精品解析：2025年天津市初中学业水平考试数学试卷（核心卷一）

2025年天津市初中学业水平考试试卷 数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（﹣8）﹣（﹣5）的结果等于（　　） A. -3 B. -13 C. -40 D. 3 2. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 3. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 同种液体，压强随着深度增加而增大．深处海水的压强为，数据72100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 7. 方程的两根为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 12. 已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有6个球，其中4个黑球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是________． 14. 计算的结果等于___________． 15. 计算：______． 16. 若直线（是常数）的图象经过点，将直线向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为________． 17. 如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形． （Ⅰ）的面积为___________； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于___________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 20. 为了解某电影在春节假期的上映满意度，随机抽取了部分观众，对这部电影进行（打分按从高分到低分为个分值：分，4分，分，分，分）．根据调查结果绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取的观众的人数为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数． 21. 已知是的直径，是的一条弦，，连接． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，过点作的切线，连接并延长交于点，若，的半径为2，求的长． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，已知，，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，在处测得大树顶端的仰角是． （1）求到地面距离的长； （2）求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：，，，取． 23. 甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． （1）填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； （2）若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，，，点在轴正半轴，等边的顶点，点在第二象限，过点作轴平行线交于点，交轴于点． （1）如图①，求点的坐标； （2）将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为． ①如图②，点与点A重合时停止运动．与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示S，并直接写出的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 25. 已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； （3）动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年天津市初中学业水平考试试卷 数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（﹣8）﹣（﹣5）的结果等于（　　） A. -3 B. -13 C. -40 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】（﹣8）﹣（﹣5）=﹣8+5=﹣3， 故选A． 2. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法解答即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故选：． 3. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，根据立体图形，从左面看可得到该几何体的左视图进行判断即可． 【详解】解：左视图即从左面看该立体图形，从几何体的左边看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形． 故选：D． 4. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A.选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 选项中的美术字是轴对称图形，故此选项符合题意； D. 选项中的美术字不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 同种液体，压强随着深度增加而增大．深处海水的压强为，数据72100000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】72100000= 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 6. 的值等于（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再合并二次根式即可． 【详解】解：． 故选：B． 7. 方程的两根为、，则的值为（　　） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，根据分式的加减运算法则，先通分再化简即可． 【详解】解： ． 故选：B． 9. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限随的增大而增大， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 10. 如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 11. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析判断即可求解． 【详解】解：将以点为旋转中心逆时针旋转得到， ， ，，，， ，， ，故A正确； ， ， ， ， 平分，故B正确； ， ， 由上可知，， ，故C正确； 选项D无法判断； 故选：D． 12. 已知抛物线经过点．有以下结论： ①； ②该抛物线一定经过； ③点在抛物线上，且，则； ④若是方程的两个根，其中，则． 其中，正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．根据题意首先确定该抛物线对称轴是，结合抛物线经过点，易得该函数图像的开口向下，即，可知，故①正确；点关于直线的对称点为， 即该抛物线一定经过，故②正确；分都在对称轴右侧和在对称轴两侧两种情况，易得③错误；首先判断抛物线与抛物线关于轴对称，即可确定，故④正确． 【详解】解：如图，该抛物线对称轴是，抛物线经过点， 开口向下，即， ，故①正确； ∵点关于直线的对称点为， 该抛物线一定经过，故②正确； 若都在对称轴右侧时， ， ， 若在对称轴两侧时， ， ， 综上，时，故③错误； 如图，设抛物线上任一点坐标为，把代入，则有， 点在抛物线上， 与关于轴对称， 抛物线经过点， 抛物线经过点， ， 是抛物线与直线交点的横坐标， ，④正确． 综上所述，结论①②④正确，合计3个． 故选：C． 第II卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 不透明袋子中装有6个球，其中4个黑球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵6个球中有4个黑球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查简单的概率计算．掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题关键． 14. 计算的结果等于___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方进行运算即可． 【详解】解：． 故答案为： 15. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 若直线（是常数）的图象经过点，将直线向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线（是常数）的图象经过点求出，得到，再根据平移的规律写出答案即可． 【详解】解：∵直线（是常数）的图象经过点， ∴， ∴， 将直线向上平移5个单位长度，平移后直线的解析式为， 故答案为： 【点睛】此题考查了求一次函数的解析式、一次函数的平移等知识，熟练掌握一次函数的平移是解题的关键． 17. 如图，已知正方形的边长为4，点为边上一点，，在的右侧，以为边作正方形． （Ⅰ）的面积为___________； （Ⅱ）若为的中点，则的长等于___________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先利用正方形的性质得出，从而可利用证明，再根据全等三角形的性质求出，，然后利用三角形面积求解即可； （Ⅱ）先借助中位线定理与线段的差求得，再利用勾股定理求得，然后利用中位线定理求得． 【详解】（Ⅰ）解：过点作，交延长线于点， 则． 四边形和四边形为正方形， ． ． ， ． ． ． 故答案为：8； （Ⅱ）延长到使，连接， ， 是的中位线． ． ， ． 在中， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出相关线段． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，及点均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）为上一点，连接．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等腰直角三角形，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 ①. ②. 取圆与网格线的交点和，连接与网格线相交于点；延长与圆交于点，连接并延长与圆相交于点；取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理直接求解； （Ⅱ）先取圆与网格线的交点和，再连接与网格线相交于点，然后延长与圆交于点，最后取格点，连接，连接并延长与相交于点，点即为所求． 【详解】（Ⅰ）解：， 故答案为：； （Ⅱ）理由：， 是圆的直径． 是圆的直径． ， 点是圆心． 是圆的直径， ． ， 又， ， ， ， ， ． ． ， ∵是直径， ∴， 又， ， ， 在与中， ， ． ． 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，解题关键是在于确定圆心，利用直径所对的圆周角是直角，得到圆周角是直角． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得___________； （2）解不等式②，得___________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为___________． 【答案】（1） （2） （3） 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4） 【解析】 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）根据不等式在数轴上的表示方法即可求解； （4）根据数轴上的公共解集即可求解． 【小问1详解】 解：解不等式①，得； 故答案为： 【小问2详解】 解：解不等式②，得； 故答案为： 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为． 故答案为： 20. 为了解某电影在春节假期的上映满意度，随机抽取了部分观众，对这部电影进行（打分按从高分到低分为个分值：分，4分，分，分，分）．根据调查结果绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽取的观众的人数为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组分数数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）， （2）平均数是．众数是．中位数是； 【解析】 【分析】（1）根据分的人数和百分数即可解答，再利用分的人数计算出的值； （2）根据平均数、众数和中位数的概念即可解答． 【小问1详解】 解：∵分的人数为人，占， ∴（人）， ∵分的人数：人， ∴， 即， 故答案为：人，； 【小问2详解】 解：观察条形统计图， ∵， ∴这组数据的平均数是． ∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是． ∵将这组数据按照由小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是， ∴这组数据的中位数是． 【点睛】本题考查了条形图和扇形图，中位数的定义，平均数的定义，众数的定义，掌握平均数，中位数的定义是解题的关键． 21. 已知是的直径，是的一条弦，，连接． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，过点作的切线，连接并延长交于点，若，的半径为2，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识： （1）连接，根据圆周角定理可得，再由垂径定理可得，即可求解； （2）过作交于点，结合切线的性质可证明四边形是矩形，可得到，再证明是等边三角形，可得到，然后在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ． 是的直径，， ． ． 【小问2详解】 解：如图，过作交于点， ． 直线为的切线， ，即． ， ． 四边形是矩形． ． ． ． ． ， ． ． 是等边三角形． ． ． 在中， ， ． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树的高度，已知，，他们在斜坡上处测得大树顶端的仰角是，在处测得大树顶端的仰角是． （1）求到地面距离的长； （2）求大树的高度．（结果保留一位小数）参考数据：，，，取． 【答案】（1）到地面距离的长为； （2）大树的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形，并且会用三角函数解直角三角形． （1）用锐角三角函数解三角形即可； （2）解，可得，构造直角三角形，求出的长度，解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，， 在中，， ∴， 答：到地面距离的长为． 【小问2详解】 解：如图，作于点，则， 在中，，，， ， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大树的高度约为． 23. 甲、乙两车从城出发前往城．在整个行程中，甲车离开城的距离与甲车离开城的时间的对应关系如图所示． （1）填空： ①A，B两城相距___________； ②当甲车出发时，距离城___________； ③当时，甲车的速度为___________； ④当时，甲车的速度为___________； ⑤请直接写出关于的函数解析式； （2）若乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶，求两车相遇时，甲车离开城的时间（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①360；②120；③60；④80；⑤ （2）或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用和从函数图象获取信息，数形结合是关键． （1）①根据函数图形信息，即可求出相应结果； ②判断，结合函数图形信息，即可求出相应结果； ③利用速度=路程÷时间求解即可； ④利用速度=路程÷时间求解即可； ⑤分，，三种情况讨论即可； （2）设乙车离开城的距离为，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 ①根据图象可得A，B两城相距为360； ②当甲车出发时，距离城； ③当时，甲车的速度为：； ④当时，甲车的速度为：； ⑤当时，； 当时，； 当时，设关于的函数解析式为， 代入，得： 解得 所以． 故答案为：①360；②120；③60；④80； 【小问2详解】 设乙车离开城的距离为， 乙车比甲车晚出发，以的速度匀速行驶， ． 把代入，可得． ． 当时，． 时，，即 解得． ∴两车相遇时，甲车离开城的时间或． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，是直角三角形，，，，点在轴正半轴，等边的顶点，点在第二象限，过点作轴平行线交于点，交轴于点． （1）如图①，求点的坐标； （2）将沿轴向右平移，得到，点，，的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为． ①如图②，点与点A重合时停止运动．与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示S，并直接写出的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2）①当，；当，． ②； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形得到，，结合得到，根据三角函数求出，，即可得到答案； （2）①当时，过作，根据由平移知，是等边三角形，得，，在中，根据求出，即可得到，再求出即可得到答案；当时，过作，求出、即可得到答案；②根据二次函数的性质进行求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由点，得， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，当时，过作， 由平移知，是等边三角形，得，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即．其中的取值范围是， 如图，当时，过作， 由点，得， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 即（）， ② 解：如图，当时， ∵是等边三角形， ∴， 此时， 此时当时最小，， 当时最大，； 当时， ∴当时取最大，，当时最小，， 当时，， ∴当时最大，，当最小，， 当时，如图所示, ， 同理可得，， ∴， ∴， ∴当时最小，，当时最大，， 综上所述：． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形面积问题，解直角三角形，等边三角形的性质解题的关键是根据题意找到动点面积变化的节点分类讨论，再根据二次函数的性质直接求解． 25. 已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； （3）动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线与轴得交点以及对称轴为，求出抛物线解析式，即可求解； （2）如图，设对称轴与相交于点，先求出线段的长度，因为翻折，可以求出线段的长，由三角函数可求出，可得到，由三角函数求的长，所以可以求出点的坐标． （3）设交轴于，设，先求直线的解析式，由，可得，可求出，用含的代数式表示直线，求直线和交点的坐标，用含的代数式表示，通过求顶点坐标求二次函数最大值． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， ． 对称轴为， ，即， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：． ． 【小问2详解】 解：如图，设对称轴与相交于点， ， ． 由翻折可得． 对称轴为， ． 在中，． ． ． 在Rt中，． ． 【小问3详解】 解：设交轴于， 设所在直线的解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， ， ， ， ， 直线与轴所成夹角为，即， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点代入得， ， 令，则， 解得：， ， ， 点在直线上方， ， 当时，的最大值为． 将带入解析式，得 点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $