精品解析：四川省成都石室中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

成都石室中学2024-2025学年度下期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求复数，再求复数的模即可. 【详解】由题意有， 所以. 故选：D. 2. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案. 【详解】对于A，当l与相交与点时，在平面内，过点的直线与l都是共面的，故A错误； 对于B，如图1，可能是，故B错误； 对于C，设m、n共面于平面，由，可得, 由，则根据线面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，则m平行于经过n的任何平面或m在经过n的平面内，故D错误． 故选：C. 3. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【详解】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 4. “，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求满足点在第二象限的范围，在根据充分不必要条件即可求解. 【详解】由题意有或， 所以“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是. 故选：B. 5. 学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出各个角的度数，在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米. 故选：A. 6. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】记，根据数量积的性质求得，则，即可求解最大值. 【详解】记，因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为19. 故选：C 7. 中，，点在线段上，且，则面积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式先求，进而得，由得，又，最后利用均值不等式和三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B. 8. 如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（ ） A. 五边形， B. 六边形， C. 五边形， D. 六边形， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出截面可判断截面形状，得出截面与侧面的棱相交，并计算出其位置即可求得交线长. 【详解】设中点为，连接，是中点，底面， 连接，并延长交的延长线于，又是中点，所以≌， 则，过点作，且交的延长线于，与的延长线交于R， ∽，则，所以，， 连接交于G，所以∽，即， 其中，故，又，则， ， 所以截面与侧面的交线为， 延长交的延长线于，连接交于H，并延长交的延长线于K， 连接交于I，所以截面为六边形， 故选：B. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的垂直、平行、模长的坐标运算可求，确定ABC，再利用在上的投影向量为代入计算可求D. 【详解】对于A，若， 则， 所以，解得，故A正确； 对于B，若，则，所以， 解得，故B错误； 对于C， ，当，即， 解得，故C错误； 对于D，当，则，则在上的投影向量为 ， 故D正确； 故选：AD. 10. 已知复数，则下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 是的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过特例即可判断ABD；对于C，结合复数的加法和减法运算，根据模的运算公式求解. 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，设，，由，，可得， 则，由可得， 所以，又， 所以，正确； 对于D，令，满足，此时不成立，充分性不成立，错误； 故选：ABD 11. 已知函数，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 方程在上有三个解 D. 在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意的一个周期为，又可证明函数关于对称，然后分析函数在的图像及性质即可判断. 【详解】由题知的一个周期为， 又 ，所以函数关于对称， 所以我们只要分析时的图像即可， 当时，，所以 ， 其中，又，所以， 且，不妨取，又， 所以，，故存在唯一，使， 即在单调递增，在单调递减， 故时，， 又，， 所以，故AB正确； 又函数关于对称，所以函数在一个周期内的简要图像如下， 所以在上有三个解，故C正确； 对于D，由图可知每个单调区间长度小于，而区间长度为， 所以函数在上不可能单调，故D错误； 故选：ABC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补成正方体，转化为求正方体外接球的问题，利用正方体的对角线为外接球的直径，即可求解. 【详解】由三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，以三棱锥的侧棱为边补成正方体， 则正方体的棱长为6，且正方体的外接球即为所求，设半径为， 所以， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 13. 已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合题意可设，，，表示出，进而求解出最大值. 【详解】由，则， 不妨设，，， 则， 则 ，其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 14. 在中，若，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将转化为弦，利用正、余弦定理化简可得，再次利用余弦定理，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】，得， 所以， 所以，即， 由正弦定理和余弦定理，得， 整理得， 由余弦定理，得 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，判断四边形为平行四边形，进而可求证； （2）由点到平面的距离等于点到平面的距离，得到，进而可求解. 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵为的中点，∴且， ∵为的中点，∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，∴. 又∵平面平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵，∴， ∴. 在直三棱柱，易知平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离， ∴， 又∵平面， ∴. 16. 设△ABC是边长为3正三角形，点、三等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 【答案】（1） （2）当取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）设，根据向量的运算法则，求得和，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解； （2）建立平面直角坐标系，设，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：如图所示，设，可得且 因为点、三等分线段，可得， ， 则. 【小问2详解】 解：以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示， 因为是边长为3的等边三角形，可得，， 又因为在线段上，设，其中， 则， 所以， 当且仅当时，取得最小值，最小值为. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）结合是锐角三角形可得，进而根据正弦定理、两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系化简可得，进而根据正切函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得， 则， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，且由（1）知， 所以，即，解得， 由正弦定理得： ， 因为，所以， 又，则， 所以，则， 所以的范围为. 18. 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. （1）求函数“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 【答案】（1）1； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及和角的余弦公式化简，再求出函数的“相关向量”，进而求出模. （2）①利用定义求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值；②利用数量积的定义及运算律列式，由（1）求出范围，换元借助二次函数求出范围. 【小问1详解】 函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1. 【小问2详解】 ①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设的面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在，， 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解； （2）①先找到，设，，在和中，由正弦定理得，，从而由得解. ②假设存在实常数，k合题，由和差化积，积化和差化简可得： ，由，是定值，整理化简得到： ，故而进而得解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 因为，， 所以或或， 即或（舍去）或（舍去），又，所以； 【小问2详解】 ①因为，所以，又，，所以，. 如图，设，， 则在中，由正弦定理，得， 所以 在中，由正弦定理，得，所以， ， 因为，所以， 故当，即时，； ②假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，，都有成立， 则存在实常数，k，对于所有满足题意的，， 都有， 由题意，定值，所以，是定值， 对于所有满足题意的，成立， 故有, 因为，从而，即， 因为，为的内角，所以，从而，. 【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都石室中学2024-2025学年度下期高2027届期中考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知不重合的直线m、n、l和平面，下列命题中真命题是（ ） A. 如果l不平行于，则内的所有直线均与l异面 B. 如果，，m、n异面直线，那么n与相交 C. 如果，，m、n共面，那么 D. 如果，那么m平行于经过n的任何平面 3. 如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 4. “，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（ ）. A. B. C D. 5. 学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最大值为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 7. 中，，点在线段上，且，则面积最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为6正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，点为棱上靠近点的三等分点，则经过三点的平面截该正方体所得截面的形状和与侧面的交线长度分别为（ ） A. 五边形， B. 六边形， C. 五边形， D. 六边形， 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若取得最大值，则 D. 若，则在上的投影向量为 10. 已知复数，则下列说法中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ，则 D. 是的充分不必要条件 11. 已知函数，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 方程在上有三个解 D. 在上单调递减 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为，其外接球的表面积为__________. 13. 已知向量的模长分别为，且，则的最大值为__________. 14. 在中，若，则的最小值为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积. 16. 设△ABC是边长为3的正三角形，点、三等分线段（如图所示）. （1）求的值； （2）在线段的何处时，取得最小值，并求出此最小值. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 18. 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求取值范围. 19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记. ①当时，设面积为S，求S的最小值： ②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$