河北省石家庄市河北辛集中学2024-2025学年高二下学期第三次阶段考试数学试题

数学试卷 第 1页，共 4页 河北辛集中学 2024-2025学年第二学期第三次阶段考试 高二数学试卷 一、单选题（本题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1．“ 2x  ”是“ 1 1x   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．下列不等式中成立的是 A．若a b 则 2 2ac bc B．若a b 则 2 2a b C．若 0a b  ，则 1 1a b  D．若 0a b  ，则 2 2a b 3．已知函数     12 ln 1 xf x x a x       是奇函数，则实数 a的值为（ ） A．0 B．1 C． 1 D．2 4．  6 1x a y x       的展开式中，含 1 4x y 项的系数为 15 ，则 a （ ） A． 2 B． 1 C． 1 D． 2 5．已知函数 2 3 , 0, ( ) 1, 0 x a x f x x ax x         是R上的减函数，则实数 a的取值范围是（ ） A．[0, ) B． 10, 3      C． 10, 3     D． 1( ,0) , 3        6．已知函数  f x 的定义域为R，     1g x f x x   是奇函数，     3h x f x x  是偶函数， 则 2 33f       （ ） A． 10 B． 8 C．8 D．10 7．已知函数  f x 关于直线 0x  对称,且当 1 2 0x x  时,      2 1 2 1 0f x f x x x     恒成立, 则满足   13 1 3 f x f        的 x的取值范围是（ ） A． 4 , 9      B． 2 4, , 9 9              C． 2 4, 9 9       D． 2, 9      8．人工智能领域让贝叶斯公式：         P B A P A P A B P B  站在了世界中心位置，AI换脸是一 项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为 数学试卷 第 2页，共 4页 0.001．某团队决定用 AI对抗“AI”，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪 技术的准确率是 0.96，即在该视频是伪造的情况下，它有96%的可能鉴定为“AI”；该 鉴伪技术的误报率是 0.02，即在该视频是真实的情况下，它有 2%的可能鉴定为“AI”．已 知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为（ ） A．6% B． 4.6% C． 2.4% D．0.1% 9．甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有 6张扑克牌，点数分别为 1~6，两人各随机出牌 1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的 点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多 胜 2次或平局 4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌 X次，则  4P X  （ ） A． 116 B． 5 32 C． 5 64 D． 1164 10．从集合 {1,2,3,4}U  的非空子集中随机取出两个不同的集合 A，B，则在 A B U  的 条件下， A B 恰有1个元素的概率为（ ） A． 8 39 B． 16 39 C． 32 79 D． 2 5 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分,有选错的得 0分.) 11．已知 4 2 12x x      的展开式中各项系数的绝对值之和为A，第三项的二项式系数为 B， 则（ ） A． 1A  B． 87A B  C．展开式中存在常数项 D．展开式中第二项为 32x 12．下列说法正确的是（ ） A．若随机变量 ,A B满足： ( ) 0, ( ) ( ) 1P A P B A P B   ，则 ,A B相互独立 B．已知随机变量  2~ ,X N   ，若 ( 2) ( 6) 1P x P x    ，则 4  . C．若 1 2 n x x      的展开式中二项式系数的和为 64，则系数最大的项为第 4项 D．一组数据 (1,3),(2,8),(3,10),(4,14),(5,15)的经验回归方程为 ˆ ˆ3y x a  ，则当 2x  时， 残差为 1 13．已知定义在R上的偶函数  f x 和奇函数  g x 满足    2 1f x g x    ，则（ ） 数学试卷 第 3页，共 4页 A．  f x 的图象关于点  2,1 对称 B．  f x 是以 8为周期的周期函数 C．    8g x g x  D． 2024 1 (4 2) 2025 k f k    三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分．) 14．甲、乙、丙、丁四名同学可选择足球课、篮球课、排球课，每个人必须选一门且 只能选一门，那么每门课都有人选择的不同情形有 种（用数学作答）. 15．已知函数 ( ) ( 0)af x x b x x     ，其中 a，bR．若对任意的 1 ,2 2 a      ，不等式 ( ) 10f x  在 1 ,1 4 x      上恒成立，则 b的取值范围为 ． 16．从分别标有数字 2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放 回，再随机抽取一张，记下数字后放回，以此类推，抽取 n次后，记下的 n个数字之和 为奇数的概率为 . 四、解答题(本题共 5 个大题，共 67 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．) 17．已知不等式 2 3 0ax x b   的解集为 1 2x x  . (1)求 a，b的值； (2)若不等式 2 3 0mx mx a   对于 xR 均成立，求实数m取值范围. 18．函数 ( ) e e 4x xf x m    ，mR . (1)若 ( )f x 为偶函数，求m的值及函数 ( )f x 的最小值； (2)当 [ 1,1]x  时，函数 ( )f x 的图象恒在 x轴上方，求实数m的取值范围. 19．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板 上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间 留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶 端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左 或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为 1,2, ,7 ，用 X表示小球最后落入格子的号码． (1)求 X的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行 数学试卷 第 4页，共 4页 盈利性“抽奖”活动．若 2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入 X号格子得到的奖金 为Y元，其中 10, 1 7 5, 2 6 1, 3 5 0, 4 X X Y X X        或 或 或 ，你觉得小州同学能盈利吗？ 20．“村 BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组 织，参赛者以村民为主，极具乡村气息. 某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的 了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各 80名作为样本，设事 件 M=“了解村 BA”，N=“学生为女生”.据统计数据得   1 6 | 1 P M N  ，   1| 7 P N M  . (1)根据已知条件，作出 2×2 列联表，并依据小概率值 001.0 的 2 独立性检验，能 否判断该校学生对“村 BA”的了解情况与性别有关； (2)现从该校不了解“村 BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取 10名学生，再从 这 10名学生中随机抽取 4人，设抽取的 4人中男生的人数为 X，求 X的分布列和数学 期望. 参考公式：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        提示： 2 独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值  0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．在 n重伯努利试验中，用 X表示事件 A发生的次数，则称随机变量 X服从二项分 布，它关注试验成功的总次数；用 Y表示事件 A第一次发生时已经进行的试验次数， 则称随机变量 Y服从几何分布，它关注的是首次成功发生的时机.在某篮球训练的投篮 环节中，运动员甲每次投篮均相互独立，每次投篮命中的概率为 p. (1)当 1 3 p  时，求运动员甲进行 4次投篮，命中次数不少于 2次的概率； (2)设Z表示运动员甲首次命中时的投篮次数. （i）求 ( 4)P Z  及此概率取得最大值时 P的值； （ii）若甲最多投篮 n次，第 n次未命中也结束投篮，利用（2）（i）中的 p值，求 Z 的数学期望 ( )E Z . 河北辛集中学2024-2025学年第二学期第三次阶段考试 高二数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C 6 C c B D B 题号 11 12 13 答案 BD ABD ABC 8.B【详解】设A=“视频是“A'合成”，设B=“鉴定结果为“A, 则P(A)=0.001,P(A=0.999,P(BA)=0.96,P(BA=0.02, 由贝叶斯公式得： P(A)P(BA) 0.001×0.96 48 P4B)=PAP84+PP可001x0.96+0,999x0D1047 0.046，故选：B. 9.D【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率月=2x3x3_1, 若甲胜，则结果有(2,1)、(3,2)、（4,1)、(4,3)、(5,2)、(5,4)、 6×62 (6小、(6引(65)，共9种，所以甲胜的概率为乃=6品6子同理乙胜的概率也为好，各出 91 牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率 =16 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为C 32 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为C×× 所以Px=到六京+故：D 10.B 【详解】由题意可分以下四种情况讨论： ①若A中有一个元素，则B中至少有三个元素，此时满足AUB=U的情况有2C!种，而满足A⌒B 答案第1页，共7页 恰有1个元素的有C种： ②若A中有两个元素，则B中至少有两个元素，此时满足AUB=U的情况有C:×(1+C?+I)种， 而满足A⌒B恰有1个元素的有C×C,种： ③若A中有三个元素，则B中至少有一个元素，此时满足AUB=U的情况有C:×(1+C+C+I)种， 而满足AOB恰有1个元素的有C×C种： ④若A中有四个元素，则B中至少有一个元素，此时满足AB=U的情况 有Ct×(C!+C+C)种，而满足AOB恰有1个元素的有C×C种： 4+12+12+416 故满足题意的概率为： ,故选：B 8+24+32+1439 11.BD 12.ABD 详解A达项，PB,上P⑧=P(B,故PA (AB)-P(B).P(AB)=P(A)P(B). 则A,B相互独立，A正确 B选项，已知随机变量X~N(4,o2),若P(x22)+P(x26=1, 故x=2和r=6关于x=4对称，故4=2+6=4，B正确： 2 C选项，由题意得2"=64，解得n=6, +2 展开武的通项公式为7=C(k~2xi=C2x,0≤r≤6，reN, C2≥C62 令 C2C2,解得号≤r≤1，又reN,故r=4,所以系数最大的项为第5项，C错误 D选项， 1+2+3+4+5=3,3+8+10+14+15=10,数据（1,3).(2,8，(3,10，(4,14，(5,15)的样本中 5 5 心点为(3,10)，将(3,10)代入=3x+à中得10=3×3+a,解得à=1， 所以经验回归方程为)=3x+1,当x=2时，)=7，故残差为8-7=1，D正确.故选：ABD 答案第2页，共7页 13.ABC 【详解】对于A,由题意f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), 且g(0)=0,f(2++g(-d=1,即f(x+2)-g(x)=1①， 用-x替换f(2+x)+g(-x)=1中的x,得f(2-x)+g(x)=1②， 由①+②得∫(x+2)+∫(2-x)=2,所以f(x)的图象关于点(2，)对称，且f(2)=1,故A正确： 对于B,由f(x+2)+f(2-x)=2,可得f(x+4)+f(-x)=2,f(x+4)=2-f(-x)=2-f(x), 所以f(x+8)=2-f(x+4)=2-[2-f(x)]=f(),所以f(x)是以8为周期的周期函数，故B正 确：对于C,由①知(x)=f(x+2)-1, 则g(x+8)=f(x+8+2)-1=f(x+2)-1=g(x),所以g(x+8)=g(x),故C正确： 对于D,又因为f(x+4)+f(-x)=2,所以f(x)+f(x+4)=2, 令x=2,则有f(2)+f(6)=2,令x=10,则有f(10)+f(14)=2,…,令x=8090,则有 f(8090)+f(8094)=2,所以f2)+f6)+f00)+fI4)++f8090)+f8094)=2+2+…+2=2024 102个 所以2/4钛-2)=f2+0+/00+/到++/3090y+/8094=2024,故D错误 14.36 15.bs 【详解】先将a看作主元，记关于a的一次函数g(a)=-a+x+b, 则对任意的a 不等式g(a)≤10恒成立. 由于x>0,故g(a)单调递增，则只要g(2)=二+x+b≤10， 因此不等式2+x+b≤10在 上恒成立。分离变量得不等式6s10-(任+在[公] 上恒成立， 放s[0-民儿=10-任·由对物函数的单强性知y子在[仔上单网鞋读， 答案第3页，共7页 所以 2+x =2+133 I44,所以b≤10- 2+x max 4 16.。[1-()]【详解】从分别标有数字2024,2025,2026的三张卡片中随机抽取一张， 2 取到奇数的概率为取得偶数的概率为了，设P四为抽取”次后和为奇数的概率， 可得代=写0-a-+号Pa-,整理得P-P- 又由P0了可得P0-方名，所以数列P)-司}表示首项为-名，公比为的等比数列， 所以0片言付r,所以ra)。付-]故答案为：0-r1 17.【详解】(1)因为不等式ax2-3x+b<0的解集为{x1<x<2}, 所以1和2是关于x的方程ax2-3x+b=0的两根， 1+2=3 由根与系数的关系知， a 解得a=1,b=2: b 1×2= 0 (2)由(1)知，不等式mx2+mr+3≥0对于x∈R均成立， 当m=0时，不等式为3≥0恒成立， m>0 当m≠0时，应满足 △=m2-12m≤0' 解得0<m≤12， 综上，实数m的取值范围是[0,12 18.(1)m=1,-2(2)m∈(4，+o) 【详解】(1)因为函数f(x)=e+me-4为偶函数. 所以f(-x)=f(x)恒成立，即e+me-4=e+me-4恒成立. 即(1-m)(e-e）=0恒成立，解得m=1,所以f(x)=e+e-4=e+ 。-4,令m=e>0, 1 -4=-2,当且仅当u=1,即x=0时，等号成立所以函数(x)的最小值为-2. (2)当x∈[-1，]时，函数f(x)的图象恒在x轴上方，故当x∈[-1，]时f(x)=e+mC-4>0恒成 答案第4页，共7页 立即a>0-产e-切复成立令-六，令=e,1 因为y=4t-,对称轴为1=2，故当1=2即x=n2时，h(x)取最大值4，故m∈(4，+o) 19.()分布列见解析(2)能 【详解】(1)由题知，X的取值为1,2,3,4,5,6,7. (x-1)-P@x-7)-c)-x-2)-c)()-Pw-6c -c-x-c()-c()- 则X的分布列为： X 2 3 4 5 6 7 3 15 5 15 64 32 64 16 64 32 64 10,X=1或7 Y 5 10 5,X=2或6 (2) 由(1)得，Y= 1,X=3或5 ,Y的分布列为： 5 15 3 1 0,X=4 16 32 16 32 则E(y)=0×三+1x+5×之+10×5=5<2，六小州同学能盈利. 163216 3232 20. 山)列联表见解析，有2)分布列见解析，E() 8 【详解】(1)结合男生和女生各80名，可作出如下2×2列联表： 了解“村BA” 不了解“村BA” 总计 男生 30 50 80 女生 5 75 80 总计 35 125 160 答案第5页，共7页 零假设为H。:该校学生对“村BA”的了解情况与性别无关联。 计算可得X_160x30x75-5x50_160、2.857D10.828, 80×80×35×125 7 因此，根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为该校学生对“村BA”的 了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. (2)由(1)可知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，其中男生人数为 50 ×10=4, 50+75 女生人数为 75 ×10=6.易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4， 50+75 且P(X=O)= C.C -8 P(X=3)= CCh=4 C35 PX=4)= =1 210 所以随机变量X的分布列为 X 0 2 3 4 1 3 4 1 P 14 2 7 35 210 数学期望E(X)=4×4-8 105 21. 27 02)(DP(Z=4 256p=4(i4-3 0-1 【详解】1)设运动员甲进行4次投靠，命中次数为名X~44兮 则x2=c)+c得)+c周 (2)(i)法一：P(Z=4)=(I-p)p, 设f(p)=1-p)3p,0≤p≤1，'(p)=-31-p)}2p+1-p)3=(1-p)}'1-4p), 令fp)>0,解得0≤p<子：令fp)<0,解得4p<1, 则fp)在[0好上单调递增，在？上单调递减。 答案第6页，共7页 ∴当p=时，fp)取最大值，即PZ=9取得最大值， 4 此时P(Z=4)=(1-p)p= 法=：Pz=利=-pip,Pz=4=0-p0-p0-p3ps-3*2=% 当且仅当1-p=3p,即p=4时，取，此时PZ=4)取得最大值. (i)由题意可知5的所有可能取值为：1,2,3，，n. 当k≤n-1且keN时，P5==-好(， 当=a时，P5=)--- =4+2}日×…+a-目+x +2到++6-0目 设s=1x+2+3得++a-0 则2s=1+2目+3x++a-@. ①一②得： -gg日g… 阳-s+n4-a+3目+a4 答案第7页，共7页