精品解析：河南省实验中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试卷

河南省实验中学2024-2025学年下期月考试卷 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量的方差，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的性质，直接计算即可. 【详解】∵，∴； 故选：． 2. 展开式的第3项的系数是（ ） A. 20 B. 30 C. D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式直接求解即可 【详解】因为展开式的第3项为， 所以展开式的第3项的系数是， 故选：D 3. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则，，， 所以. 故选：C. 4. 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　 　） A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. （﹣∞，0） D. （﹣∞，0] 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可。 【详解】由题意得：令 因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex 即,所以 故选:A 【点睛】本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。 5. 端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件“取到的两个馅不同”，事件“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的意义，先求出事件A的所有可能，再求出事件B的所有可能，相除即可. 【详解】根据题意，A事件的所有可能有：种； 同时，B事件的所有可能有：种. 故. 故选：B. 【点睛】本题考查条件概率，一般地，条件概率的计算，可以通过公式计算两次概率；也可以通过本题方式，在A事件的样本空间中计算B事件发生的概率. 6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据选项特点分别构造函数，并利用导数研究函数的单调性，即可得答案； 【详解】对A，令，，当，在单调递减，，即，故A正确； 对B，，，，故B错误； 对C，令，当时，；当时，，在单调递减，在单调递增，显然当时，，故C错误； 对D，，由C选项的分析，当时，，故D错误； 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质、判断不等式是否成立，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 7. 第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 620种 D. 720种 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意按甲、乙是否被选中分为三种情况；再分别求出相应情况的方案数；最后利用分类加法计数原理即可得解． 【详解】由题意按甲、乙是否被选中分为三种情况： ①若甲、乙都未被选中，则不同的安排方案有（种）； ②若甲、乙2人中只有1人被选中，则不同的安排方案有（种）； ③若甲、乙都被选中，则先安排甲，再安排乙， 若甲去了网球中心，则不同的安排方案有（种）； 若甲没有去网球中心，则不同的安排方案有（种）. 所以当甲、乙都被选中时，不同的安排方案有（种）． 由分类加法计数原理可得共有（种）不同的安排方案. 故选：C． 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同构将函数进行化简，在利用单调性与交点个数转化成切线处理问题. 【详解】令f(x)=0，得 即 令 则 (1-e)t-1=0， 令 则 令 在区间(ln(e-1) ，+∞)上单调递增； 令 在区间 上单调递减，又 1，h(0)=h（1）=0，则h(x)=0有且只有两个根，分别为0，1. 当a≥0时，函数f(x)恰有2个零点等价于 的图象与直线y=0和y=1共有2个交点. 令p(x)= lnx+ ax，则 则p(x)在区间(0，+∞)上单调递增，又x→0，p(x)→-∞，x→+∞，p(x)→+∞，即p(x)∈R，则.y= ax+ lnx的图象与直线y=0和y=1各有1个交点，符合题意. 当a<0时，函数f(x)恰有2个零点，等价于函数y=lnx的图象与直线y=-ax，y=1-ax的图象共有2个交点，临界情况为两条直线分别与y=lnx的图象相切. 如图1，当y=-ax与y=lnx相切，设对应切点为，因为 则相应切线方程为 如图2，当y=1-ax与y= lnx相切，设对应切点为，则相应切线方程为 则 综上 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】用赋值法对ABCD四个选项分别判断： 对于A：令，即可求解； 对于B：令，即可求解； 对于C：令，即可求解； 对于D：先对两边求导，再令，即可求解. 【详解】对于， 对于A：令，可得：，即.故A正确； 对于B：令，可得：， 即，因为，所以.故B正确； 对于C：令，可得：，因为，所以.故C错误； 对于D：对两边求导得： , 令，可得：， 即.故D正确. 故选：ABD 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】已知、、关系公式，把对应值代入就能算出．  对于A选项：依据事件独立定义，若，则、独立，算出和比较即可．  对于B选项：用条件概率公式，把、值代入计算，和比较．  对于C选项：先求和，再用条件概率公式计算，看是否等于．  对于D选项：根据算出，和比较大小． 【详解】对于A，已知，将，，代入可得：   因为，所以事件，相互独立，A选项正确．  对于B，根据条件概率公式，将，代入可得： ，B选项错误．  对于C，先求，． 再根据条件概率公式，将，代入可得： ，C选项正确．  对于D，，而，所以，D选项错误．  故选：AC． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求切线方程，进而求交点坐标，即可求三角形面积判断A；对于B，利用导数研究函数的单调性判断B；对于C，将问题化为在上恒成立，应用导数研究的最小值，即可得参数范围判断C；对于D，将问题化为有唯一解，应用导数研究的单调性和值域判断D. 【详解】对于A，由题设， 则，且， 所以在处的切线方程为， 切线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 所以在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故A正确； 对于B，由题设，, 当时，趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷， 所以存在，使， 所以当时，，在上是减函数，故B错误； 对于C，因为函数在上为减函数， 则在上恒成立，则， 令，则， 易知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，函数有且只有一个零点， 即有唯一解，则， 令，且，则， 令，显然在上为增函数，， 则存在，使得， 易知时，，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 当时，当时，趋向于正无穷，当时，趋向于0， 所以有且只有一个解时，，即， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________. 【答案】40 【解析】 【分析】令可得，将化为，利用通项公式分别求出展开式中的的系数与的系数，再相加即可得到结果. 【详解】因为的展开式中各项系数和为2， 所以令可得，解得， 所以， 因为的通项公式为， 令，得，令，得， 所以展开式中常数项是. 故答案为：40 【点睛】本题考查了二项展开式的各项系数和，考查了利用通项公式求指定项，解题关键是将拆成，属于基础题. 13. 下列说法中正确的是__________． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强； ④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大． 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用方差的性质判断①的正误；利用回归直线的性质判断②，相关系数判断③，独立检验判断④． 【详解】对于①，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，①正确； 对于②，设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位；所以②不正确； 对于③，设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以③ 不正确； 对于④，在一个2×2列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以④正确； 故答案为：①④． 14. 若，则实数最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到，从而，，代入，得到的最大值. 【详解】， 定义域为， 则， 令， 则，在上单调递增， 且时，当时， 使得 即 当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以②， 由得①， 即，代入②得，， 整理得 ， ∴， ∴， ， 故的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数； 第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间. （2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 16. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本观测数据部分整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 200 50 250 优秀 60 90 150 合计 260 140 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全校数学成绩优秀的人中任取3人，记这3人中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为语文成绩和数学成绩有关联 （2）分布列： X 0 1 2 3 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算出，比较临界值可得结果； （2）确定X取值为0，1，2，3，再计算出从数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率，利用二项分布的概率公式得到分布列，再利用期望公式计算期望. 【小问1详解】 零假设为：：语文成绩和数学成绩无关． 根据列联表中的数据，计算得到： ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为语文成绩和数学成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由已知，从全校数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率为． 可得X服从二项分布，即． X取值为0，1，2，3． ；； ；． X的分布列为： X 0 1 2 3 P ． 17. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 （1）求第二次抽到红的概率 （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 （3）小明获得4块月饼的概率 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【小问1详解】 记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， 【小问2详解】 如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， 【小问3详解】 若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 18. 某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表. （1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程； （3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？ 附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为) 【答案】（1）选择，理由见解析；（2）；（3）20千万 【解析】 【分析】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型； （2）由,得，再利用最小二乘法求出，从而得到关于的回归方程； （3）利用导数求得当时，取得最大值. 【详解】（1）由图可知适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型 若选择，则，此时当接近于0时，必小于0， 故选择作为年产能关于投入的人力的回归方程类型 （2）由,得，故与符合线性回归，. ， ，即， 关于的回归方程. （3）当人均产能达到最大时，年产能也达到最大， 由(2)可知人均产能函数， ， 时，，时， 时，单调递增，时，单调递减， 当时，人均产能函数达到最大值， 因此，每2千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大， 对于该企业共有2000名生产工人，且资金充足， 下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大. 【点睛】本题考查统计中的散点图、回归方程的最小二乘法求解、统计中的决策问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理能力、逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意知识的交会. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不同的实数解，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 由，得， 若有两个不同的实数解，则， 两式相减得，所以． 不妨设，则， 所以在上单调递增，此时，所以． 所以，即，所以①． 由，得有两个不同的实数解， 令， 当时单调递增，当时单调递减， 由，，所以． 令，则方程有两个不同的实数解． 由（2）知，则有． 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，即，故，当且仅当时等号成立． 不妨设直线与直线交点的横坐标分别为， 则， 所以②． 综上，． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）导数研究函数的单调性，结合及不等式恒成立确定参数范围； （3）由有两个不同的实数解得，构造并研究其函数值符号得，由有两个不同的实数解，构造，并利用导数研究性质可得，令，则方程有两个不同的实数解，构造设，导数研究性质得，进而得到，即可证. 【小问1详解】 ，则切线的斜率为，又， 所以处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，则． 若在区间上恒成立，则的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2024-2025学年下期月考试卷 高二数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机变量的方差，设，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式的第3项的系数是（ ） A. 20 B. 30 C. D. 60 3. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　 　） A. （1，+∞） B. [1，+∞） C. （﹣∞，0） D. （﹣∞，0] 5. 端午节这一天，馨馨的妈妈煮了9个粽子，其中4个白味、3个腊肉、2个豆沙，馨馨随机选取两个粽子，事件“取到的两个馅不同”，事件“取到的两个馅分别是白味和豆沙”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 第19届亚运会在杭州举行．杭州市奥林匹克体育中心是杭州亚运会比赛场馆之一，主要由主体育场、游泳馆、网球中心以及综合训练馆组成．现从甲、乙等7名服务者中随机选取4人分别到这四个区域负责服务工作，要求这四个区域各有1名服务者，且甲不去游泳馆，乙不去网球中心，则不同的安排方案共有（ ） A. 360种 B. 480种 C. 620种 D. 720种 8. 已知函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上为减函数，则 D. 当时，若函数有且只有一个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________. 13. 下列说法中正确的是__________． ①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ②设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位； ③设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强； ④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大． 14. 若，则实数最大值为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 16. 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末成绩的样本观测数据部分整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 200 50 250 优秀 60 90 150 合计 260 140 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）假设用样本估计总体，用频率估计概率，现从全校数学成绩优秀的人中任取3人，记这3人中语文成绩优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 （1）求第二次抽到红的概率 （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 （3）小明获得4块月饼的概率 18. 某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数(单位:百人)对年产能(单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初步处理，得到散点图和统计量表. （1）根据散点图判断:与哪一个适宜作为年产能关于投入的人力的回归方程类型？并说明理由？ （2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立关于的回归方程； （3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入多少资金（单位：千万元）？ 附注：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，(说明:的导函数为) 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不同的实数解，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $