精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高二下学期第四次诊断测试数学试题

2024-2025学年第二学期高二年级第四次诊断数学考试 考试时间：120分钟；考试分值：150分； 命题人：田金平 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，共40分，答案请写到答题卡） 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. D. 13 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ） A. 150种 B. 360种 C. 450种 D. 540种 7. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. （0，1） D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．答案请写到答题卡） 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的所有二项式系数之和为64 C. 展开式中不含项 D. 展开式的第5项系数最大 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 设和互为对立事件，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若，则 D. 若随机变量X的分布列为，则 11. 设函数，则（ ） A. 当时，函数有最小值为 B. 当时，函数是增函数 C. 当时，函数有最小值为 D. 存在正实数，使得函数在上单调递增 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，共15分，答案请写到答题卡） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 13. 二项式的展开式的常数项是___________. 14. 已知数列的前项和为，，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，答案请写到答题卡） 15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 16. 某科技公司为调研正在研发的新产品在18～22岁和23～27岁青年群体中的受众面，通过发布问卷的方式展开调查，回收了400份问卷并整理数据，得到如下列联表. 感兴趣 不感兴趣 合计 18～22岁 160 40 200 23～27岁 70 合计 290 110 400 （1）求，； （2）分别计算18～22岁和23～27岁青年群体对新产品感兴趣的频率； （3）判断是否有99.9%的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关. 附，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 18. 已知是定义在R上的偶函数，当时，. （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 19. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高二年级第四次诊断数学考试 考试时间：120分钟；考试分值：150分； 命题人：田金平 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本大题共8小题，共40分，答案请写到答题卡） 1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求. 【详解】因为为等差数列，故， 故选：C. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合的交集运算即可. 【详解】由，， 可得. 故选：D 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，，其定义域为，排除A．当时，，B错误．当时，，若，则，C错误．只有选项D满足题意． 4. 已知正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得出，写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 故选：D. 6. 在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（ ） A. 150种 B. 360种 C. 450种 D. 540种 【答案】C 【解析】 【分析】结合两类计数原理，将6首诗按和两种情况求解即可. 【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种； 第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数、偶函数的定义可得出关于、的等式组，求出的解析式，代值计算可得的值. 【详解】因为函数为奇函数，即， 所以，可得①， 因为函数是偶函数，即， 所以，可得②， 联立①②可得，因此. 故选：C. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. （0，1） D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．答案请写到答题卡） 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的所有二项式系数之和为64 C. 展开式中不含项 D. 展开式的第5项系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，展开式共有7项，A错误； 对于B，展开式的所有二项式系数之和为，B正确； 对于C，展开式的通项， 而无解，因此展开式中不含项，C正确； 对于D，由选项C知，展开式奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，第1，3，5项的系数 分别为，因此展开式的第5项系数最大，D正确. 故选：BCD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 设和互为对立事件，则 B. 若随机变量，且，则 C. 若，则 D. 若随机变量X的分布列为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件概率的公式可判断A，利用二项分布的期望和方差公式可判断B，利用全概率公式可判断C，由超几何分布的期望公式可判断D. 【详解】对于A，由条件概率的公式可知，故A正确 对于B，因为，所以， 则，所以， 所以，故B正确 对于C，根据全概率公式，， 故，故C正确 对于D，由题意知，服从，，的超几何分布，所以，故D错误． 故选：ABC 11. 设函数，则（ ） A. 当时，函数有最小值为 B. 当时，函数是增函数 C. 当时，函数有最小值为 D. 存在正实数，使得函数在上单调递增 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A，举特殊情况时，在区间上单调递增，此时函数没有最小值； 选项B，函数在处不连续，函数不是增函数； 选项C，利用基本不等式求出最小值即可； 选项D，对的取值分类讨论，其中时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数判断单调性即可. 【详解】函数的定义域是， 对于选项A，当时，在区间上函数和都单调递增， 故在区间上单调递增， 此时函数没有最小值，选项A错误； 对于选项B，定义域是，函数在处不连续，函数不是增函数，选项B错误； 对于选项C，，则（时等号成立），函数有最小值为，选项C成立； 对于选项D，当时，在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增； 当时，设， ， 由得：，，， 所以，成立， 在区间上单调递增，此时存在正实数，使得函数在上单调递增；选项D正确； 故选：CD. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共3小题，共15分，答案请写到答题卡） 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数的定义域为得，解得． 13. 二项式的展开式的常数项是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项. 【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为： ，进一步化简得 . 令，即. 将代入通项公式得. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】运用数列中与的关系，通过已知条件推导出数列相邻两项的关系，再利用分组求和的方法求出. 【详解】与之间的关系 对于，当时，，得， 当时，，所以， 所以， 即， 所以当且是奇数时，，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，答案请写到答题卡） 15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得； （2）由（1）结合频率分布直方图可求平均数； （3）设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题可得，则随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3，据此可得答案. 【小问1详解】 由题知，，解得. 【小问2详解】 设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为76.5. 【小问3详解】 设p表示在这批产品中随机抽取一件产品， 所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，X的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， ∴X的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量X的数学期望. 16. 某科技公司为调研正在研发的新产品在18～22岁和23～27岁青年群体中的受众面，通过发布问卷的方式展开调查，回收了400份问卷并整理数据，得到如下列联表. 感兴趣 不感兴趣 合计 18～22岁 160 40 200 23～27岁 70 合计 290 110 400 （1）求，； （2）分别计算18～22岁和23～27岁青年群体对新产品感兴趣的频率； （3）判断是否有99.9%的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关. 附，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1），. （2）0.8， （3）有99.9%的把握 【解析】 【分析】（1）根据二阶列联表计算可得； （2）根据表格中的数据可分别计算频率； （3）根据独立性检验原理，计算卡方并给出判断即可. 【小问1详解】 由二阶列联表可得：，； 【小问2详解】 根据表格中数据可得18～22岁青年群体对新产品感兴趣的频率为， 根据表格中数据可得23～27岁青年群体对新产品感兴趣的频率为； 【小问3详解】 零假设：对新产品感兴趣与青年的年龄段无关. 由， 根据独立性检验原理，可知零假设不成立，可推断对新产品感兴趣与青年的年龄段有关，该推断犯错误的概率不超过0.1%， 即有99.9%的把握认为是否对新产品感兴趣与青年的年龄段有关. 17. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求切点处的切线方程； （2）求导，确定单调性后即可求解最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ，得或. 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减. 所以函数的极小值点为，极小值为， 因为，，故在区间上的最大值为，最小值为. 18. 已知是定义在R上的偶函数，当时，. （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【小问1详解】 由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； 【小问2详解】 作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 19. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出首项、公差即可； （2）由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为， 所以 解得，， 故的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以，① ，② ①-②得 ， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $