4.1 因式分解的意义 （3大题型45题）同步练-2024-2025学年七年级下册数学（浙教版2024）

目录 题型1 整式乘法与因式分解 1 题型2 判断是否是因式分解 3 题型3 利用因式分解与整式乘法关系求参数 5 A组基础练 7 B组提升练 13 C组拓展练 17 题型1 整式乘法与因式分解 1．若x2+kx+16＝（x﹣4）2，那么（　　） A．k＝﹣8，从左到右是乘法运算 B．k＝8，从左到右是乘法运算 C．k＝﹣8，从左到右是因式分解 D．k＝8，从左到右是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义和因式分解与整式乘法是恒等变形求出k的值即可． 【详解】解：∵（x﹣4）2＝x2﹣8x+16， ∴k＝﹣8， ∴x2﹣8x+16＝（x﹣4）2是因式分解， 故选：C． 2．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可． 【详解】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解； ②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：D． 3．对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（　　） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据因式分解的定义以及整式乘法的定义判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．整式乘法与因式分解互为相反的过程． 【详解】解：12xy2＝3xy•4y，等式的左边不是多项式，所以不是分解因式； 3xy•4y＝12xy2是整式乘法． 所以于这两种说法正确的是①错误，②正确． 故选：C． 4．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 【答案】 整式乘法 因式分解 【解析】 【分析】此题主要是考查了因式分解的意义，根据因式分解的定义、整式乘法的定义和平方差公式进行求解，紧扣因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，从左到右的变形是整式乘法，从右到左的变形是因式分解， 故答案为：整式乘法，因式分解． 5．（1）（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是　 　； （2）（a+b）（2a﹣b）＝2ab，这种从左到右的变形是　 ． 【答案】分解因式；整式乘法 【解析】 【分析】（1）根据分解因式的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式；进行作答即可； （2）因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 【详解】（1）（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是分解因式； （2）（a+b）（2a﹣b）＝2ab，这种从左到右的变形是整式乘法． 故答案为：分解因式；整式乘法． 题型2 判断是否是因式分解 6．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个多项式表示为几个整式乘积的形式． 根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是多项式相乘，故该选项不符合题意； B． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； C． 是因式分解，故该选项符合题意； D． 右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．分别将各选项分解因式进而分析得出即可． 【详解】解：A、无法分解因式，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、无法分解因式，故此选项错误； D、，正确． 故选：D 8．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．a（x+y）＝ax+ay D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x 【答案】A 【解析】 【分析】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、正确； B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误； D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误． 故选：A． 9．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；       ②； ③；       ④； ⑤；             ⑥． 【答案】③④⑥ 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 10．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 【答案】（3） 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解） （1）不是因式分解，不符合题意； （2）不是因式分解，不符合题意； （3）是因式分解，符合题意； （4）是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：（3）. 题型3 利用因式分解与整式乘法关系求参数 11．若多项式 可因式分解为，则的值为（　　） A．-4 B．4 C．-14 D．14 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m即可． 【详解】解： = = ∵关于x的多项式可因式分解为， ∴m=4， 故选：B． 12．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式法则求出（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6，求出m、n的值，再求出mn即可． 【详解】（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6， ∵x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式， ∴m＝1，n＝﹣6， ∴mn＝1×（﹣6）＝﹣6， 故选：C． 13．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是　 　． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法结合已知进而得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）， ∴（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，则a＝6， ∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）， ∴（x+l）（x+9）＝x2+10x+9，则b＝9， 故a﹣b＝6﹣9＝﹣3． 故答案为：﹣3． 14．若关于x的多项式x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1，则实数a＝　 　． 【答案】﹣5 【解析】 【分析】掌握多项式乘法的基本性质，x﹣1中﹣1与6相乘可得到﹣6，则可知：x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1和x+6． 【详解】（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6＝x2﹣ax﹣6， 所以a的数值是﹣5． 故答案为：﹣5． 15．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20 【解析】 【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【详解】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． A组基础练 16．对于下列两个自左向右的变形：甲：，乙：其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【答案】B 【解析】 【分析】利用因式分解的定义判定即可． 【详解】解：甲：，因为不是多项式，故甲不是因式分解， 乙：，结果不是乘积式，故乙不是因式分解， 故选：B． 17．下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解进行分析即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，是整式运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 18．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】 【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式，根据定义即可进行判断． 【详解】解：①结果不是整式的乘积，不是因式分解； ②是多项式的乘法，不是因式分解； ③等式左边不是多项式，不是因式分解； ④符合因式分解的定义，是因式分解， 是因式分解的个数是个， 故选：A． 19．若关于x的二次三项式x2﹣4x+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则b的值为（　　） A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出b的值． 【详解】解：由题意得：x2﹣4x+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∴b＝3， 故选：B． 20．已知二次三项式分解因式为，则，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，将计算结果与二次三项式对比，根据同类项的系数相同可求得答案． 【详解】根据题意，得 ． 可得 ，． 故选：D． 21．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 22．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 23．下列由左到右的变形是因式分解的打“√”，不是的打“×”： （1）（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9． （　 　） （2）x2+2x+2＝（x+1）2+1．（　 　） （3）x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）． （　 　） （4）x2+3xy+2y2＝（x+2y）（x+y）． （　 　） （5）1﹣＝（1+）（1﹣）． （　 　） （6）m2++2＝（m+）2．（　 　） （7）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （　 　） 【答案】×；×；√；√；×；×；√ 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：（1）（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，从左到右的变形不属于因式分解， 故答案为：×； （2）x2+2x+2＝（x+1）2+1，从左到右的变形不属于因式分解， 故答案为：×； （3）x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4），从左到右的变形属于因式分解， 故答案为：√； （4）x2+3xy+2y2＝（x+2y）（x+y），从左到右的变形属于因式分解， 故答案为：√； （5）1﹣＝（1+）（1﹣），从左到右的变形不属于因式分解， 故答案为：×； （6）m2++2＝（m+）2，从左到右的变形不属于因式分解， 故答案为：×； （7）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），从左到右的变形属于因式分解， 故答案为：√． 24．下列从左到右的变形，是因式分解的是 　 　． A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，以及提公因式法和公式法进行判断求解．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 【详解】解：A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解； B．（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1）； C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解； D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，是因式分解； 故答案为：AD． 25．若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题的关键． 根据整式合并后对应项的系数相等即可解答． 【详解】解：∵关于x的多项式可以分解为， ∴， ∴． 故答案为：1． 26．如果二次三项式x2+ax+2可分解为（x﹣1）（x+b），则a+b的值为　 ． 【答案】﹣5 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案． 【详解】解：∵二次三项式x2+ax+2可分解为（x﹣1）（x+b）， ∴x2+ax+2＝（x﹣1）（x+b） ＝x2+（b﹣1）x﹣b， 则﹣b＝2，b﹣1＝a， 解得：b＝﹣2，a＝﹣3， 故a+b＝﹣5． 故答案是：﹣5． 27．当k＝　 　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 【答案】7 【解析】 【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解． 【详解】解：∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12， ∴﹣k＝﹣7，k＝7． 故应填7． 28．数学老师布置了一道数学题：化简（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） … 解：原式＝（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）] … （1）对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是　　． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法 D．甲、乙都是因式分解 （2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）A（2）见解析 【解析】 【详解】解：（1）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2），为整式的乘法， （x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]，为因式分解， 故本题选：A； （2）选择甲同学的解法： 原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2）＝x2﹣y2﹣x2+2xy﹣y2＝2xy﹣2y2， 选择乙同学的解法： 原式＝（x﹣y）[x+y﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（x+y﹣x+y）＝（x﹣y）•2y＝2xy﹣2y2． 29．已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是，求m、n的值． 【答案】m，n 【解析】 【分析】首先利用多项式的乘法法则计算，然后根据两个多项式相等的条件：对应项的系数相同即可求得m，n的值． 【详解】解： ＝2x2x﹣x ＝2x2x． 则m，n． 30．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】， 【解析】 【分析】设另一根因式为，可得，再建立方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵二次三项式有一个因式是， ∴设另一根因式为， ∴， ∴，解得：， ∴另一根因式为：． B组提升练 31．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、，不是整式的积的形式，不符合题意； C、，等式右边有减法，不是整式的积的形式，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选D． 32．已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则常数k的值是　 　． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据多项式结构特点整理后判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解． 【详解】∵4xy﹣4x2﹣y2﹣k＝﹣k﹣（2x﹣y）2，它的一个因式1﹣2x+y＝1﹣（2x﹣y） ∴分解时是利用平方差公式， ∴﹣k＝12＝1 ∴k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 33．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是　 　． 【答案】（x+1）（x﹣6） 【解析】 【分析】根据已知分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），可得出b的值，再根据乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），可求出a的值，进而因式分解即可． 【详解】解：∵分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2）， ∴（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6， ∴b＝﹣6， ∵乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3）， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6， ∴a＝﹣5， ∴x2+ax+b＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）． 故答案为：（x+1）（x﹣6）． 34．已知多项式能分解为，则 ， ． 【答案】 ； ． 【解析】 【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【详解】解：∵ ． ∴展开式乘积中不含、项， ∴，解得：． 故答案为：，． 35．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， 即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单． 如：（1）x2+4x+3＝x2+（1+3）x+1×3＝（x+1）（x+3）； （2）x2﹣4x﹣5＝x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）＝（x+1）（x﹣5）． 请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18． 【答案】（x﹣9）（x+2） 【解析】 【分析】把﹣18分成﹣9×2，﹣9+2＝﹣7是一次项系数，由此类比分解得出答案即可． 【详解】解：x2﹣7x﹣18＝x2+（﹣9+2）x+（﹣9）×2＝（x﹣9）（x+2）． 36．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【答案】（1）1（2）5 【解析】 【分析】（1）将（x﹣3）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a和p的值； （2）（2x+5）（x+n）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出n和k的值． 【详解】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得a＝2，p＝1． 故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n ∴， 解得n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 37．已知整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可； （2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵可以分解为， ∴， ∴， ∴． C组拓展练 38．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 【分析】首先设原式，进而求出即可． 【详解】解：原式 故，，， 解得：，，或，，， ∴． 故选C． 39．对于正整数m，若m＝pq （p≥q＞0，且p，q为整数），当p﹣q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f（m）＝ （如：12 的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f（12）＝．若关于正整数n的代数式，也有同样的最佳分解，f（n2+3n）则下列结果不可能的是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义求得f（n2+3n）＝，再令f（n2+3n）＝分别等于各选项的值，根据方程是否 【详解】解：∵n2+3n＝n（n+3），n2+3n＝1×（n2+3n），其中n（n+3）是n2+3n的最佳分解， ∴f（n2+3n）＝， A、当时，n＝n+3，1＝3，出现矛盾，则A不可能存在； B、当时，2n＝n+3，n＝3，则B可能存在； C、当时，n＝1，则C可能存在； D、当时，n＝6，则D可能存在； 故选：A． 40．若多项式x2+6x+k能因式分解，则正整数k的值等于 　 　． 【答案】9或8或5 【解析】 【分析】由多项式能分解因式，利用十字相乘法和公式法求出k的值即可． 【详解】解：∵多项式x2+6x+k能因式分解， 而x2+6x+k＝（x+3）2，或x2+6x+k＝（x+2）（x+4），或x2+6x+k＝（x+1）（x+5），或x2+6x+k＝（x﹣1）（x+7）， ∴k＝9或8或5（k＝﹣7不合题意，舍去）． 故答案为：9或8或5． 41．若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为 　 　． 【答案】3 【解析】 【分析】由多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，可得当x＝﹣1时，多项式＝0，从而得出一个关于m的方程式，解得即可． 【详解】解：∵多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1， ∴当x＝﹣1时，2x3﹣x2+m＝0， 即2×（﹣1）3﹣（﹣1）2+m＝0， 解得m＝3． 故答案为：3． 42．已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式． 【答案】2x2+x﹣3 【解析】 【分析】此题需先将2x3﹣5x2﹣6x+k解成x﹣3，再利用分组分解法进行因式分解，即可求出另一个因式． 【详解】解：设另一个因式为2x2+mx﹣， ∴（x﹣3）（2x2+mx﹣）＝2x3﹣5x2﹣6x+k， 2x3+mx2﹣x﹣6x2﹣3mx+k＝2x3﹣5x2﹣6x+k， 2x3+（m﹣6）x2﹣（+3m）x+k＝2x3﹣5x2﹣6x+k， ∴， 解得：， ∴另一个因式为：2x2+x﹣3． 43．问题：已知多项式含有因式和，求、的值． 解答：设（其中为整式）， ∴取，得，① ∴取，得，② 由①、②解得，． 根据以上阅读材料解决下列问题： (1)若多项式含有因式，求实数的值； (2)若多项式含有因式，求实数、的值； (3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数． 【答案】(1) (2) (3)4 【解析】 【分析】（1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）设，其中为整式，分别取和可得一个关于的方程组，解方程组即可得； （3）设，其中是一个非负的常数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设，其中为整式， 取，得， 解得． （2）解：设，其中为整式， 取，得①， 取，得②， 由①、②解得． （3）解：由题意，设，其中是一个非负的常数，为整式， 取，得，即， 解得， 故多项式除以一次因式的余数为4． 44．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 【答案】（1）（x﹣1）（x+2）（2）﹣4（3）a＝﹣1，b＝3，c＝3 【解析】 【分析】（1）将（x﹣1）（x+m）展开后求得m的值即可； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a），将（x﹣2）（x+a）展开后求得a的值后即可求得2m﹣n的值； （3）将（x+a）（x2+bx+c）展开后即可求得答案． 【详解】解：（1）设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）＝x2+（m﹣1）x﹣m， 则m＝2， 则x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣1）（x+2）； （2）设x2+mx﹣n＝（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a， 则m＝a﹣2，n＝2a， 那么2m﹣n＝2（a﹣2）﹣2a＝2a﹣4﹣2a＝﹣4； （3）∵（x+a）（x2+bx+c） ＝x3+bx2+cx+ax2+abx+ac ＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac ＝x3+2x2﹣3， ∴a+b＝2，ab+c＝0，ac＝﹣3， 解得：a＝﹣1，b＝3，c＝3． 45．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【解析】 【分析】（1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为：，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， 本题考查了，根据因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 试卷第 1 页，共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目录 题型1 整式乘法与因式分解 1 题型2 判断是否是因式分解 1 题型3 利用因式分解与整式乘法关系求参数 2 A组基础练 3 B组提升练 5 C组拓展练 6 题型1 整式乘法与因式分解 1．若x2+kx+16＝（x﹣4）2，那么（　　） A．k＝﹣8，从左到右是乘法运算 B．k＝8，从左到右是乘法运算 C．k＝﹣8，从左到右是因式分解 D．k＝8，从左到右是因式分解 2．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算 3．对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（　　） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 4．在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 5．（1）（a+b）（a﹣b），这种从左到右的变形是　 　； （2）（a+b）（2a﹣b）＝2ab，这种从左到右的变形是　 ． 题型2 判断是否是因式分解 6．下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 8．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．a（x+y）＝ax+ay D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x 9．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；       ②； ③；       ④； ⑤；             ⑥． 10．观察下列从左到右的变形： （1）； （2）； （3）； （4）； 其中是因式分解的有______（填序号）． 题型3 利用因式分解与整式乘法关系求参数 11．若多项式 可因式分解为，则的值为（　　） A．-4 B．4 C．-14 D．14 12．若x﹣2和x+3是多项式x2+mx+n仅有的两个因式，则mn的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣6 D．6 13．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a﹣b的值是　 　． 14．若关于x的多项式x2﹣ax﹣6含有因式x﹣1，则实数a＝　 　． 15．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． A组基础练 16．对于下列两个自左向右的变形：甲：，乙：其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 17．下面式子从左边到右边的变形为因式分解的是（    ） A． B． C． D． 18．下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．若关于x的二次三项式x2﹣4x+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则b的值为（　　） A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3 20．已知二次三项式分解因式为，则，的值为（    ） A． B． C． D． 21．小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 22．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 23．下列由左到右的变形是因式分解的打“√”，不是的打“×”： （1）（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9． （　 　） （2）x2+2x+2＝（x+1）2+1．（　 　） （3）x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）． （　 　） （4）x2+3xy+2y2＝（x+2y）（x+y）． （　 　） （5）1﹣＝（1+）（1﹣）． （　 　） （6）m2++2＝（m+）2．（　 　） （7）a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． （　 　） 24．下列从左到右的变形，是因式分解的是 　 　． A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1） C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2 25．若关于x的多项式可以分解为，则常数 ． 26．如果二次三项式x2+ax+2可分解为（x﹣1）（x+b），则a+b的值为　 ． 27．当k＝　 　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 28．数学老师布置了一道数学题：化简（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： 解：原式＝x2﹣y2﹣（x2﹣2xy+y2） … 解：原式＝（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）] … （1）对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是　　． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解 B．甲、乙都是整式的乘法 C．甲是因式分解，乙是整式的乘法 D．甲、乙都是因式分解 （2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程． 29．已知关于x的二次三项式2x2+mx+n因式分解的结果是，求m、n的值． 30．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． B组提升练 31．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 32．已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则常数k的值是　 　． 33．分解因式x2+ax+b，甲看错了a值，分解的结果是（x﹣3）（x+2），乙看错了b值，分解的结果是（x﹣2）（x﹣3），那么x2+ax+b分解因式正确的结果应该是　 　． 34．已知多项式能分解为，则 ， ． 35．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab， 即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单． 如：（1）x2+4x+3＝x2+（1+3）x+1×3＝（x+1）（x+3）； （2）x2﹣4x﹣5＝x2+（1﹣5）x+1×（﹣5）＝（x+1）（x﹣5）． 请你仿照上述方法，把多项式分解因式：x2﹣7x﹣18． 36．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 37．已知整式，整式． (1)若，求的值； (2)若可以分解为，求的值． C组拓展练 38．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 39．对于正整数m，若m＝pq （p≥q＞0，且p，q为整数），当p﹣q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f（m）＝ （如：12 的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f（12）＝．若关于正整数n的代数式，也有同样的最佳分解，f（n2+3n）则下列结果不可能的是（　　） A．1 B． C． D． 40．若多项式x2+6x+k能因式分解，则正整数k的值等于 　 　． 41．若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为 　 　． 42．已知三次四项式2x3﹣5x2﹣6x+k分解因式后有一个因式是x﹣3，试求k的值及另一个因式． 43．问题：已知多项式含有因式和，求、的值． 解答：设（其中为整式）， ∴取，得，① ∴取，得，② 由①、②解得，． 根据以上阅读材料解决下列问题： (1)若多项式含有因式，求实数的值； (2)若多项式含有因式，求实数、的值； (3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数． 44．【阅读材料】对于多项式x2+x﹣2，如果我们把x＝1代入x2+x﹣2，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式x2+x﹣2中有因式x﹣1，可设x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+m）（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解：x2+x﹣2＝　 　； （2）若多项式x2+mx﹣n（m，n为常数）分解因式后，有一个因式是（x﹣2），求2m﹣n值； （3）多项式x3+2x2﹣3用“试根法”分解因式得（x+a）（x2+bx+c）（a，b，c为常数），请直接写出a，b，c的值． 45．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 试卷第 1 页，共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$