广东省广州市执信中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷

执信中学2026届高二下学期6月月考数学试题 命题人：夏泊凌审题人：陈少婉校对：贾子健 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小愿所给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.学校有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩X服从正态分布N(75,100), 估计竞赛成绩在65分到85分之间的人数约为()人， (参考数据P4-σ<X<μ+σ)=0.6826，P(4-2a<X<4+2σ)=0.9544， Pμ-3o<X<4+3σ)=0974) A.683 B.342 C.954 D.477 2.已知等差数列{a,}的前n项和为S,若S,=63,a+a,+a,=3,则Sn取到最大值的n 是( A.7 B,8 C.9 D.10 3.(-2-3) 的展开式中常数项为() A.-80 B.80 C.-160 D.160 4.已知变量y与变量x的关系可以用模型y=Ge(G,c2为常数)拟合，设z=ny,变换 后得到一组数据如下： 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为2=0.206x+a,则5=() A.0.206 B.e02 C.0.596 D.e5% 5.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他 三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是() A.152 B.126 C.90 D.54 6.若函数f()-子x'+x2在区间(a-a+5列内存在最小值，则实数a的取值范围是( A[-5,1) B.(-5,1) 'c.[-2,) D.（-2,) 7.已知圆C:x2-4x+y2=0直线1：(m+)x+2y-3-m=0,(m∈R),则下列说法错误的是() A.直线1恒过定点(L,) B.直线I与圆C一定有公共点 C.当m=-3时，圆C上恰有两个点到直线1的距离等于1 试题第1页共4页 D.圆C与圆x2+y2-2x+8y+1=0只有一条公切线 8.在数列{an}中，如果存在正整数T,使得ar=a.,对于任意的正整数m均成立，那么 称数列{a}为周期数列，其中T叫做数列{a}的周期.已知数列{x}满足 x1=k,-x(n≥2，ne),如果，=l,名=a(aeR,a*0),当数列{x}的周期最小时，该 数列前2025项的和是（) A.674 B.1348 C.1350 D.2024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法中，正确的是() A.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B.关于一元线性回归，若相关系数r=0.98,则y与x的相关程度很强 2y- C.决定系数R2=1- 甲、乙两个模型的R2分别约为0.98和0.80，则模型乙 2y-列 的拟合效果更好 D.若随机变量5，n满足1=35-2，则D(7)=9D(5) 10.在平行六面体ABCD-ABGD中，AA=AD=AB=1,∠AAD=∠AAB=∠BAD=60, M为BD的中点，则( A丽：号而+瓜-0 B.CM.AD C.BD=2 D.(4D,C可)=120 11.如图，方程x2+2y2=2+ax以（其中a∈[-2,0U(0,2])表示的曲线C(a)形如一片树叶， 十分美丽.对于曲线C(a),下列说法正确的是() A,曲线C(①)恰好经过4个整点（即横、纵坐标都是整数的点） B.曲线C0上任何一点到原点的距离都不超过 C.曲线C(2)围成的封闭区域的面积小于3√5 D.曲线C(a)与曲线C(-a)关于y轴对称 试题第2页共4项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12,甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球，先从甲箱中任取一球放入 乙箱中，再从乙箱中任取一球，从乙箱中取出白球的概率是 1.已知直线过双自线c号卡-a>6>0的左焦点斤，与C左支交于48两点，双 曲线的右焦点为F,若A®=BF引=2AF引，则双曲线C的离心率为 14.若函数fx)=nx与函数g(x)=ax2(a>0)有两个公切线，则实数a的取值范围是 四、解答愿：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=3,a1=2Sn+3 (1)求证：数列 是等差数列： (2)设6=三， 数列{b}的前n项和为T,求T, 4 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥BC,AB=BC=2N2,AD=DC=√5， 点M为棱PD上一点，PA=PC,O为AC的中点. (1)证明：平面PBD⊥平面MAC (2)已知PD=√5，PO=2,点N在棱BC上，且BW=2NC,若直线PN与平面MAC所 成角的正弦值为汽。求器的值 PD 17.(15分)已知抛物线C:x2=16y的准线为1，以(1,2)为圆心，面积为10π的圆与y轴的 负半轴交于点Q,动点P到直线1的距离为2Pg (1)求动点P的轨迹Γ的方程： (2)若直线1与y轴的交点为M,是否存在过点M且斜率存在的直线n交Γ于A,B两点， 使MAMB=3W24B引？若存在，求出直线n的方程：若不存在，请说明理由. 试题第3页共4页 18.(17分)某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课 外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛” 的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下2×2列联表：（单位：人） 性别 满意程度 合计 男生 女生 满意 120 30 150 不满意 80 70 150 合计 200 100 300 (1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系： (2)若竞赛成绩在前20的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须 依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，且每人答对这3道试题的概率分别为了2，乞 211 3道试题答对与否互不影响. ()用X表示能进入总决赛的人数，求X的数学期望： (ii)记有n人进入总决赛的概率为P(),求P(m)取最大值时n的值， n(ad-be)2 附：父=a+bc+aa+cb+西 其中n=a+b+c+d a 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19.(17分)若存在正数k,对任意的，xeD,/(x)-(x≥kg(x)-g(x2恒成立， 则称函数(x),g(x)在D上具有性质“M(k)" (1)判断函数)=之，g()=在[-2习上是否具有性质“M 并说明理由： （2)若函数f()=2x-sm,8)=cor在0写上具有性质M倒，求k的取值范圈。 (3)若函数f(x)与g(x)=xe-lnx-x在(0，+o)上具有性质“M()",且存在a,b∈(0，+∞)， a<b,使得f(a)=f(b),求证：ae°+bc>2. 试题第4页共4页 执信中学2026届高二下学期6月月考数学试题参考答案 题号 2 3 4 5 6 10 11 答案 B BD AD ABD 8 12. 25 13.2 14. (2o*o 1.【答案】A【解析】由于竞赛成绩X服从正态分布N(75,100),所以4=75，σ=10， 所以P(65<X<85)=P(75-10<X<75+10)=0.6826,故该校1000名学生竞赛成绩在65分 到85分之间的人数约为：1000×0.6826=682.6≈683，故选：A 2.【答案】A【解析】设等差数列{an}公差为d,因为a%+a,+a,=3,S。=63, 所以a1+5d+a,+6d+a+7d=3,9a,+36d=63,所以a1=19,d=-3 所以该数列单调递减，且a,=1>0,a,=-2<0,所以当n=7时，S.取得最大值，故选：A. 3【答案1c【解折1因为-2-)=（号引-2（号 其中(-展开式的通项为工=C)广（号=(-2C(0srs5且reN, 所以展开式中常数项为x(-2)Cx5-2(-2)}Cx°=-160.故选：C 4.【答案】D【解折】x=2+3+4+5+6=4,z102+1.20+142+1.62+1.841.42, 5 代入方程得，1.42=0.206×4+a,解得a=0.596,因此=0.206x+0.596. 由y=ce两边取对数，得my=C2x+nc1.又z=y,所以c2=0.206,nc=0.596, 即G=e%故选：D 5.【答案】B【解析】分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C×A-18 种：②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况：1丙、丁、戊三人中有两人承担 同一份工作，有A2×C2×A-3×2×3×2=36种：2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同 一份工作：A2×C×C2×Az2=72种：由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B. 6.【答案】C【解析】由f"(x)=x2+2x,令f"(x)=0,可得x=-2或x=0,由f"(x)>0得： x<-2或x>0,由f'(x)<0得：-2<x<0,所以函数f(x)在(-0，-2)上单调递增，在(-2,0) 上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，所以函数在x=0处取得极小值f(O)=0,令 f-+x2=0,解得x=0或x=-3,若函数f)在(a-山a+列内存在最小值，则 -3sa-1<0<a+5,得-2≤a<1.故选：C x-1=0 7.【答案】D【解析】对于A,直线1的方程为(x-)m+x+2y-3=0,由 x+2y-3=01 得1 =1直线过定点4，)，故A正确：对于B,C:(x-2+少2=4，又0-2}+=2<4， 即定点(L,)在圆C内，则直线1与圆C相交，有两个交点，故B正确：对于C,当m=-3时， 直线1：x-y=0,圆心C2,0)到直线的距离为d=2-0=反，而圆C半径为2，且 2-√2<1，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故C正确：对于D,圆x2+y2-2x+8y+1=0 化为(x-1)+(y+4)=16,圆x2+y2-2x+8y+1=0的圆心为(1,4)，半径为4，两圆圆心 答案第1页共6页 距为4-2=2<d=√-2}+(-4-0=7<6=4+2，所以两圆相交，因此它们有两条公 切线，故D错误.故选：D. 8.【答案】C解析】若数列{x,}的周期为1，则名=a=,=1,但为=k-x=口-=0≠为=1， 矛盾，所以数列{x}的周期不可能为1.若数列{x}的周期为2，则，=a,=1,且 为=k2-x=a-1=x=1,又a≠0，所以解得a=2,而当a=2时，x=k-x=1≠2=为2， 矛盾，所以数列{x}的周期不可能为2.若数列{x}的周期为3，则x2=a,x=1, 且为=2-x卡h-x,=k-为上k-1a卡1=x,所以a-=a+1或a-=a-1, 又a≠0，所以a2l,且此时有为=k-x=l-a-=名=a,所以a-=l-a或a-=1+a, 又a≠0，所以a≤1，解得a=1符合题意，当a=1时，数列{x}为：1，l,0,l1,0,…,满足题 意，此时x+x2+为=1+1+0=2，所以该数列前2025项的和是 (6+5+5)+…+(5m+xm4+5）=2×2025=1350.故选：C 3 9.【答案】BD【解析】对于A,残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果 越好，A错误：对于B,相关系数|r上098很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强， 故B正确：对于C,因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更 好，故C错误；对于D,由随机变量方差的性质知加减不必变方差，缩放后方差变为平方 倍，故D(7)=9D(5),故D正确；故选：BD 10.【答案AD解折时于A,c成=而+D而+Da-恋+瓜+亚-知=-五+G-D, 故A正确：对于B,函而(}西+瓜-而而=而+而-而 ■号号子放B错误对于心网历+双--11可可反， 故C错误：对于D,易得aBCD为正三角形，故(4D,C可)=(C,C可)=-∠BCD=120, 故D正确：故选：AD .【答案】ABD【解折】对于A由2+2-2+M,海{2-0， 即2s9xe2,则x=0,h,当x=0时，y=山，当x=1时，y=,当x=-1时，y=号 所以曲线C()恰好经过(0,1)，(0，-)，（山），（山，-）这4个整点，故A正确：对于B,由 +2少=2+，箱判=2-学20，即号所以2+ys9+号4号 777 曲线C)上任何一点到原点的距离都不超过5，故B正确： 对于c由C2:+2=2*+24则方-例2-0， (x-yW=2-y220,可得-2≤x≤2,2sys5,取 A(0,),√2,0,0，-，2，-)，2，)： 如下图，顺次连接这五点得到的五边形ABPDE的面积为3√互， 答案第2页共6页 显然此五边形在曲线C(2)围成的封闭区域的内部，故C错误：对于D,在 C(a):x2+2y2=2+ar以中，用-x代替x,得C(-a):x2+2y2=2-a以，曲线C(a与曲线 C(-a)关于y轴对称，故D正确.故选：ABD 12.【答案】【解析】记事件A为从甲箱中取出一个白球放入乙箱，事件B为从乙箱 中取出白球，则P(-多，P(团=子，P()-号，P(列= P-PP(国小+P团P网-号+号 8 ·故答案为： 25 13.【答案】2【解析】设|A仁m,由双曲线定义得引AE=m+2a,则 |AB月BF上2lAF2=2m+4a,|BE=m+4a,又|BFI-|BE=2a,于是m=2a,即 |AB1HB5,上21A5=8a,在等腰aBA5中，coS∠BA5= 引C11,在△ARR, ABI 4 1FSf4P+4P-24Gl4Ieos∠BM,即4C2=4松2+16a2-2x2ax4ax 解得c=2a,所以双曲线C的离心率e=C=2.故答案为：2 14.【答案)（公+【解折】设公切线在函数了）=r与函数g)=are>0)的切点为 4,血h%,a),则由f()=g()=2ax,所以上=2ax,=-血五 为3-为 消去巧可得一右=仙气-，由于函数/=hx与函数g)=ae>0)有两个公切线， 所以-品=仙气-)有两个不同的正根，令()=仙x-,x>0,则()=2血x-), 令N(x)=0→x=E,当xe(0,同时，H(x)<0,h(x)递减：当xe(E,+∞)时，(x)>0, h)递增，所以()=h(回=-，当x趋向于0时，h()趋向于正无穷：当x趋向于 正无穷时，4趋向于正无穷，所以一右片。>名 ,故答案为： 15.（13分)【答案】0证明见解折：②z-12-(6+12目) 【解析】(1)证明：因为a=2S.+3,可得S-5.=2Sn+3，所以S1=3Sn+3, 两边同除以y叫，可得兴=子+山，即兴-子=1， 又因为4=3，可得子-号-1，所以数列}是首项为 公差为1的等差数列.…5分 (2)由1)可得号=1+(a-归，所以3=n3,可得6-子=m(: 所以z=+2x)+3目++-1目+n· 答案第3页共6页 则=+2+++-+* 两式相减， 可得=+)++-) -目rxao用 …13分 16.(15分)【答案】()证明见解析：(2号 【解析】(1)证明：连接BO,DO, 因为AB=BC,AD=DC,所以BO⊥AC,DO⊥AC, 所以B,O,D三点共线，即AC⊥BD, 因为PA=PC,所以AC⊥PO,因为PO,BDc平面PBD,且PO∩BD=O, 所以AC⊥平面PBD,因为ACC平面MAC,所以平面PBD⊥平面MAC …5分 (2)由题意得AC=√AB2+BC2=4,所以OB=0C=2,因为CD=V5,所以 0D=VCD2-OC=1,又因为PD=5,P0=2,所以P02+OD2=PD2,即P0⊥BD, 由(1)知AC⊥BD,AC⊥PO,所以BD,AC,PO两两相互垂直， 以O为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-2,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),则AC=(0,4,0), 因为丽=2c,所以N后等则m-得等-2小 设PM=AP币(0≤1≤1)，所以M(-元，0,2-2)，则AM=(-1,2,2-2), 设元=(x,y,z)为平面MAC的一个法向量，则 AC方=0， M,元=0， 4y=0, 即 -1x+2y+21-)z=0, 取z=1,得x=2-21,y=0,则n=(2-21,0,入)， m 设直线PN与平面MAC所成角为B,则则sin0= -2-2 雨2-2川+刀 7 整理154-40，解得-号致以=号合去，所以瑞-号 …15分 17.（15分)【答案】0片+号-：②存在：y=x-4 【解析】(1)以(1,2)为圆心，面积为10π的圆的方程为(x-1)+(y-2=10, 令x=0,得y=-1或y=5,因为点在y轴的负半轴上，所以2(0，-)， 易得抛物线C:x=16y的准线为1：y=4,设P(,y,则y+4=22+y+1旷， 整理得Γ的方程为号+三=1. …5分 43 答案第4页共6页 (2)存在.依题意可知M(0,4),设直线n的方程为y=:-4,A(名，片)，B(:,y2), [y=-4 联立 上+号-1'整理得(3k+4)x2-246+36=0,4=14(-4)>0, +3 4 24k 36 故无+五=3球2+4'32+4 -12Vk2-4)k2+可 于是|4到=1+k-x=+《名+)-红= 3k2+4 因为A,M,B三点共线，所以MAM丽=MMB, 36(2+1) 又因为=(，y+4)(5,为+到（闷(，网=(2+=3欢+4 若4wa-3l.即36+-Ex上E-E+可 3k2+4 3k2+4 解得k=3,满足△>0，故存在直线n,其方程为y=3x-4. …15分 18.(17分)【答案】(1)列联表见解析，推断犯错误的概率不大于0.001：(2)(i) 12.【解析】(1)零假设为H。:满意程度与性别无关， X-30x020X7030x80-2本10.828=6m 150×150×200×100 所以依据小概率值a=0.001的独立性检验，推断H。不成立，即能认为满意程度与性别有关 系，此推断犯错误的概率不大于0.001. …4分 （2)①依题意，设4=“答对第道题6=2)：B=“装同学进入总决赛，则P风=子 P4)=3,P4)=2,所以P8=P44)+P44)+P4石4)+P44) 32232 21 依题意，X-80子，所以80-20合- …10分 0猴题惠，P回-C侣-)广，A=0120, S×rx0产2c×号rx3产 若P(n)最大，则 Cxr×02产·2c×日x-是” 解得曾≤a≤终，因为meN,所以=l2,所以P例取最大值时a的值为12…7分 19.(17分)【答案】（四(）和g()具有性质“M6》 理由见解析：(2)0<k≤√3；(3) 答案见解析. 【解折】)函数-宁和g)=在-2上具有性质M(信里 由如下：因为f(x)和g(x)在[-2,2]上均为偶函数，且在[0,2]上单调递增，所以只需考虑 答案第5页共6页 22220的情祝令刻-/)名)。，则 ()=x-式=4-20， 所以(x)在区间[0,2]上单调递增，且h(O)=0,所以h(x)≥0，x∈0,2恒成立， 则(6)2(6，即f(6)小-68()2)168()， 则()f6,)2G6广8小0，再根据函数)是偶函数， 即(s)-fp6()-8se-2,2, 所以函数/=和g(倒=在[-2习]上具有性质M(6》 …4分 (2)了（闪=2-c0sx>0,f)在区间[0月引单调造增，g)=-o0r在[0，上单调递增， 设之x之名20，若函数f()和g)具有性质“M), 则f()-f(名)2[g()-g(s小，整理为f(x)-g(x)=f()-g() 设F间-儿-g()=2x-s血x+tcos,由以上可知，F在区间0单调递增， 即F国2-c-ks如20，当0时，ks2g产恒成立， sinx 2g,c1品要0,0 sin2x 当xe0写引时，G(<0,G6)单调递减，当x作引时，G(>0,G(因单词递增。 所以当x=号时，G纠取得最小值5，所以0<k≤5： …10分 (3)由题意可知，存在a,b∈(0，+o),a<b,V(a)-f(b≥lg(a)-g(b,又f(a)=f(b), 则g(a)-g(bs0,即g(a)=g(b),g(x)=xe-l血xe,x>0,设t=xe>0,g(0=t-nt, g间=1-号，当1e0,时，g0<0,8间单调递减，当e,+四)时，g0>0,g间 单调递增，设4=ae°，5=be°，不妨设5∈(0,1)，互∈（山+∞），2-5∈(1,2)，且g(6)=g6), 设r0-g0--.e0.re0-g0+ge-小-i1-言-2t可0， 所以F)在区间(0，)上单调递减，且F()=0,即F)>0,t∈(0，) 即g(4)-g(2-4)>0,即g6)>g(2-4),则g6)>g(2-4), 即2>2-4，则4+2>2，得ae°+be>2,即证 17分 答案第6页共6页