精品解析：广东省广州市大同中学2024-2025学年高三三模数学试题

2024学年广州市白云区大同中学高三三模考试数学试卷 注意事项： 1.本试题满分150分.考试时间120分钟. 2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡上 3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集．则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位．复数．则在复平面内对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 7. 已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为了解某类植物生长年之后的高度．随机抽取了株此类植物．测得它们生长年之后的高度（单位：）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长年之后高度低于的有株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（ ） A. B. 此次检测植物生长高度在之间的有株 C. 估计该类植物生长年后．高度的众数为 D. 估计该类植物生长年后．高度的第百分位数为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集为 D. 若为的内角，且，则或 11. 已知椭圆的方程为，则（ ） A. 椭圆关于轴对称 B. 直线被椭圆截得弦长为 C. 椭圆的长轴长为 D. 椭圆的离心率为 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前项和为．且．则______． 13. 已知．则______． 14. 已知实数满足，则的最小值为_____. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 16. 如图所示，在等腰直角中，，点､分别为的中点，将沿翻折到位置. （1）证明：平面 （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. （3）若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立． （1）若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率： （2）已知．现有两种初赛人员派出方案： 方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲 设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小； （3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值． 19. 已知双曲线．点在 上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与 的下支交于点．点关于 轴的对称点为．记点的坐标为 （1）求的值： （2）记．证明：数列为等比数列； （3）记的面积为．证明：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年广州市白云区大同中学高三三模考试数学试卷 注意事项： 1.本试题满分150分.考试时间120分钟. 2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡上 3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题卡上的指定区域内. 第I卷选择题（共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集和补集的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，故D正确. 故选：D 2. 已知是虚数单位．复数．则在复平面内对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再求出其对应坐标即可得解. 【详解】依题意，， 所以在复平面内对应点的坐标是. 故选：A 3. 对于非零向量，，“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】对于非零向量，，因为， 所以，则， 即“”能推出 ， 但当时，，显然 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件结合抛物线的定义求解即可. 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得，且设点到抛物线的焦点的距离为， 由抛物线的定义得，故B正确. 故选：B 5. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点,由题意列出方程，化简整理即得点的轨迹方程. 【详解】依题意，设点，由， 可得，即得点的轨迹方程为. 故选：A. 6. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 7. 已知正四棱台的体积为，则与底面ABCD所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据体积求出正四棱台的高，分别取的中点，过作交于，则为与底面所成的角，求解即可. 【详解】∵，，∴上，下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 则其体积为，解得， 连接，分别取的中点， ∵面，面，∴， 过作交于，则，面， ∴为与底面所成的角， ∵，， ∴， 即与底面所成角的正切值为. 故选：C. 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 若，则对任意的，， 则当时，，不合乎题意； 若时，当时，，，此时，，不合乎题意； 若，则当时，，，此时，，不合乎题意. 所以，，此时，，则， 当时，，，此时，； 当时，，，此时，. 所以，对任意的，，合乎题意， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 为了解某类植物生长年之后的高度．随机抽取了株此类植物．测得它们生长年之后的高度（单位：）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长年之后高度低于的有株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（ ） A. B. 此次检测植物生长高度在之间的有株 C. 估计该类植物生长年后．高度的众数为 D. 估计该类植物生长年后．高度的第百分位数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求高度低于的频率，再由频率，频数，样本容量的关系求得n，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果. 【详解】对于A，植物生长年之后高度低于的频率为， 所以，解得.故A正确； 对于B，此次检测植物生长高度在之间的频率为， 所以此次检测植物生长高度在之间的有株. 故B正确； 对于C， 频率分布直方图中最高的矩形条所在的区间为， 由众数的定义知，估计这组数据的众数为.故C错误； 对于D，由频率分布直方图可得该类植物生长年后．高度不低于的植株的频率为， 高度低于的植株的频率为， 所以估计该类植物生长年后．高度的第百分位数为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 不等式的解集为 D. 若为的内角，且，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式化简得，结合三角函数的周期公式判断出A项的正误；运用正弦函数图象的对称性判断出B项的正误；将不等式化简为，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可判断出C的正误；当时，可得，结合、，推导出或，进而判断出D的正误． 【详解】解：由题意得， A，的周期，可知A项正确； B，当时，， 结合正弦函数的性质，可知的图象关于点对称， 所以的图象不能关于直线对称，可得B项不正确； C，不等式，即， 可得，解得， 所以不等式的解集为，可知C项正确； D，若的内角、、满足， 则，结合、， 可得或， 解得或，即或，可知D项正确． 故选：ACD． 11. 已知椭圆的方程为，则（ ） A. 椭圆关于轴对称 B. 直线被椭圆截得弦长为 C. 椭圆的长轴长为 D. 椭圆的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；将直线方程与椭圆方程联立，结合弦长公式可判断B选项；求出椭圆的对称轴方程，将对称轴方程与椭圆方程联立，求出、的值，可判断C选项；利用椭圆的离心率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆上任取一点，则， 则点关于轴的对称点为，因为不恒成立， 故椭圆不关于轴对称，A错； 对于B选项，设直线交椭圆于点、， 联立得，解得，， 因此，直线被椭圆截得弦长为，B对； 对于C选项，在椭圆上任取一点，则， 点关于直线的对称点， 因为，即椭圆关于直线对称， 同理可知，椭圆关于直线对称， 联立可得或， 所以直线截椭圆所得弦长为， 联立解得或， 所以，直线截椭圆所得弦长为， 因为，所以， 所以椭圆的长轴长为，C对； 对于D选项，由C选项可知，，， 所以，椭圆的离心率为，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出椭圆的对称轴，将直线方程与椭圆方程联立，即可求出、、的值，进而求解. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知等差数列的前项和为．且．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知．则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式计算可得、，结合同角的商数关系计算即可求解. 【详解】， ， 两式相加得，两式相减得， 所以. 故答案为： 14. 已知实数满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 记内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用辅助角公式计算得出，再结合角的范围即可求出角； （2）已知结合正弦定理化简计算得出，再应用两角和正弦公式计算，最后正弦定理计算边长即可得出周长. 【小问1详解】 由得，，即， 由于，； 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理， 又，，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理得， 解得，， 故的周长为. 16. 如图所示，在等腰直角中，，点､分别为的中点，将沿翻折到位置. （1）证明：平面 （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 等腰直角中，，得．所以． 点、分别为、的中点，，所以． 将沿翻折到位置后，． 又平面平面． 所以平面． 又，得平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，继而证明平面，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知面．又平面．所以平面平面， 由为中点．故．又因为．所以为等边三角形， 设的中点为．连接．则．又平面平面， 平面平面，平面．所以平面． 过作交于． 以为坐标原点．建立如图所示的空间直角坐标系： 因为． 得， 所以． 设平面的一个法向量为, 则，可取． 设平面的一个法向量为．则， 取． 所以． 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. （3）若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求在函数图形上一点的切线方程. （2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调区间. （3）根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值，列出极大值不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 当时，，， 则，，所以切线方程为，化简得. 【小问2详解】 由可得，则，即函数定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得，因为定义域为， 所以，由，可得, 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述： 当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知当时函数无极值点，当时函数在处有极大值， 可得，代入得，化简得， 令，则， 因为，所以，在上单调递增， 因为，所以解得， 所以实数的取值范围是. 18. 第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立． （1）若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率： （2）已知．现有两种初赛人员派出方案： 方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲 设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小； （3）初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值． 【答案】（1） （2），，． （3）． 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【小问1详解】 设事件A表示该小组获胜．则． 所以该小组初赛胜利的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为1， 2，3． 则． 此时 的可能取值为1，2，3． 则． 此时． 所以 因为． 所以．所以． 【小问3详解】 由题意可得，． 则． 令． 则．令． 所以当时，，为减函数． 当时．，为增函数． 所以． 所以的最小值为． 19. 已知双曲线．点在 上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与 的下支交于点．点关于 轴的对称点为．记点的坐标为 （1）求的值： （2）记．证明：数列为等比数列； （3）记的面积为．证明：是定值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以．因为 所以． 于是．①． 由于， 所以．且． 两式作差可得．② 把①代入②可得．③ 由③-①得． 即 因为．所以 又．所以 故数列是首项为．公比为的等比数列． （3）证明：由（2）知．又，所以． 则． 因为， 且， 所以 ， 即是定值. 【解析】 【分析】（1）根据点在 上，求出双曲线 的方程，再由对称性即可求得结果； （2）由和，表示出直线方程，根据，联立方程化简可得，又，即可得，即可得证； （3）由（2）知．又，所以，即得和坐标，然后表示出，化简得证. 【小问1详解】 由题知双曲线．点在 上， 故，所以双曲线． 又过点斜率为的直线方程为． 由双曲线与直线的对称性可知． 所以．即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $