精品解析：山东省青岛市崂山区 2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 （满分：120分，时间：120分钟） 温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键． 轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是从左边到右边为整式乘法，不合题意； B．是从左边到右边为因式分解，满足题意； C．，故该选项不合题意； D．，故该选项不合题意． 故选：B． 3. 若不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解）．根据大于小的小于大的无解，可得到，解出关于m的不等式即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故选：C． 4. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧①；步 骤 2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列结论一定正确的是（ ） A. B. 点是中点 C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，由作法可得垂直平分，从而得出，，再根据三角形面积公式判断即可得出答案． 【详解】解：由作法可得：垂直平分， ，， ， 故选：D． 5. 如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 由旋转性质得，，在中由三角形内角和求得，便可求得结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵绕点B顺时针旋转一个角度得到， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为.将先绕点顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标是( ) A. B. C. (3,2) D. (2,2) 【答案】D 【解析】 【分析】先求出A点绕点顺时针旋转90°后所得到的坐标，再求出向右平移3个单位长度后得到的坐标，即为变换后点的对应点坐标. 【详解】将先绕点顺时针旋转90°，得到点坐标为(-1,2),再向右平移3个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点的对应点坐标是(2,2). 【点睛】本题考查点的坐标的变换及平移. 8. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克，根据题意列不等式求解即可． 【详解】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克， 根据题意得：购进这批水果用去元，但在售出时，水果只剩下千克， 售货款为元， 根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式： ，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键，要抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”等． 9. 对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围． 【详解】解：有正整数解， ， 即，， ， 是正整数，为正数， ，即可取1、2； ①当取1时， ，， ； ②当取2时， ，， ； 综上可得的范围是：或． 故选：D． 【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度． 10. 如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确的个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，即可判断结论②；再根据全等三角形的性质，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，即可判断结论①；再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据，得出，即可判断结论③；根据勾股定理，得出，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据等量代换，得出，同理得出，然后把代入，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵在和中， ， ， ∴．故结论②正确； ， ， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ， ，故结论①正确． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴，故结论③错误． ∵，即， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴在中，利用勾股定理得：． ∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确结论为①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 把多项式x3﹣4x分解因式的结果为_______． 【答案】x（x+2）（x-2） 【解析】 【分析】先提取公因式x，然后再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：x3-4x， =x（x2-4）， =x（x+2）（x-2） 故答案为：x（x+2）（x-2）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于要进行二次分解因式． 12. 如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组，可得该不等式组的解，根据该不等式组仅有5个整数解，可得答案．本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的的不等式组有且仅有5个整数解，即6，5，4，3，2， ∴ 解得． 故答案为： 13. 如图，中，，的三条内角平分线交于点，于，若，则的周长是___________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题综合考查三角形内角平分线的性质和三角形的面积计算公式． 由三角形内角平分线的性质，可得点O到三边的距离都等于的长，将面积看作3个三角形面积之和，即可得到的周长． 【详解】解：∵点O是三角形三条角平分线的交点，， ∴点O到三边的距离等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：100 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，结合直线与直线交于点，利用数形结合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据得， ∵直线与直线交于点，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点以及解不等式：先把代入，得，结合图象，得，则，那么，即为，系数化1，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与轴的交点坐标为 ∴把代入，得， ∴ 结合图象，得 ∵ ∴ 则 ∵ ∴ 故答案为： 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】 【分析】本题考查求不等式（组）的解集，在数轴上表示不等式的解集： （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：； （2）， 由①得：， 由②得：， 故此不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 18. 求的值，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，利用因式分解将化为，再将，代入求解，即可解题． 【详解】解： ， 将，代入上式， 有． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向左平移6个单位得到，画出； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； （3）若点P为y轴上存一动点，则的最小值为 ； 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则，由两点之间线段最短可知，此时值最小，根据勾股定理求出的值即可． 【小问1详解】 如图，即为所求， 【小问2详解】 如图，即所求． 【小问3详解】 作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则， ∴， 由两点之间线段最短可知，此时值最小， ∵， ∴值最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了平移作图，中心对称作图，轴对称的性质，勾股定理，以及两点之间线段最短，数形结合是解答本题的关键． 20. 小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． （1）有哪几种加工方案？ （2）如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【小问1详解】 解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； 【小问2详解】 解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 21. 已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 【答案】（1）6； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：； （2）求多项式的最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 多项式的最小值是； 【小问3详解】 解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 23. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为___________； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当___________时，函数有最小值，最小值为___________； ②当___________时（填自变量的取值范围），随的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是___________； （4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________． 【答案】（1）①2；②见解析 （2）①，0；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据解析式即可求出的值； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解； （4）绕点旋转形成的直线簇，找到满足条件的临界位置即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， 故的值为， 故答案为：2； ②函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示： 交点坐标为和 故当时，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：绕绕点旋转形成的直线簇： 当直线平行于直线左侧部分时， 当直线经过点时， 故当时，直线与有2个交点， 故答案为：． 【点睛】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． 24. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【小问1详解】 解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； 【小问3详解】 解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 （满分：120分，时间：120分钟） 温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 若不等式组无解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧①；步 骤 2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列结论一定正确的是（ ） A. B. 点是中点 C. 平分 D. 5. 如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 6. 如图，，把绕点B顺时针旋转一个角度得到，点在边上，若的度数为，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为.将先绕点顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标是( ) A. B. C. (3,2) D. (2,2) 8. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. B. C. D. 9. 对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在和中，，点C，D，E在同一条直线上，连接B、D和B，E，下列四个结论：①；②；③④，其中，正确个数是（　 　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 把多项式x3﹣4x分解因式的结果为_______． 12. 如果关于的的不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围是_____________． 13. 如图，中，，的三条内角平分线交于点，于，若，则的周长是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 15. 如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为______． 16. 如果一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_________________________． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 18. 求的值，其中，． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为． （1）将向左平移6个单位得到，画出； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； （3）若点P为y轴上存一动点，则的最小值为 ； 20. 小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． （1）有哪几种加工方案？ （2）如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 21. 已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M （1）若，，求的面积； （2）求证：． 22. 阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：； （2）求多项式最小值； （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，求的周长． 23. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为___________； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当___________时，函数有最小值，最小值为___________； ②当___________时（填自变量取值范围），随的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式解集是___________； （4）若直线与有2个交点，则的取值范围是___________． 24. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$