精品解析：山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题 2025.5.24 一、单选题： 1. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D. ，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项可以举反例，B选项考查面面平行判定定理，C选项漏了条件，D选项即为线面平行性质定理. 【详解】对于选项A，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交； 对于选项B，根据面面平行判定定理，直线m，n应为相交直线； 对于选项C，直线m可能在平面内； 对于选项D，恰好为线面平行的性质定理. 故选：D. 2. 如图，在正方体中，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断ABD选项，利用线面垂直的性质定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，而，则与所成的角为， 故与不垂直，A错； 对于B选项，连接，因为平面，平面，， 所以，为锐角，因为，故与所成角不是直角，B错； 对于C选项，连接、， 因为且，故四边形为平行四边形， 故、所成角为或其补角， 设正方体的棱长为，则， 即是等边三角形，故，C错； 对于D选项，四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，，D对. 故选：D. 3. 在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找到异面直线与所成角为（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取的中点， 连接，因为， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， 设，由， 所以，， ， ， 所以由余弦定理可得：. 则异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A. 4. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为　(　　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】因为PB⊥α，AC⊂α，所以PB⊥AC， 又AC⊥PC，PB∩PC=P， 所以AC⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC， 所以AC⊥BC.故△ABC为直角三角形. 5. 若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法即得. 【详解】取AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设三棱柱的棱长为2，则，， 所以,，， 设为平面的法向量，由，得， 令，得， 设直线AD与平面所成的角为，则 ， 所以直线AD与平面所成角的正弦值为． 故选：D. 6. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为体对角线与对角面垂直，只需找到与对角面平行的答案即可. 【详解】 设下底面端点，及上底面对应端点，如图所示， 连接,和，由三垂线定理知，且， 又因为,面，面， 所以面. 对于C，因为，,，所以面//面， 所以平面DEF. A、B、D选项中面与面均不平行. 故选：C. 7. 如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理可得，即可得，即可得解. 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 8. 在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接.设正方体的棱长为，则可得与平面所成的角为，得，所以只要最大即可得答案. 【详解】取的中点，连接.设正方体的棱长为， 则在中，为线段的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以. 又因为平面，所以平面， 则与平面所成的角为，则. 由，得， 所以要使与平面所成角的正弦值最小，则最小， 可知当与点重合时，最大，此时， 所以. 故选：A 9. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（ ） A. B. 平面平面OMN C. D. 四棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据中位线可判断A，根据线线平行求证线面平行，即可求解B，根据三角形的边长关系，即可求解C，根据锥体的体积公式即可求解D. 【详解】对于A，由于分别为侧棱的中点,所以,又，故，A正确， 对于B, 连接,由于分别为侧棱的中点,所以，平面,平面,所以平面,同理，平面,平面,故平面,，平面，所以平面平面，故B正确． 对于C，由于,所以，故，又，故，C正确， 对于D，由于，故D错； 故选：ABC 10. 如图，在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点在平面的投影是的内心 D. 设与平面所成角分别为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理即可证明选项A，利用等体积法思想证明选项B，利用线面垂直的判定和性质判断选项C错误，根据垂直关系找到线面角并表示出正弦值即可求解选项D. 【详解】联系翻折前后的位置关系可得， 翻折后,平面, 所以平面,又因为平面,所以，故A正确； 由上述过程可知平面，且, 所以,故B正确； 因为两两互相垂直， ,平面, 所以平面,又因为平面,所以， 设为点在平面上的投影， 连接,则平面，平面， 所以,平面， 所以平面，平面,所以, 同理可证,即点为三角形高线的交点， 所以点在平面的投影是的垂心，故C错误， 由上述过程可知， 与平面所成角分别为， , 由上述过程可知，所以， 所以,故D正确； 故选:ABD. 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断；由点到平面的距离的求法即可判断；由异面直线所成角的定义及求法即可判断；由平面角的定义及余弦定理即可判断． 【详解】解：如图，取的中点，连接，易证平面， 所以是直线与平面所成的角为，故正确； 点到平面的距离为的长度为，故正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误； 连接，由，所以，又， 所以为二面角的平面角， 易求得，又，， 由余弦定理可得，故错误． 故选：． 三、填空题： 12. 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，FN．若，且，则线段MN的长等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用线线垂直可证得平面，进而可证，利用勾股定理可求得. 【详解】连接，因为，所以， 又四边形是正方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，， 在中，可得， 在中，可得，所以. 故答案为：. 13. 如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是_____________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据空间中线与线、线与面垂直的判定定理和性质定理，分别证明各结论正误. 【详解】 矩形，平面，， 在矩形矩形中，, 所以,且面，面, 所以面,因为面，所以，所以①正确. 同理可证平面，则，所以②正确. 由题意可知， 当时，在中有， 即，化简得,所以③错误. 矩形，平面，，所以④正确. 故答案为：①②④． 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 四、解答题： 15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点，连接、，则（或其补角）为异面直线与所成角，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接、，则， 则（或其补角）为异面直线与所成角， 在直三棱柱中，， 平面，平面，所以，， 在中，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【点睛】 16. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 作的中点，连接， 由得分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 （2） 因为，所以， 因为底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）作的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （3）连接交于点，连接，则可得平面，所以与平面所成角为，然后在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接交于点，连接， 因为点分别为的中点， 所以， 所以平面， 所以为在平面中的射影， 所以与平面所成角为， 由已知得 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为. 17. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明:取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，所以，且． 由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形． 所以．又因为平面，且平面， 所以平面． （2）证明:在正方形中，，又，，平面， ∴平面，平面，∴平面平面． （3）． 【解析】 【分析】（1）证得，根据线面平行的判定定理即可证出结论； （2）证得平面，根据面面垂直的判定定理即可证出结论； （3）证得平面，即点到平面的距离等于线段的长度，在中，解三角形即可求出结果. 【详解】 （1）略； （2）略； （3）由（2）知平面平面，且平面平面，又因为，所以平面，所以平面平面，且平面平面，过点作的垂线交于点，则平面， 所以点到平面的距离等于线段的长度， 在中，，所以点到平面的距离等于． 18. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，是的等分点，靠近点的位置 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解； （2）依题意连接、，可知为异面直线与所成的角，证明出，计算出、的长，即可求得结果； （3）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论. 【小问1详解】 解：取的中点，连接、， 由正四棱锥的性质可知平面，平面，则， 依条件可知，则为所求二面角的平面角. 面，则为侧棱与底面所成的角，则， 设，则，所以，， 则，因为，故. 【小问2详解】 解：连接、， 所以，为异面直线与所成的角. 平面，平面，则， ，，平面， 又平面，. ，所以，. 【小问3详解】 解：延长交于，则为的中点，取的中点，连接、. 因为，为的中点，则，同理可得， ，故平面， 平面，平面平面， 又，， 所以，为正三角形，为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 取的中点，连接， 、分别为、的中点，则且， 因为且，、分别为、的中点，则且， 为的中点，则且，故且， 所以，四边形为平行四边形，则，故平面. 因此，是的等分点，靠近点的位置. 19. 如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥. （1）若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值； （2）若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据二面角定义，作出二面角的平面角并由边长求出其余弦值； （2）由直二面角性质，结合余弦定理和线面垂直的性质可得的长度表达式，结合三角函数值域可得当取到最小值时，再利用等体积法可得点到平面的距离. 【小问1详解】 过点作的垂线交于点，交于点，如下图所示： 翻折后仍有， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以为二面角所成的平面角. 由在面上的射影恰好在上得平面， 所以， 由可知，因为， 所以； 又易知， 所以，可得，所以； 所以， 即二面角平面角的余弦值为 【小问2详解】 过点作的垂线交于点，如下图所示： 设， 由二面角为直二面角可知平面平面， 平面平面，， 又平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 则有， 可得， 又， 所以，； 当时，取到最小值； . 所以，可得，所以 （注：，，由角平分线定理得也可） 则有, ，解得. 即点到平面的距离为. 【点睛】关键点点睛：本题在求解二面角问题大小时，关键是根据题意作出二面角的平面角，并结合余弦定理和三角形相似等求出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题 2025.5.24 一、单选题： 1. 已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. ，则 C. 若，则 D. ，则 2. 如图，在正方体中，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为　(　　) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 5. 若正三棱柱的所有棱长都相等，D是的中点，则直线AD与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则（ ） A. B. 平面平面OMN C. D. 四棱锥的体积为 10. 如图，在边长为2的正方形中，点分别是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 点在平面的投影是的内心 D. 设与平面所成角分别为，则 11. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 三、填空题： 12. 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，FN．若，且，则线段MN的长等于_____________． 13. 如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是_____________（填序号）． 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 四、解答题： 15. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 16. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求直线与平面所成角的大小. 17. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求点到平面的距离． 18. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 19. 如图，在中，，点满足，沿将折起形成三棱锥. （1）若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值； （2）若二面角为直二面角，当取到最小值时，求的值及点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $