精品解析：山东省青岛市崂山区2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量监测 七年级数学 （满分：120分，时间：120分钟） 温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状无法确定 3. 用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约毫米，用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 厘米 C. 厘米 D. 毫米 4. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（） A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球 5. 已知直线，将一块直角三角板ABC按如图方式放置，，其中边BC与直线b交于点D，若，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ； ； ； ； 你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 8. 把两块三角板按如图所示那样拼在一起，的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，，那么的值是________． 12. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是_________个． 13. 若是完全平方式，则m的值为________． 14. 如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为_____． 15. 如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数为______ ． 16. 如图，在中，是边上的中线，．若，则________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片．将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）．使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）． 除图甲外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作）． 图① 图② 图③ 20. 小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个均匀的、可以自由转动的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随机转动转盘，若转到3的倍数，小亮去参加活动；转到偶数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘． （1）转盘转到3的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 21. 如图，在四边形中，平分，． （1）与平行吗？说明你的理由； （2）若，，求的度数． 22. 如图，小明想把一长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形． （）若设小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积． （）当时，求这个盒子的体积． 23. 证明：三角形内角和180°（画图，写已知、求证，并完成证明） 已知： 求证： 证明： 24. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如；就可以用如图图形的面积表示， （1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：． （2）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含项的系数为5，并画出与之对应的图形． （3）现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片________张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为________． 25. 已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量监测 七年级数学 （满分：120分，时间：120分钟） 温馨提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，故不能计算，不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 2. 在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用∠A，∠B，∠C的关系和三角形内角和定理，求出具体的度数，即可求解． 【详解】解：∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C+2∠C+∠C=180°， ∴∠C=36°， ∴∠A=∠B=2∠C=72°， ∴△ABC为锐角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用∠A，∠B，∠C的关系求出具体度数． 3. 用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约毫米，用科学记数法表示为（ ） A. 毫米 B. 厘米 C. 厘米 D. 毫米 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：毫米毫米． 故选：D． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 4. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（） A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可． 【详解】A、是必然事件，故本选项符合题意； B、是随机事件，故本选项不符合题意； C、是随机事件，故本选项不符合题意； D、是随机事件，故本选项不符合题意， 故选∶A． 【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 已知直线，将一块直角三角板ABC按如图方式放置，，其中边BC与直线b交于点D，若，则∠2的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过C作,得到,推出，求出，得到，即可得到的度数． 【详解】解：过C作, , , ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作,得到,由平行线的性质即可解决问题． 6. 如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】根据图示， ∵黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是：． 故选D． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=黑色区域的面积与总面积之比． 7. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ； ； ； ； 你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为，然后利用多项式乘多项式对四种表示方法进行判断． 【详解】解：最大长方形面积为 ． 故其中正确的有． 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．掌握多项式与多项式相乘的法则是解题的关键． 8. 把两块三角板按如图所示那样拼在一起，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，理由三角形的外角求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角板中的角度计算，解题的关键是熟练掌握三角形外角性质，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 9. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：因为，所以，故A不符合题意； 因为，所以，故B不符合题意； 因为，所以，故C不符合题意； 因为，所以，故D符合题意． 故选：D． 10. 如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，，那么的值是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键．利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 12. 在一个不透明袋子里装有红球、黄球共16个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数大约是_________个． 【答案】12 【解析】 【分析】根据“摸出红球的频率稳定在左右”得出红球个数，即可求出黄球个数． 【详解】解：∵一共有16个球，摸出红球的频率稳定在左右， ∴红球个数约为（个）， ∴黄球的个数大约（个）， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，解题的关键是掌握经过大量重复试验后，事件发生的频率稳定在一个常数左右，这个常数等于该事件发生的概率． 13. 若是完全平方式，则m的值为________． 【答案】9或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值． 本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故，解得m的值即可． 【详解】解：由于， ∴， 解得或． 故答案为：9或． 14. 如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为_____． 【答案】(6a＋15)(cm2) 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算. 【详解】矩形的面积为： . 故答案为. 【点睛】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式. 15. 如图，长方形纸片沿折叠，A，D两点分别与，对应，若，则的度数为______ ． 【答案】##36度 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，再由折叠的性质得出，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得出， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 16. 如图，在中，是边上的中线，．若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据是边上的中线，，得出，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是根据三角形中线，得出． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）4； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算除法，即可解答； （2）先利用完全平方公式计算括号里，再算括号外，即可解答； （3）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答； （4）利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】先用平方差，完全平方公式展开，再合并同类项，化简后将，的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查整式的乘法与加减混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 19. 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片．将它折两次（第一次折后也可以打开铺平再折第二次）．使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作），如图甲（虚线表示折痕）． 除图甲外，请你再给出三个不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作．如图乙和图甲是相同的操作）． 图① 图② 图③ 【答案】距离如下： 【解析】 【分析】主要根据全等图形的思想去分割长方形．分成4个全等的图形即可． 【详解】略 【点睛】本题考查学生的动手操作能力和空间想象能力．本题首先引发了学生提出方案的积极性，又关注了学生提出问题的深度和广度．学生会从不同角度展开想象的翅膀，按照自己的设计完成后的赏析中还有可能进行反思，从反思中获得解决问题的经验． 20. 小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个均匀的、可以自由转动的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随机转动转盘，若转到3的倍数，小亮去参加活动；转到偶数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘． （1）转盘转到3的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：游戏不公平， ∴小亮去参加活动的概率为， 小芳去参加活动的概率为：， ∵， ∴游戏不公平． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【小问1详解】 解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中3的倍数有3个， ∴转盘转到3的倍数的概率为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 21. 如图，在四边形中，平分，． （1）与平行吗？说明你的理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）， 理由如下：     ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先由角平分线的定义得，再根据已知条件可得出，据此可得出结论； （2）先根据得，结合角平分线的定义得，再利用平行线的性质得，进而由可得出结果． 【小问1详解】 （1） 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质． 22. 如图，小明想把一长为，宽为的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形． （）若设小正方形的边长为，求图中阴影部分的面积． （）当时，求这个盒子的体积． 【答案】(1);(2)7500cm3. 【解析】 【详解】试题分析:(1)根据图形可求出阴影部分的长,阴影部分的宽为:,再根据长方形面积公式计算可得,(2)根据(1)代入计算求解. 试题解析:（）解:阴影部分的面积:, （）解:当时,, 这个盒子的体积为:. 23. 证明：三角形内角和180°（画图，写已知、求证，并完成证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：为平面内一个任意三角形． 求证：． 证明：如图，过点A作， ∵， ∴，，（两直线平行，内错角相等） ∵D，A，E三点共线， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用平行线的性质，通过等量代换将内角和问题转换为平角问题，即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，方法不唯一． 24. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如；就可以用如图图形的面积表示， （1）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：． （2）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含项的系数为5，并画出与之对应的图形． （3）现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片________张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为________． 【答案】（1）下图即为符合题意的图形． （2） ，的代数恒等式为， 画出与之对应的几何图形如下： （3）； 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握整体面积与部分面积之间的关系、以及数形结合思想是解题关键． （1）利用多项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用多项式乘多项式的法则解答即可； （3）利用完全平方式的特征解答即可． 【小问1详解】 解：画一个长为，宽为的长方形，将其分割为一个边长为a的正方形，两个长为a宽为b的长方形和一个边长为b的正方形，即可表示． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴需要3号卡片张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为． 故答案为：；． 25. 已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）9． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $