精品解析：江西省上饶市广信区2024-2025学年下学期期中检测八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中检测 八年级·数学试题卷 （考试时间：110分钟 满分：120分 命题人：黄先波 审核人：郑辉祥） 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对角线互相垂直平分的四边形是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 5. 若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 6. 如图，在□ABCD中，AC，BD为对角线，BC=10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 6 B. 15 C. 30 D. 60 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 有一组邻边相等的矩形是________． 8. 化简：__________． 9. 在平行四边形中，若，则______． 10. 若，则b满足的条件是（ ） 11. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 12. 如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为_____． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，中，为上的两点，，求证：． 15. 已知：，． （1）直接写出：__________，__________； （2）求的值． 16. 如图，点是正方形的边上一点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹） （1）在图1中，在边上找一点，使； （2）在图2中，在边上找一点，使． 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2+． 19. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）若点为线段上一点，连接，且，求的长． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F. 求证：四边形CDEF是菱形． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长． 22. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 六、解答题（共1小题，12分） 23. 【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接． （1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有； ②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______． （2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图4，矩形外有一点，且． ①．求证：； ②．若，则______． 【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中检测 八年级·数学试题卷 （考试时间：110分钟 满分：120分 命题人：黄先波 审核人：郑辉祥） 一、选择题（每道题只有一个正确的选项，本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 等腰三角形或等边三角形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平行四边形，不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； C. 菱形是轴对称图形，故该选项正确，符合题意； D. 等腰梯形是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形是解题的关键，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减以及二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4. 对角线互相垂直平分的四边形是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定直接求解即可． 【详解】解：根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”可得该空为“菱形”， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的判定，熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定是解决问题的关键． 5. 若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB＝， ∴此菱形的周长为：5×4＝20． 故选A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 6. 如图，在□ABCD中，AC，BD为对角线，BC=10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 6 B. 15 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB=OD，∠OBE =∠ODH， ∵∠EOB =∠HOD， ∴△OBE≌△ODH(ASA)， 同理△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB， ∴S阴影=S△BCD=S平行四边形ABCD=×6×10=30． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 有一组邻边相等的矩形是________． 【答案】正方形 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法，即可求解． 【详解】解：根据正方形的判定方法可得，有一组邻边相等的矩形是正方形 故答案为正方形． 【点睛】此题考查了正方形的判定方法，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 8. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据根式的性质进行化简即可．熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 在平行四边形中，若，则______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】根据平行四边形角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，掌握此性质是关键． 10. 若，则b满足的条件是（ ） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质 ，即可得结果． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 11. 如图,为的中位线，点F在上，且，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）和直角三角形的性质（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），解题的关键是先利用中位线定理求出的长度，再结合直角三角形性质求出的长度，进而计算的长度． 由是的中位线且，根据中位线定理得；因D是中点（中位线连接、中点），为直角三角形，根据直角三角形斜边中线性质得；最后用减去即可求出的长． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴（三角形中位线定理）， ∵D是边上的中点是中位线，连接、中点），， ∴是直角三角形，为斜边的中线， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又∵点F在上， ∴． 故答案为：1． 12. 如图，▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为_____． 【答案】2或2或． 【解析】 【分析】分两种情况：（1）①当∠BPC＝90°时，作AM⊥BC于M，求出BM＝AB＝1，AM＝BM＝，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，得出点P与A重合即可；②当∠BPC＝90°，点P在边AD上，CP＝CD＝AB＝2时，由勾股定理求出BP即可； （2）当∠BCP＝90°时，CP＝AM＝，由勾股定理求出BP即可． 【详解】解：分两种情况： （1）①当∠BPC＝90°时， 作AM⊥BC于M，如图1所示， ∵∠B＝60°， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB＝1， ∴AM＝BM＝，CM＝BC﹣BM＝4﹣1＝3， ∴AC＝＝2， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴当点P与A重合时，∠BPC＝∠BAC＝90°， ∴BP＝BA＝2； ②当∠BPC＝90°， 点P在边AD上，CP＝CD＝AB＝2时， BP＝＝＝2； （2）当∠BCP＝90°时，如图3所示： 则CP＝AM＝， ∴BP＝＝； 综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2或． 故答案为：2或2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的动点问题，掌握平行四边形的性质、勾股定理是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）将，化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）按照分配律拆成两项相减，然后按照二次根式的除法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，中，为上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而得，最后利用可证明，即可求证． 【详解】略 15. 已知：，． （1）直接写出：__________，__________； （2）求的值． 【答案】（1）4，1 （2）17 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把a，b的值，代入进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； ； 故答案为：4，1； 【小问2详解】 ， 由（1）可知， ∴原式． 16. 如图，点是正方形的边上一点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹） （1）在图1中，在边上找一点，使； （2）在图2中，在边上找一点，使． 【答案】（1） 如图1中，点即为所求； （2） 如图2中，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）如图1中，连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求； （2）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，再求出，则，即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=2+． 【答案】， 【解析】 【详解】分析：先根据分式的运算法则化简，再把x的值代入计算即可． 本题解析：原式= ∴当x=2+时，原式=. 19. 如图，在中，，，． （1）求的长； （2）若点为线段上一点，连接，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． （1）根据勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据，即可求解． 【小问1详解】 解： 在中，，， ， ； 【小问2详解】 设，则． 在中， ， ， 解得， ． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F. 求证：四边形CDEF是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据AE＝AC，得出△ACE为等腰三角形，根据AD是∠BAC的平分线得出AO⊥CE，且OC＝OE. 由EF∥CD得出∠OEF＝∠OCD，再根据ASA证明△DOC≌△FOE， 得出OD＝OF，直接由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形． 【详解】证明：如图，连接CE，交AD于点O. ∵AC＝AE， ∴△ACE为等腰三角形． ∵AO平分∠CAE， ∴AO⊥CE，且OC＝OE. ∵EF∥CD， ∴∠OEF＝∠OCD. 又∵∠DOC＝∠FOE，　 ∴△DOC≌△FOE(ASA)． ∴OD＝OF. 即CE与DF互相垂直且平分， ∴四边形CDEF是菱形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行线的性质，关键是掌握菱形的判定定理. 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在中，点是上一点（不与、重合），连接，点为线段的中点，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）过点作，垂足为，交于点，，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质推得、，再根据三角形内角和定理推得，最后根据“含一个角的平行四边形是矩形”即可证明； （2）连接，作，通过矩形性质可得，由垂直平分线性质得，利用三角形面积公式和勾股定理解直角三角形即可求得． 【小问1详解】 解： 点是线段的中点， ， ， ， ，， 中，， 即， ， 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 解：连接，作于点， 矩形中，，，， ，四边形是矩形， ， ，且， ，且， 即， ， 又， ， 中，， ， 中，， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是等腰对等角、三角形内角和定理、矩形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 22. 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析;(2) 是定值 【解析】 【详解】分析：①作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可； ②同①的方法证出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可． 详解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵正方形ABCD， ∴∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形． ∵四边形DEFG是矩形，∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF，又∠DNE=∠FME=90°．在△DEN和△FEM中，∵∠DNE=∠FME，EN=EM，∠DEN=∠FEM，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形， ②CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°． ∵四边形ABCD是正方形，∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE=∠CDG．在△ADE和△CDG中，∵AD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG， ∴AC=AE+CE=AB=×2=4，∴CE+CG=4 是定值． 点睛：本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 六、解答题（共1小题，12分） 23. 【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接． （1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有； ②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______． （2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？ 【直接运用】如图4，矩形外有一点，且． ①．求证：； ②．若，则______． 【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值． 【答案】【探究发现】（1）②7，；（2）见解析；【直接运用】①．见解析；②．；【拓展应用】16 【解析】 【分析】（1）②直接利用矩形的性质与勾股定理计算即可得到答案； （2）如图3中，过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形，，再利用勾股定理可得结论； 【直接运用】①当点在矩形外部时，如图4中，由（2）同法可证：；如图5中，连接．证明，结合，从而可得结论；②直接利用①的结论计算即可； 【拓展应用】如图6中，将沿翻折得到，连接，证明四边形是矩形，再利用前面的结论可得答案． 【详解】解：（1）②如图2中， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． （2）如图3中，过点作的垂线，交于点，交于点， 则四边形和为矩形， ， 由勾股定理得：则，， ， ， ． 直接运用： ①证明：当点在矩形外部时，如图4中，由（2）同法可证： ； 如图5中，连接． ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． ②， ， ∵， ∴， 拓展应用： 如图6中，将沿翻折得到，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质，二次根式的乘法运算等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会构建模型解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $