精品解析：广东省广州市第三中学2024-2025学年高三高考冲刺综合测试(三)数学试题

广州市第三中学2025届高三高考冲刺综合测试（三） 数学 2025.5.23 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数除法求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为对数函数是上的减函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的增函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 3. 若函数为偶函数，则实数（ ） A. 1 B. C. －1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，可得，求得，进而检验即可. 【详解】由函数为偶函数，可得，即， 解之得，则， ， 故为偶函数，符合题意. 故选：D. 4. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用题干条件求得圆锥母线与高的关系，结合三角函数定义即可求得圆锥母线与底面所成角的大小. 【详解】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得， 设圆锥母线与底面所成角为，则， 所以圆锥母线与底面所成角的大小为. 故选：A. 5. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件求，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】由题意可知：，因为，即，可得， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 6. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 7. 在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】将正四棱柱的侧面展开，由直线段最短求解. 【详解】如图所示： ， 将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2）， 当五点共线时，取得最小值， 且最小值为. 故选：A 8. 如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，，则，代入函数解析式得到方程组，结合诱导公式，变形得到，从而求出答案. 【详解】设，则，故， 设，，则， 故， 其中 ， 则 ， 解得，负值舍去， 即，故的纵坐标为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的为（ ） A. 若，且，则相互独立 B. 若三个事件两两独立，则满足 C. 给定三个事件，且，则 D. 若事件满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率以及相互独立的定义即可求解AC，举反例即可求解B,根据互斥事件的概率公式，即可求解D. 【详解】对于A,由于,故相互独立,A正确， 对于B选项，设样本空间含有等可能的样本点， 且，，， 可求得，，， 所以，，， 即两两独立，但， 所以，故B错误； 对于C, 由于,故，C正确， 对于D, ,所以，又,所以， 由于互斥，所以,D正确， 故选：ACD 10. 已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】若是的必要条件，需证， 选项A：由及等差数列的性质可得，进而可得； 选项BC：可设，由反例证明不是的必要条件； 选项D：由等差数列的性质结合奇函数可证; 【详解】选项A：因为为等差数列，所以，得， 因函数是上的奇函数，， 所以是的必要条件，故A正确； 选项B：若，则时满足， 此时， 故不是的必要条件，故B错误； 选项C：若，满足， 但，故不是的必要条件，故C错误； 选项D：由且为等差数列 可得， 因函数是上的奇函数， 所以， 故， 故是的必要条件，故D正确； 故选：AD 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据为奇函数推出对称中心，根据逆向思维得到，代入推出的对称轴为，进一步得到周期为4，从而周期也为4，算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解. 【详解】因为，则， 因为，所以， 用去替，所以有，所以有， 令，则，则， 故，用换，可得， 则函数的图象关于对称，故A正确； 由为奇函数，则过，图象向右移动两个单位得到过， 故图象关于对称，； ，而，所以有，则的周期. 综上，可得，， ，故C正确； 是由的图象移动变化而来，故的周期也是4， 因为，， 所以，， 所以，故B错误； ，周期为4，，， ，， 故，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可知经验回归方程为过样本中心点，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，， 可知经验回归方程为过样本中心点， 则，可得． 故答案为：8. 13. 在的展开式中有理项的系数的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式通项确定有理项，结合二项式系数的性质即可得有理项的系数的和. 【详解】的展开式的通项为， 当时，展开式为有理项， 所以展开式中有理项的系数的和为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 故答案为：. 四､解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）设，求数列的通项公式； （2）数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【答案】（1） （2）681 【解析】 【分析】（1）利用已知递推公式变形，再结合等差数列的性质可得； （2）先分析的整数部分， 再分区间求和可得. 【小问1详解】 由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 又 所以， 所以. 16. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可； （3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意有， 所以估计此次知识竞赛成绩的平均数为； 【小问2详解】 由题意有，因为，即，所以， 由题意得抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数服从二项分布，即，所以， 所以抽取100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为； 【小问3详解】 由频率分布直方图有：分数在和的频率分别为和， 按照分层抽样，抽取10份，其中在应抽取份，分数应抽取份， 令事件抽取3份试卷来自不同区间，事件取出的试卷有2份来自区间， 所以， 所以. 所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为. 17. 已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为． （1）求双曲线的方程： （2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程． 【答案】（1）：或： （2）证明见解析，定直线 【解析】 【分析】（1）根据实轴长度确定a的取值，再根据渐近线夹角确定渐近线斜率，从而确定b的取值，写出解析式； （2）首先联立直线与双曲线方程，根据韦达定理确定，两点坐标关系，联立方程，再利用点斜式表示出直线，的方程，代入列出等式，代入韦达定理求解出即可, 【小问1详解】 由题知，得， 或，得或， 所以双曲线的方程为：或：． 【小问2详解】 由（1）知，当时，：， 设，， 联立直线与双曲线得：， ，方程的两根为，，则，． ，，则：，：， 因为直线，相交于点， 故，， 消去，整理得：， ， 因此， 故点在定直线上． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，即可根据线线垂直证明平面，即可根据线面垂直的性质求解； （2）利用等体积法即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解，利用换元法，即可根据基本不等式求解最值. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，，且的中点为，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故. 【小问2详解】 当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为，故， 设到平面的距离为，到平面的距离为， 由等体积法可得 而， 由于，故， 所以，从而， 故到平面的距离为. 【小问3详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， ， 故， ， 则， 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 ， ， 取则， 设平面与平面的夹角为， 故， ， 令，，故， 由于，故 当且仅当，即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 19. 已知是函数定义域的子集，若成立，则称为上的“函数”. （1）判断是否是上的“函数”？请说明理由； （2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； （3）已知是上的“函数”，求的取值范围. 【答案】（1）是上的“函数”，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得在上恒成立，设，求导可知函数在上单调递增，且.由，可知，根据的单调性即可证明； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 是上的“函数”，理由如下： ，. ，， ， 在恒成立， 是上的“函数”. 【小问2详解】 是上的“函数”， 在上恒成立， 设，则， ∴在上单调递增，且. 又，，即. ∵在上单调递增，，∴. 【小问3详解】 ，. ∵是上的“函数”， ∴在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，对任意的，上式恒成立，符合题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第三中学2025届高三高考冲刺综合测试（三） 数学 2025.5.23 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数为偶函数，则实数（ ） A. 1 B. C. －1 D. 4. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足：，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 14 8. 如图，函数的部分图象，若点是中点，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的为（ ） A. 若，且，则相互独立 B. 若三个事件两两独立，则满足 C. 给定三个事件，且，则 D. 若事件满足，则 10. 已知函数是上的奇函数，等差数列的前项的和为，数列的前n项的和为.则下列各项的两个命题中，是的必要条件的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知具有线性相关性的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，，则______． 13. 在的展开式中有理项的系数的和为__________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 四､解答题：本题共小题，共分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且对任意的，都有. （1）设，求数列的通项公式； （2）数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 16. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，. 17. 已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为． （1）求双曲线的方程： （2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程． 18. 如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点． （1）证明：； （2）若，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的最小值． 19. 已知是函数定义域的子集，若成立，则称为上的“函数”. （1）判断是否是上的“函数”？请说明理由； （2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； （3）已知是上的“函数”，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $