平均奖励为多少万元？ 19. 如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）直接写出当时，的取值范围； （3）若点在轴上，当的面积为时，求点的坐标． 22. 在等边中，，点D是射线上一点，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，在线段上取一点E，使得，求证：； （2）如图2，当点D在延长线上时，将线段绕点A逆时针旋转角度得到线段，连接，． ①当位于内部，且恰好被平分时，若，求的长度； ②如图3，当时，记线段与线段的交点为G，猜想与的数量关系，并说明理由． 23. 美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，过等腰直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点E，研究图形，不难发现：． （1）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，点C的坐标为，A点的坐标为，求B点坐标； （2）如图3，在平面直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图4，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且．若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点Q和点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $