2025年中考数学三轮高频考点二次函数与等腰直角三角形的存在性问题冲刺练习

2025年中考数学三轮高频考点

二次函数与等腰直角三角形的存在性问题冲刺练习

 

1．如图，若抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴于点H，交于点M，连接．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点D为抛物线的顶点，连接，，求的面积；

(3)在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(4)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的坐标．

2．如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接．

(1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ；

(2)是直角三角形吗？若是，请给予证明；

(3)线段上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，

为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)如图1，连接，当是直角三角形时，求m的值；

(3)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；

(4)点P在第一象限内运动过程中，若在y轴上存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），请直接写出m的值．

4．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

(1)求的值：

(2)如图，点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当为等腰三角形时，求点的坐标；

(3)如图，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于两点，求证：无论为何值，恒为直角三角形．

5．已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．

 

  

(1)求此二次函数解析式；

(2)连接、、，求证：是直角三角形；

(3)在轴是否存在一点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标．

6．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点A，抛物线的顶点为D．

(1)求此二次函数解析式；

(2)连接、、，求证：是直角三角形；

(3)在x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．

7．如图所示，抛物线y1＝﹣x2与直线y2＝﹣x﹣交于A，B两点．

（1）求A，B两点的坐标．

（2）根据图象回答：

①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？

②当x取何值时，y1＜y2？

（3）求△AOB的面积．

（4）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（5）抛物线上找一点Q，使得△ABQ是直角三角形，请直接写出Q点横坐标

8．如图，已知抛物线经过原点，顶点，且与直线相交于和两点．