广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二下学期数学周测（10）

东莞市第四高级中学高二下学期数学周练（10）2025.5.15 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．已知函数在处的导数为1，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 2．过点作曲线的切线，则切点坐标为（     ） A． B． C． D． 3．已知的展开式共有9项，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知随机变量服从二项分布.若，，则（     ） A．72 B．36 C．24 D．18 5．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为（    ） A．24 B．30 C．36 D．60 6．化简：（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7．在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（     ） A． B．160 C． D． 8．若，则（     ） A． B． C． D． 9．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜 的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得最小值 D．函数在处取得极大值 11．设离散型随机变量的分布列为 2 3 4 0.3 0.4 若，则（    ） A． B． C． D． 12．已知随机变量服从两点分布，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知随机变量X服从，若，则 ． 14．若随机变量，且，则 ． 15．已知随机变量服从正态分布，则＝ 16．已知函数，，若，则的最小值为 . 四、解答题 17．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1)恰好出现5次正面朝上的概率； (2)正面朝上出现的频率在内的概率． 18． 证明不等式： 19．已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 《2025年5月15日高中数学周末作业10》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D A C B C C AD 题号 11 12 答案 AD ACD 1．B 【分析】根据题意结合导数的定义即可得结果. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 3．C 【分析】根据二项式展开式性质得出参数即可. 【详解】因为的展开式共有9项，所以， 故选：C． 4．D 【分析】根据二项分布的方差公式，结合方差的性质即可求. 【详解】由于，故， 则，故， 故选：D 5．A 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】个位只能是2和4，十位和百位可以从剩下的数字中选择， 故符合条件的偶数有， 故选：A 6．C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 7．B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，二项式系数最大的项为第四项， 是. 故选：B. 8．C 【分析】由题意，利用全概率公式以及条件概率的计算，可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：C. 9．C 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 10．AD 【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故选项A正确，选项B和C错误， 对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性， 由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确． 故选：AD． 11．AD 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B错误； 对于C、D项，因为，，， 所以，，.故C错误，D正确. 故选：AD. 12．ACD 【分析】利用两点分布的期望公式判断A，方差公式判断B，利用两点分布的期望性质判断C，利用两点分布的方差性质判断D即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，所以， 对于A，由两点分布的期望公式得，故A正确， 对于B，由两点分布的方差公式得，故B错误， 对于C，由两点分布的性质得，故C正确， 对于D，由两点分布的性质得，故D正确. 故选：ACD 13．0.4/ 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得， 所以． 故答案为：0.4 14．6 【分析】根据正态分布均值的含义，利用正态曲线的对称性求解即可． 【详解】因为随机变量，且， 所以由正态曲线的对称性可知和关于对称， 所以，故． 故答案为：6 15．36 【分析】由方差的性质直接求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以，所以. 故答案为：36. 16． 【分析】将问题转化为，构造函数，求导即可求解. 【详解】由可得， 由可得，故， 因此， 记，则， 当在单调递增， 在单调递减， 故当时，取最小值， 因此的最小值为， 故答案为： 17．(1) (2) 【分析】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．根据正面朝上的次数服从二项分布，即可求解. （2）根据条件由重复抛掷10次正面朝上出现的频率在得到，再结合二项分布即可求解. 【详解】（1）设“抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”，则, 设表示事件A发生的次数，则． 则恰好出现5次正面朝上即， 所以， 故恰好出现5次正面朝上的概率为. （2）由（1）知，抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为， 重复抛掷10次正面朝上出现的频率在内，即． 所以． 18．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答. 【详解】（1）令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增， 而，，则存在，使得，即，有， 当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 所以. 19．(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，再根据极值的定义即可得解； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）不等式，令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数，定义域为，， 时，，时，， 有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，， 不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而， 则存在，使，即， 此时， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$