精品解析：山西省卓越联盟2024-2025学年高一下学期5月冲刺考数学试题（B）

2024~2025学年第二学期高一5月冲刺考 数学（B卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册第六章~第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】求出可得答案. 【详解】因为复数，所以， 则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简求出集合，利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B. 3. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，结合题意可得出关于这两个量的方程组，解之即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得. 因此，此圆锥的底面直径为. 故选：D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数及幂函数的单调性即可判断； 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以，，所以. 故选：B. 5. 已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，即可由夹角公式求解. 【详解】由可得， 故， 因此， ， 故选：A 6. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项中，线面、面面位置关系，利用相关判定定理可推得相应结论逐一判断即可. 【详解】对于A，由，，可得与平行或异面，故A错误； 对于B，由，可得或，故B错误； 对于C，由，可得与平行或相交，如同时垂直于地面的两堵墙面可以平行，也可以相交，故C错误； 对于D，由，可得或，当时，由可得； 当时，利用线面平行的性质，则必存在且，同法可得，故也可得，即D正确. 故选：D. 7. 已知，是复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的性质及充分条件、必要条件求解即可． 【详解】当时，，此时， 当，若，则成立，同理也成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 8. 已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接相交于点，当平面时，四棱锥的体积的最大，此时球心在上，根据求出，再利用是直角三角形求出可得答案. 【详解】连接相交于点，连接，当平面时， 四棱锥的体积的最大，此时球心在上，连接， 所以，解得， 四边形是边长为的正方形，所以， 设球的半径为，因为是直角三角形，所以， 即，解得， 则球的表面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、幂函数的单调性、指数函数的单调性以及对数函数的定义域和单调性等概念.我们将分别根据这些性质来判断每个选项是否成立. 【详解】对于选项A，对于幂函数，它在R上是增函数.因为，所以，选项A成立. 对于选项B，已知且.根据不等式的性质，当不等式两边同时乘以一个正数时，不等号方向不变，所以，选项B不成立. 对于选项C，指数函数在R上是增函数.因为，所以，选项C成立. 对于选项D，因为，所以.对数函数在上是增函数.所以，选项D不成立. 故选：AC. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若不是直角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有2个 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化判断A；利用正切的和差角公式化简判断B；利用正弦定理求解判断C；利用余弦定理边角互化判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，则， 于是或，即或，为等腰三角形或者直角三角形，A错误； 对于B, 不是直角三角形，则， 因此，B正确； 对于C, 由，，得，因此符合条件的有1个，C错误； 对于D, 由, 得，即， 由正弦定理得，则，角为钝角，为钝角三角形，D正确， 故选：BD 11. 在棱长为2的正方体中，点P是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P是线段的中点，则平面截正方体所得的截面的面积为 C. 若点P在线段上，则的最小值为 D. 若点P满足，则AP与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可判断A，根据可知截面为梯形即可由面积公式求解B，根据翻折到共面，结合两点之间线段最小，即可求解C,根据线面垂直以及线面角的定义可得，由正切以及三角形边角关系即可求解D. 【详解】连接,则又平面，平面,所以,又平面，所以平面， 平面，所以，故A正确， 取的中点为,连接则，又，故，所以平面截正方体所得的截面为梯形又， 故梯形的面积为，故B错误， 将沿着翻折到与平面共面，如图所示， 连接交于点时，此时位于的中点，的值最小， 则最小值为，故C正确， 由A选项可知，同理可证, 又平面，所以平面， 又点满足，所以线段为点的轨迹， 在上取一点,使得,由于平面, 所以平面,故为AP与平面所成角， 所以又， 所以， 即AP与平面所成角的正切值的最大值为，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，且与平行，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】由题意可得，且， 因为与平行，所以，解得. 故答案为：. 13. 如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，若三棱柱的体积为4，则直线与所成角的余弦值为_____， 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题中信息得出，将直三棱柱补形成棱长为的正方体，取的中点，将问题转化为求，最后利用余弦定理即可. 【详解】因，，则，则， 则， 因三棱柱的体积为4，且为直三棱柱， 则，得， 故可将直三棱柱补形成棱长为的正方体， 取的中点，连接， 因且，且， 故四边形和均为平行四边形，故，， 则直线与所成角和直线所成角相等， 容易得，，， 则在种利用余弦定理可得，， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________；若的面积为，点G满足，则线段AG的最小值为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用和差角的正弦化简求得；利用三角形面积公式求出，再三角形重心的向量表示，数量积的运算律及基本不等式求出最小值. 【详解】在中，，整理得， 而，则，又，所以； 由的面积为，得，则， 由点G满足，得是的重心，则， ，当且仅当时取等号， 所以线段AG的最小值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边经过点． （1）求、、的值； （2）求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可求得、、的值； （2）利用诱导公式化简可得结果. 【小问1详解】 因为角的终边经过点，由三角函数的定义可得， ，. 【小问2详解】 . 16. 如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． （1）用，表示，； （2）若点F是BE的中点，求的值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性关系列式求解； （2）应用平行四边形性质特征得出，再结合平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【小问1详解】 因为是平行四边形，点E是DC的中点，所以， 所以， 所以，所以； 【小问2详解】 因为是平行四边形，点F是BE的中点， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以在中，，，， 所以， 所以 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点M，N分别为线段上的一点，且，． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1） 如图所示，连接，因为底面是菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2） 如图所示，在上取一点，使得，连接， 因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，只需证明，即可； （2）在上取一点，使得，只需证明平面平面，只需证明平面，平面，从而问题就可以转化为线线平行来做了. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在正三棱柱中，，点D，E分别为棱AB，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 在正三棱柱中，平面，平面，则， 又为的中点，则，而平面， 于是平面，又平面，则， 在正方形中，E为的中点，， 则，，因此， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定证得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面，即三棱锥的高为， 在中，，则， 设点E到平面的距离为，由，得，解得， 所以点E到平面的距离为. 【小问3详解】 设，过作于，连接，由（1）知平面， 而平面，则，又平面， 则平面，又平面，因此，为二面角的平面角， 由，得，，又， 则，在中，， 所以二面角的正弦值为. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明：由，得， 即，由正弦定理得， 所以是直角三角形. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式，结合正弦定理边角互化即可求解. （2）根据面积公式可求解，进而根据正弦定理可得，由和差角公式化简即可求解. （3）由余弦定理求解长度，结合勾股定理可得，即可利用不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 的面积为，则， 所以在中，， 所以， 由P为的费马点，得， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，由正弦定理得，则， 因此，整理得，即， 所以，即. 【小问3详解】 由P为的费马点，得， 设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，得， 化简得，又，则，当且仅当时取等号， 整理得，因此，或（舍去）， 所以的最小值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高一5月冲刺考 数学（B卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册、必修第二册第六章~第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的底面直径为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 已知，是复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且四边形是边长为的正方形，若四棱锥的体积的最大值为6，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若不是直角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有2个 D. 若，则为钝角三角形 11. 在棱长为2的正方体中，点P是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ） A. B. 若点P是线段的中点，则平面截正方体所得的截面的面积为 C. 若点P在线段上，则的最小值为 D. 若点P满足，则AP与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，且与平行，则________． 13. 如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，若三棱柱的体积为4，则直线与所成角的余弦值为_____， 14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则________；若的面积为，点G满足，则线段AG的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角的终边经过点． （1）求、、的值； （2）求的值． 16. 如图，在平行四边形中，，，点E是DC的中点． （1）用，表示，； （2）若点F是BE的中点，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点M，N分别为线段上的一点，且，． （1）求证：； （2）求证：平面． 18. 如图，在正三棱柱中，，点D，E分别为棱AB，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求点E到平面的距离； （3）求二面角的正弦值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点． （1）求证：是直角三角形； （2）若的面积为，且，求的值； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $