精品解析：贵州省贵阳市第一中学等校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答題卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式后由补集与交集的概念运算 【详解】因为，所以， 又集合则. 故选：C 2. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角公式求得，从而得解. 【详解】根据题意，， 又，则， 所以， 则， 又两向量夹角范围为， 所以向量与向量的夹角是. 故选：C 3. 在数列中，，且若，则的值可能为（ ） A. 8 B. 2 C. 2或8 D. 1或8 【答案】D 【解析】 【分析】利用通项公式对分类讨论可求得的值，同理分类讨论，分类讨论可求得的值. 【详解】当是偶数时，则，又，解得， 如果是奇数，则，解得，又，所以不合题意. 当是偶数时，得，解得， 当是奇数时，可得，解得，必须是正整数，所以不合题意. 当是偶数，得，解得， 当是奇数，得，解得， 综上所述：当，可以是8或1. 故选：D. 4. 贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在与中用正弦定理，化简可得解. 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：A. 5. 过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形对称性，根据条件推出，借助于，易求得离心率. 【详解】 如图，设双曲线的渐近线分别与直线交于点， 依题意，直线垂直平分，则， 由渐近线的对称性知，，故， 在中，因，则， 故，解得. 故选：B. 6. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的定义可得，结合正态分布的对称性可解. 【详解】由题知，因为函数有极值点， 所以有两个不同的根，即，即， 又随机变量服从正态分布，， 所以， 故选：D. 7. 已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点均在表面积为的球O的球面上，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意球O的半径，从而得正三棱锥侧棱长，再求其外接球半径即可. 【详解】根据题意，设球O的半径为，则，所以， 则， 在正三棱锥中，取中点，连接，则的三等分点为外心， 连接，则三棱锥外接球的球心在上，设为，外接球半径为， 则，由于，， 所以，得， 所以三棱锥外接球的体积为. 故选：B 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先应用赋值法计算，再结合复合函数求导得出 ，最后赋值计算即可. 【详解】因为，且，令，得. 对两边同时求导，得，即. 令，得. 令，得，故. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. DeepSeek的火爆源于其突破性AI技术的高效应用，充分展现了人工智能在驱动创新解决方案和满足广泛市场需求中的核心作用．某高中的数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法错误的是（ ） A. 甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B. 乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次可能为17次 C. 丙小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异 D. 丁小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 【答案】AC 【解析】 【分析】由相关系数，回归方程，决定系数，卡方的检验逐项判断即可. 【详解】对于A，由的绝对值越接近1，相关性越强可得A错误，故A错误； 对于B，回归方程为给出的是预测值，实际值会有随机误差，所以年龄为30岁的群体每周使用频次不一定为17次，故B正确； 对于C，，可以认为不同性别的Deep Seek使用频次有差异，故C错误， 对于D，表示模型对因变量的解释比例，大说明经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多，故D正确； 故选：AC. 10. 纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ） A. 为的一条对称轴 B. 的最大值为 C. 关于点中心对称 D. 的一个正周期为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据即可判断A；利用导数工具研究函数单调性即可的最值判断B；根据可判断选项C；根据即可判断选项D. 【详解】对于A，由题， 所以，故A错误； 对于B，， 所以当即时， 当即时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且即是的一个周期， 则在区间上的值域为函数在R上的值域， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 所以 ， 所以，所以关于点中心对称，故C正确； 对于D， ， 所以的一个正周期为，故D正确. 故选：BCD. 11. 若整数，每个正整数a可唯一表示为，其中，且，则称该表达式为a的p进制表示，记为：．例如四位数1024的十进制数可表示为；四位二进制的数，所以等于十进制的数13．把n位p进制中的最大数记为，其中为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，通过定义直接计算即可；对于CD，通过题意得到，，再构造函数，求导通过其单调性判断. 【详解】对于A：即是：，A正确； ， ，故B错误； ， ， 函数，求导得，则在上单调递减， 当时，，则，即， 因此，即，则； 所以C错误. D正确 故选：AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则复数的虚部为_________．． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故答案为：. 13. 的展开式中项的系数为_________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用组合知识计算求解即可. 【详解】的展开式中的项为， 所以的展开式中项的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数在点处的切线与圆相切于点，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先设公切线，再根据直线和圆相切得出，进而得. 【详解】设公切线为，得，且， 所以公切线， 又因为与圆相切，切点为，圆心切点连线斜率为， 所以公切线， 故，联立得， 因为，所以由式子得， 故答案为：2 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，． （1）求证：数列是等差数列； （2）设，试求数列的最小项． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在时，将代入数列递推式，化简得，利用等差数列的定义即可证明； （2）利用（1）可得，求出，利用作差比较法求得，根据差值函数在正整数集上的增减性即可求得最小项. 【小问1详解】 当时，，将其代入， 整理得：，因，则，故， 其中，故，故数列为首项是1，公差为2的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，即得. 则， 当时，，即有； 当时，，即有； 可得数列的最小项为. 16. 如图，在正三棱柱中，，直线l为平面ABC与平面的交线，点P为交线l上的一动点． （1）证明：； （2）求点P到的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的性质即可证明线线平行； （2）利用可得点P到的距离等于点到的距离，由图求出的各边长，即可求得； （3）依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 在正三棱柱中，因平面平面， 平面平面，平面平面， 故. 【小问2详解】 由（1）得到，点P为交线l上的一动点， 故点P到的距离等于点到的距离. 因，则， 即点P到的距离为. 【小问3详解】 分别以所在直线为轴，过点在平面内与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 则， 因， 设平面的法向量为， 则，可取 又， 设平面的法向量为， 则，可取. 因， 则平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数零点的个数． 【答案】（1） （2）当时，函数有2个零点. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）对求导，求出的单调性，可得，再由零点存在性定理可得在和都有一个零点，即可得出答案. 【小问1详解】 当时，，则， 则，则 ∴曲线在点处的切线方程为： 即. 【小问2详解】 ， 令，解得：， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值也是最小值， ， 令，， ，所以在上单调递增，则， 即， 又因为， 所以零点存在性定理可知在有且仅有一个零点， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，， 所以， 令，解得：， 因为，所以，所以， 所以当时，， 所以零点存在性定理可知在有且仅有一个零点， 综上：当时，函数有2个零点. 18. 已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P （1）求抛物线E的标准方程； （2）证明：点P在定直线上； （3）若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）由，得，， 设，，， 则和的斜率分别为， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，方程为：， 联立与的方程，解得：，， 因为点T在抛物线内部，可知直线的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线的方程为， 与抛物线方程联立得：， 故，， 所以，，可知， 所以点P在定直线上. （3）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点到x轴的距离为，求出，即可得出答案. （2）根据题意，由导数的几何意义求出直线和方程，联立直线方程可得点的坐标，分析可得答案； （3）根据题意，由三角形面积公式可得的值，由此计算可得答案. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点坐标为，且焦点到x轴的距离为， 所以，所以， 所以抛物线E的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在，的方程中，令，得，， 由（2）知，，，， 所以面积， 故， 化简可得， 由于，则， 从而，故或， 所以点P的坐标为或. 【点睛】 19. 某学校期末体育课对学生进行引体向上测试，本次测试对象是A，B，C三个班级的N名学生，其中A班有n人，．体育老师带领所有参与测试同学到测试场地集中，并随机给每人选定一个测试序号k（），按测试序号k由小到大依次进行测试，每人测试时长3分钟，测试结束后自行离场． （1）求测试序号为2的学生来自A班的概率； （2）若，且B，C两个班级参加测试的学生人数比为，求A班参与测试的学生先于其他两个班学生结束测试（即：A班所有参与测试的学生结束测试后，B，C两个班都还有学生未结束测试）的概率； （3）记随机变量X表示最后一名A班学生结束测试所用的时长（从第1名学生开始测试到最后一名A班学生结束测试所用的时间），是X的数学期望，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为． 所以随机变量的期望 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）假设事件，写出事件包含的样本点数为，再利用古典概型计算公式即可得到答案； （2）先求出B班参加测试的学生人数，再利用互斥事件的加法公式和概率乘法公式即可得到答案； （3）写出随机变量的分布列为，再利用期望计算公式和组合数的性质即可证明. 【小问1详解】 记＂测试序号为2的学生来自A班＂为事件， 将A班名学生测试序号的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件表示A班有1名学生的测试序号为2，其他名学生的测试序号在剩余个面试号码中随机安排， 则事件包含的样本点数为， 故. 【小问2详解】 设B班参加测试的学生有名，由题意得，解得，所以B班参加测试的学生有10名，C班参加测试的学生有20名． 记＂最后测试的学生来自B班＂为事件， ＂最后测试的学生来自C班＂为事件，显然事件，互斥． 记＂A班参加测试的学生先于其他两班学生结束测试＂为事件， 则．当事件发生时， 只需考虑两班所有参加测试的学生中最后测试的那位来自C班， 则． 当事件发生时，只需考虑两班所有参加测试的学生中最后测试的那位来自B班， 则， 所以． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答題卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角是（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，，且若，则的值可能为（ ） A. 8 B. 2 C. 2或8 D. 1或8 4. 贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为，底部A的俯角为，则双子塔的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线C的一条渐近线交于P点，且另一条渐近线垂直平分线段PF，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.9 7. 已知边长为3的等边三角形ABC的三个顶点均在表面积为的球O的球面上，则三棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. DeepSeek的火爆源于其突破性AI技术的高效应用，充分展现了人工智能在驱动创新解决方案和满足广泛市场需求中的核心作用．某高中的数学社团以16至40岁人群使用DeepSeek频率为课题，分小组自主选题进行调查研究，下列说法错误的是（ ） A. 甲小组开展了DeepSeek每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，但相关程度很弱 B. 乙小组利用最小二乘法得到DeepSeek每周使用频次y关于年龄x的经验回归方程为，可以推断年龄为30岁的群体每周使用频次可能为17次 C. 丙小组研究性别因素是否影响DeepSeek使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的DeepSeek使用频次没有差异 D. 丁小组用决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.733和0.998，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多 10. 纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等．这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ） A. 为的一条对称轴 B. 的最大值为 C. 关于点中心对称 D. 的一个正周期为 11. 若整数，每个正整数a可唯一表示为，其中，且，则称该表达式为a的p进制表示，记为：．例如四位数1024的十进制数可表示为；四位二进制的数，所以等于十进制的数13．把n位p进制中的最大数记为，其中为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则复数的虚部为_________．． 13. 的展开式中项的系数为_________（用数字作答） 14. 已知函数在点处的切线与圆相切于点，则_________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 各项均为正数的数列的前n项和为，，当时，． （1）求证：数列是等差数列； （2）设，试求数列的最小项． 16. 如图，在正三棱柱中，，直线l为平面ABC与平面的交线，点P为交线l上的一动点． （1）证明：； （2）求点P到的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数零点的个数． 18. 已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为P （1）求抛物线E的标准方程； （2）证明：点P在定直线上； （3）若的面积为，求点P的坐标． 19. 某学校期末体育课对学生进行引体向上测试，本次测试对象是A，B，C三个班级的N名学生，其中A班有n人，．体育老师带领所有参与测试同学到测试场地集中，并随机给每人选定一个测试序号k（），按测试序号k由小到大依次进行测试，每人测试时长3分钟，测试结束后自行离场． （1）求测试序号为2的学生来自A班的概率； （2）若，且B，C两个班级参加测试的学生人数比为，求A班参与测试的学生先于其他两个班学生结束测试（即：A班所有参与测试的学生结束测试后，B，C两个班都还有学生未结束测试）的概率； （3）记随机变量X表示最后一名A班学生结束测试所用的时长（从第1名学生开始测试到最后一名A班学生结束测试所用的时间），是X的数学期望，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $