2025年广东省中考数学三轮难点专题突破：二次函数图象与字母系数之间的关系

2025年广东省中考数学三轮难点专题突破：二次函数图象与字母系数之间的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点下列结论：；若点，是抛物线上的两点，则；；若，则其中正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于、两点，若，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 3.如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点下列结论： ； 当时，随的增大而增大； ； ． 其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线若点的坐标为，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 是关于的一元二次方程的一个根 D. 点，在抛物线上，当时， 5.如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，小红同学得出了以下结论：；；当时，；其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 6.若二次函数的图象经过三点，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；多项式可因式分解为；当时，关于的方程无实数根其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8.已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线下列结论：；若点，均在二次函数图象上，则；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；满足的的取值范围为其中正确结论的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9.如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，点在抛物线上，且在直线上方，则下列结论正确的是(    ) A. B. 方程有两个不相等的实数根 C. D. 点到直线的最大距离 二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 10.如图，抛物线过点，对称轴是直线下列结论正确的是(    ) A. B. C. 若关于的方程有实数根，则 D. 若和是抛物线上的两点，则当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 11.小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象他得出下列结论：且；；关于的一元二次方程的两根分别为和；若点，，均在二次函数图象上，则；，其中正确的结论有______填序号，多选、少选、错选都不得分 12.如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点，对称轴为直线下面结论： ； ； ； 方程必有一个根大于且小于． 其中正确的是______只填序号 13.已知二次函数的与的部分对应值如表： 下列结论： ； 关于的一元二次方程有两个相等的实数根； 当时，的取值范围为； 若点，均在二次函数图象上，则； 满足的的取值范围是或． 其中正确结论的序号为______． 14.如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，下列结论：；；；；中正确的有______将你认为正确的结论序号都填出来 四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． 求此二次函数的表达式； 如图，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； 如图，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：对称轴， ， ，正确； 抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，故正确； 经过点， ， 对称轴， ， ， ， ，故错误； 对称轴， 点关于对称轴的对称点为， 开口向上， 时，故正确； 故选：． 由对称轴为即可判断；根据点，到对称轴的距离即可判断；由抛物线经过点，得出，对称轴，得出，代入即可判断；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断． 本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：由题意，令时， ． 又结合图象，方程有两个相等的实数根， ， 又设点到直线的距离为， ，． 令时， ． 又、是该方程的两个根， ，， ， ，即， ． ，即， 点到直线的距离为， 故选：． 依据题意，由，该方程有两个相等的实数根，则，设点到直线的距离为，则，，由题意知，，、是该方程的两个根，则，，由，可得，即，，即，计算求解即可． 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：把点，代入二次函数， 可得二次函数的解析式为：， 该函数开口方向向下， ， ，， ，，错误，正确； 对称轴为直线：， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；错误； 当时，函数取得最大值，即对于任意的，有， ，故正确． 综上，正确的个数有个， 故选：． 把点，代入二次函数，可得二次函数的解析式为：，由图象可知，函数图象开口向下，所以，可得和的符号，及和的数量关系；由函数解析式可得函数对称轴为直线：，根据函数的增减性和最值，可判断和的正确性． 本题考查了二次函数图象与系数的关系：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左侧；当与异号时，对称轴在轴右侧．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 4.【答案】  【解析】解：对称轴为直线， ， ， ，故错误， 抛物线开口向上， ， 对称轴在轴左侧， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 即，故错误， 抛物线与轴交于，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的一元二次方程的一个根，故正确， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，，故错误， 故选：． 根据对称轴判断，根据图象特征判断，根据对称轴及抛物线与轴的交点判断，根据抛物线的性质判断． 本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与轴的交点情况，熟练掌握上述知识点是解决本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：由图象可得， 该抛物线与轴有两个交点，则，故正确； 抛物线与轴相交于点、， 该抛物线的对称轴是直线， ， ，故正确； 由图象可得，当时，或，故错误； 当时，，故正确； 故选：． 根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6.【答案】  【解析】解：将解析式转化为顶点式，且， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 关于对称轴的对称点为， ， ． 故选：． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，求出点关于直线的对称点，根据时，随的增大而增大，即可得出答案． 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象开口方向，对称轴，函数的对称性及增减性，是解此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由图像可知：，，， ，故正确， 时，， ， ，故正确， 函数图象经过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 多项式可因式分解为，故错误， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知当时，关于的方程无实数根，故正确． 故选：． 根据图像信息一一判断即可． 本题考查二次函数图像与系数关系，解一元二次方程因式分解法，根的判别式，二次函数图像上的点坐标特征，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】  【解析】解：对称轴为直线． ， 当时，， ，故错误， 抛物线开口向下， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 关于直线对称的点为， 又， ，故正确， 方程的解可看做抛物线与直线的交点， 由图象可知抛物线与直线有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故错误， 不等式的解集可看做抛物线的图象在直线上方的部分， 关于直线对称的点为， 的取值范围为，故正确． 故选：． 由对称轴为直线可得，再将代入可判断，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断，方程的解可看做抛物线与直线的交点，找出交点个数可判断，不等式的解集可看做抛物线的图象在直线上方的部分，可判断． 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息，结合函数的性质对选项进行判断是解题的关键． 根据图象可知，，再由对称轴可知，可判断；根据抛物线的顶点可知方程有且只有一个实数根，可判断；当时函数有最大值，由此可判断；求出函数的解析式和直线的解析式，当的面积最大值时，点到的距离最大． 【解答】 解：由图象可知开口向下， ， 函数与轴的交点在轴的正半轴上， ， 对称轴为直线， ， ， 故A不符合题意； 抛物线的顶点坐标是， 时，方程的解为， 方程有且只有一个实数根， 故B不符合题意； 当时，， ，即， 故C符合题意； 设直线的解析式为， ，解得， ， 设抛物线，将点代入， ，解得， ， 过点作轴交于点， 设点坐标为，则， ， 当时，的面积有最大值， ，， ， ， ， 点到直线的最大距离， 故D不符合题意， 故选：． 10.【答案】  【解析】解：由抛物线对称性可知：抛物线也过点， A、由于，，， ， ，故A符合题意． B、， ， 将代入， ， ， 即，故B符合题意． C、令代入， ， 若关于的方程有实数根， ， 即，故C不符合题意． D、设点，， 当时， 点到直线的距离比点到直线的距离要大， 由抛物线的对称性可知：，故D符合题意． 故选：． 由抛物线对称性可知：抛物线也过点，从而可求出，，再根据图象可知，，，最后再利用二次函数图象的性质即可求出答案． 本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于基础题型． 11.【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴在轴的左侧， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ，正确； 抛物线经过， ，正确． 抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 另一个交点为， 关于的一元二次方程的两根分别为和，正确； ，抛物线开口向下， ，错误． 抛物线与轴的一个交点坐标为， ， ， ， ，错误． 故答案为：． 由抛物线的对称轴的位置以及与轴的交点可判断；由抛物线过点，即可判断；由抛物线的对称性可判断；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断；由对称轴可得，由抛物线过点可判断． 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 12.【答案】  【解析】解：由图象可得， ，，， 则，故正确； ， ， ，故正确； 函数图象与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴是直线， 函数图象与轴的另一个交点在点和点之间，故正确； 当时，， ， ，故错误； 故答案为：． 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 13.【答案】  【解析】解：把，，代入得： ， 解得 ，故正确； ，，， ， 当时，， ， ， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为， 又， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，函数取最大值， 与时函数值相等，等于， 当时，的取值范围为，故错误； ， 点，关于对称轴对称， ，故正确； 由得，即，画函数和图象如下： 由， 解得， ，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 利用待定系数法求出、、的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：由图知：抛物线的开口向下，则；抛物线的对称轴，且； 由图可得：当时，，即，故正确； 已知，且，所以，故正确； 已知抛物线经过，即，由图知：当时，，即， 由可得， ， 故正确； 已知抛物线经过，即，由图知：当时，，即，由知：；联立，得：；联立得：； 故，即；所以错误； 已知抛物线经过，即， ， ， ， ， ， ，故正确； 因此正确的结论是． 故答案为． 首先根据抛物线的开口方向可得到，抛物线交轴于正半轴，则，而抛物线与轴的交点中，、说明抛物线的对称轴在之间，即，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断． 本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握．二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 15.【答案】；   存在最大值，最大值为；   或．  【解析】把，分别代入抛物线， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 根据抛物线的解析式为， ，，， 设，则，则， ， ， 抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为， 四边形的面积存在最大值，最大值为； ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得：， 解得， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为：， ， ， 取点，过点作轴，交于点， 则， ， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ， ≌， ， ， ， 点符合题意， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点作轴，过点作轴，二线交于点，则四边形是矩形， ，，， ， 在上取一点，使得，则， ， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ， ≌， ， ， ， 点符合题意， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为：， 当时，， 故H； 综上所述，符合题意的点坐标有或． 把，分别代入抛物线，确定解析式即可； 设，则，则，则，根据抛物线的性质解答即可； 取点，过点作轴，交于点，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点作轴，过点作轴，二线交于点，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$