精品解析：2025届甘肃省金昌市金川高级中学高三三模数学试题

金昌市金川高级中学2025届第三次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合,再根据并集的定义求解即可. 【详解】由题意，得, 所以. 故选：C. 2. 已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）. A. 的虚部为 B. 的最小值为 C. 的实部为 D. 当时，为纯虚数 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数的概念判断ACD，根据复数的模及基本不等式判断B. 【详解】由题意，，实部为，虚部为，故A，C错误； |z1|=≥=(当且仅当，即时取等号)，故B正确； 当时，，为实数，故D错误. 故选：B 3. 某组样本数据的频率分布直方图如图所示，据此估计该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数、平均数及百分位数计算规则计算即可判断. 【详解】由频率分布直方图可知众数为，即， 平均数， 显然第一四分位数位于之间，则，解得， 所以. 故选：A 4. 在的展开式中，的系数为（ ）. A. 10 B. 6 C. 15 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】展开式的通项公式为，其中， 令，则，因此的系数为. 故选：C. 5. 下列可以作为方程的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助排除法，得到、不可能同时成立，即可排除A、C、D. 【详解】当时，， 若，则，即，不符， 故、不可能同时成立，故A、C、D选项错误. 故选：B. 6. 设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出弦长后根据数量积的定义可求. 【详解】（图片优化老师注意：图中BC倾斜角30度，需调整）优化完后请删除此段提醒 由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 因为圆与轴相切于点，所以，故， 而到直线的距离为， 所以，而直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故， 则. 故选：B. 7. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（ ）. A. 146 B. C. D. 91 【答案】C 【解析】 【分析】由正一品的俸粮表示其他官员的俸粮，由给定和列式求出即可得解. 【详解】依题意，正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为， 则，解得，， 又组成新的等差数列，得，解得a=. 故选：C 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）. A. 异面直线与所成的角为 B. C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据线面角求出底边边长后可判断B的正误，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解判断A，利用线面角的向量求解公式进行求解判断C；利用点到平面的距离公式求出答案判断D. 【详解】对于B，平面，直线与平面所成角, ，故B正确， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，，设直线与所成的角大小为， 则， 故，A正确； 对于C，可取为平面的法向量， 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角为，C错误；    因为四边形为正方形，所以⊥， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 故点到面的距离，D正确. 故选：ABD 10. 在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. C为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】设，应用余弦定理及得，且，求得，进而依次判断各项的正误. 【详解】在和中，设，则，， 又因为，可得，化简为①， 在中，②， 由①②，可得，因此，， 在中，，又，所以C为锐角. 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为F，点M，N在抛物线C上，则（ ）. A. 若M，N，F三点共线，且，则直线MN的倾斜角的余弦值为 B. 若M，N，F三点共线，且直线MN的倾斜角为，则的面积为 C. 若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积为定值 D. 若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积与点M，N的位置有关 【答案】BC 【解析】 【分析】设出直线的倾斜角，结合抛物线定义求出，再计算判断AB；求出抛物线方程，设出直线方程，与抛物线方程联立求出点到直线的距离，再求出点到直线的距离判断 【详解】对于A，不妨设直线MN的倾斜角为，则， 解得，同理得，则，解得，A错误； 对于B，由选项A，得，， 的面积，B正确； 对于CD，由点在抛物线C上，得抛物线C的方程为， 设直线，， 由消去得，解得或， 而异于点，则，点到直线的距离， 由，同理得点到直线的距离， 所以，C正确，D错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，其中，为单位向量，且，则 ____. 【答案】## 【解析】 【分析】求出后由夹角公式可求余弦值. 【详解】，同理， ， 故， 故答案为：. 13. 已知，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的正切可求三角函数式的值. 【详解】 故答案为： 14. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若，,则椭圆的离心率是____. 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于点，由椭圆定义求出，再利用中位线表示出，由已知的表达式，得到，从而求出离心率. 【详解】如图： 如图，延长交于点，可得， ，易知为的中点，为的中点， 所以，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，利用余弦定理结合已知可得，可求； （2）利用三角形的面积公式可求，计算可求. 【小问1详解】 由及正弦定理得，故， 由余弦定理得， 又，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 又，所以， 又，所以，得． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 要证明，即证明，即证明. 方法一：设，则， 令可得. 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. . . ，即. 方法二：令， 得在上恒成立， 在上单调递增， 即在上单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增 即， ，即. 【解析】 【分析】（1）求出，由导数的几何意义求解即可； （2）要证明，即证明，即证明.方法一：设，对求导，得到的单调性和最值，即可证明；方法二：令，对求导，得到的单调性和最值，可得，即可证明. 【小问1详解】 由已知， ， 在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1） 由题知，，， 所以，所以． 如图，过点作，垂足为，连接， 则， 又，所以， 所以,因为，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得到，再结合利用线面垂直判定定理得出平面，最后应用面面垂直判定定理即可证明； （2）先建立空间直角坐标系，写出相关点和向量的坐标，再求平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式及同角三角函数的基本关系即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 所以为平面的法向量的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， 则． 设平面与平面所成二面角的大小为， 则， 所以， 故平面与平面所成二面角的正弦值为． 18. 近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对年毕业季毕业生购买飞机票的数量（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万张 30 36 51 60 78 （1）分析上述统计表可知与有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程． （2）通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名． （ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用线性回归方程计算公式得关于的经验回归方程即可； （2）（ⅰ）样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例，由（1）得2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数，即可得出答案；（ⅱ）由题意得，其中，则，则，利用导数研究的单调性，即可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，， ， ， ， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 （2）（ⅰ）由题意知，400名毕业生中男性有（名）， 故样本中购买飞机票的男性有（名）， 样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例为， 所以估计一名购买飞机票的毕业生为男性的概率为． 因为2026年对应的年份代码，所以， 因此估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数为． （ⅱ）由题意知，，，，则当时，取得最大值1，当时，取得最小值，即， 且． 设函数，， 则． 当时，，单调递增，当时，，单调递减．故当时，取得最大值． 由上可知，当时，取得最大值，此时，得． 19. 在数列中，若存在常数，对于任意的，满足，则称该数列为“”数列. （1）已知数列2023，，是“”数列，求实数的取值范围. （2）是否存在同时满足下列两个条件的等差数列？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由. ①是首项为1的“”数列；②的前项和满足对于恒成立. （3）已知等比数列是各项均为正整数的“”数列，且不是“”数列，若，请判断是否为“”数列，并说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的等差数列，设公差为，则， 由，得， 由题意，得对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，； 当时，恒成立，这与矛盾， 故不存在同时满足两个条件的等差数列. （3） 设等比数列的公比为，则， 因为等比数列是各项均为正整数的“”数列， 所以， 则在数列中，为最小项， 所以在数列中，为最小项， 又等比数列是各项均为正整数的“”数列， 所以，即， 因为不是“”数列，且为最小项，所以， 即， 因为的各项均为正整数，所以， 所以，，或，，或，， 当，时，，则， 令，则， 所以， 所以数列是递增数列， 所以， 即， 因为， 所以对于任意的，满足， 所以是“”数列， 当，时，，则， 所以，不满足， 所以不是“”数列， 当，时，，则， 所以，不满足， 所以不是“”数列. 综上所述，当，时，，是“”数列； 当，时，，不是“”数列； 当，时，，不是“”数列. 【解析】 【分析】（1）根据定义列出不等式组再求解； （2）利用用反证法证明即可； （3）根据定义和题设条件得出为数列中的最小项，进而得出，根据题设条件得出三组解，然后对每一组解分别检验，最终得出结论. 【小问1详解】 由题意，知，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金昌市金川高级中学2025届第三次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ）. A. B. C. D. 2. 已知a为非零实数，复数，其中为虚数单位，则（ ）. A. 的虚部为 B. 的最小值为 C. 的实部为 D. 当时，为纯虚数 3. 某组样本数据的频率分布直方图如图所示，据此估计该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）. A. 10 B. 6 C. 15 D. 8 5. 下列可以作为方程的图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 设为坐标原点，圆与轴相切于点，直线交圆于两点，其中点在第二象限，则（ ）. A. B. C. D. 7. 中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题:“今有俸粮三百零五石，令五等官(正一品、从一品、正二品、从二品、正三品)依品递差十三石分之，问各若干?”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮?”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（ ）. A. 146 B. C. D. 91 8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）. A. 异面直线与所成的角为 B. C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 10. 在中，，，M为BC的中点，，则下列说法正确的是（ ）. A. B. C. D. C为钝角 11. 已知抛物线的焦点为F，点M，N在抛物线C上，则（ ）. A. 若M，N，F三点共线，且，则直线MN的倾斜角的余弦值为 B. 若M，N，F三点共线，且直线MN的倾斜角为，则的面积为 C. 若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积为定值 D. 若点在抛物线C上，且M，N异于点A，，则点M，N到直线的距离之积与点M，N的位置有关 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，其中，为单位向量，且，则 ____. 13. 已知，则____. 14. 已知椭圆C:的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且在第一象限，是的平分线，过点作的垂线，垂足为，若，,则椭圆的离心率是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求角； （2）若的面积为，求． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 17. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 近年来毕业旅行的热度明显上升．对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式．某平台对年毕业季毕业生购买飞机票的数量（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 万张 30 36 51 60 78 （1）分析上述统计表可知与有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程． （2）通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行．某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名． （ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）． （ⅱ）用样本的频率估计概率．设女性毕业生中购买飞机票的概率为，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求的值． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，． 19. 在数列中，若存在常数，对于任意的，满足，则称该数列为“”数列. （1）已知数列2023，，是“”数列，求实数的取值范围. （2）是否存在同时满足下列两个条件的等差数列？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由. ①是首项为1的“”数列；②的前项和满足对于恒成立. （3）已知等比数列是各项均为正整数的“”数列，且不是“”数列，若，请判断是否为“”数列，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $