河南省洛阳市2024-2025学年高二下学期6月期末质量检测数学试题

洛阳市2024一2025学年高二质量检测 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 中 的 2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.(x-1)的展开式中第6项的系数是 A.Cio B.-Cfo C.Co D.-Co 鼠 2.变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间 如 A.很可能存在负相关 8个 郎 B.一定存在负相关 长 C.很可能存在正相关 0 区 D.一定不存在正相关 012346. 都 3.已知等差数列|an}的前n项和为S.,若a,+a3+a5=l5,a2+a4+a6=21,则S12= 高 A.72 B.100 C.144 D.156 图 4.设随机变量X~N(0,2),随机变量Y~N(0,32),则以下结论错误的是 A.P(IXI≤1)<P(YI≤1) B.P(X≤0)=P(Y≤0) C.P(-2≤X≤2)=P(-3≤Y≤3) D.P(X≤-2)+P(X≤2)=1 5.若直线y=x是曲线y=nx+1的一条切线，则k= A B.1 C.e D. 6.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则 A.a<0 B.b>0 ☒ C.c<0 D.d<0 高二数学第1页（共4页） (2025.6) 7.已知圆C:(x+2)2+y2=4,直线l:(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R),则下列结论 错误的是 A.直线！与圆C不可能相切 B.当m=0时，圆C上恰有三个点到直线1的距离等于1 C.恰有三条直线与圆C和圆x2+y2-2x+8y+8=0都相切 D.直线l与直线2x-(m+I)y=0垂直 8.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，过点A作一平面，使得正 0 方体的各个顶点都在a的同一侧，且A,B,D三个点到α的距离 分别为3,4,5，则该正方体的棱长为 A.42 B.52 C.45 D.12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0 分。 9.已知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+【=0的距离相等，则a= A.- B.、7 c D. 10.在一个抽奖游戏中，有四个编号为1,2,3,4的外观相同的箱子，其中只有一个箱子里 有奖品（只有主持人知道哪个箱子有奖品）.游戏规则是主持人请抽奖人在四个箱子 中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人首次随机选择了一个 箱子，在抽奖人打开之前，主持人先打开了剩下的三个箱子中的一个空箱子，此时抽 奖入有一次重新选择的机会，则以下说法正确的有 A.抽奖人在初始选择中，每个箱子中奖的概率均为 B.主持人打开一个空箱子后，每个箱子中奖的概率均为？，抽奖人不必换选箱子 C.主持人打开一个空箱子后，抽奖人换选剩下两个未开箱中的一个可使中奖概率升 至号 D.每个箱子中奖的概率始终为子，主持人打开一个空箱子后，抽奖人不必换选箱子 11.如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线C:y2=2x(p>0)绕其顶点分别 逆时针旋转90°，180°，270°后所得的三条曲线及C围成的，若p=1,则下列说法正确 的是 A.开口向上的抛物线的方程为y=x B.四叶图上两点间距离的最大值为22 C.动直线x+y=(,∈R)被第一象限的叶子所截得的弦长 的最大值为只 D.四叶图的面积大于4且小于8 高二数学第2页（共4页）(2025.6) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12与椭圆)+云=1有公共焦点，且浙近线方程为y=±子的双曲线的标准方程为 3 13.从4名男生和3名女生中选出3人参加一项创新大赛，要求选出的3人中必须有女生，且 男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则有 种不同选法（用数字作答）。 14.如图，两条异面直线a,b所成的角为写，在直线a,b上分别取点A,E 和点A,F,使AM'⊥a,且AA'⊥b.已知A'E=【,AF=2,EF=3,则线 段AA'= 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 15.(12分) 第42届中国洛阳牡丹文化节于2025年4月1日至5月5日举办.洛阳牡丹已有1500 多年栽培史，它雍容华贵、国色天香、富丽堂皇，寓意吉祥富贵、繁荣昌盛，是中华民族兴旺 发达、美好幸福的象征.近年来，“汉服热”也风靡洛阳.为了让游客在牡丹文化节期间近 距离感受洛阳汉服文化的独特魅力与牡丹文化的国色天香，官方举办了“洛邑芳华”汉服 走秀巡游活动，记者随机采访了150名游客，征求对该活动的评价意见，得到下表： 性别 满意度 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 40 60 100 合计 70 80 150 (1)依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为不同性别的游客对该活动的评 价有差异？ (2)用频率估计概率，现随机采访1名女性游客与1名男性游客，设X表示这2人中 对该活动非常满意的人数，求X的分布列和数学期望 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d(a+c)6+0,n=a+6+c+d 0.1 0.05 0.01 0.001 a 2.706 3.841 6.635 10.828 16.(13分) 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c,且acosC+√3 asinC-b-c=0 (I)求A: (2)若b=c=3,点D,E,F分 别在边AC,BC,AB上，CD=I,将 △BEF沿着线段EF对折后，恰好 使得点B与点D重合，求△DEF的 面积 高二数学第3页（共4页）(2025.6) 17.(13分) 已知数列o,的前n顶和为S.,且a,=l,S=20(neN) (I)求数列{a,}的通项公式： (2)在数列1，}中，6。=a.+logS.,求数列b,}的前n项和T 18.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形， LBAD=60°，PA=PD=2,E是BC的中点，点Q在侧棱PC上 (I)求证：AD⊥PB: (2)是否存在点Q,使DC与平面DEQ所成角的正弦值 为若存在，求出的值；者不存在，请说明理由 PC 19.(13分)】 已知椭圆C后+后=1(a>b>0)的离心率为写， ,且点A(5,1)在椭圆上 (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左焦点为F,若T为直线x=-3上一点，过点F且与TF垂直的直线交 椭圆C于P,Q两点，线段PQ的中点为M. ()证明：点M在直线OT上(0为原点)： ()求△OPQ的面积的最大值，以及此时点T的坐标 20.(13分) 已知函数f八x)=e-e*+ax(a∈R) (I)当a=-2时，讨论f(x)的单调性； (2)若f代x)存在两个极值点x1,x2, (i)求a的取值范围； ()证明，) ->a+2. x1-x2 高二数学第4页（共4页）(2025.6)洛阳市2024—2025学年高二质量检测 数学试卷参考答案 一、选择题 1-4 DACA 5-8 BCBB 二、多项选择题 9.AB 10.AC 11.ACD 三、填空题 13.2214.6或万（少写一个，不给分） 四、解答题： 15.解：(1)零假设为 H。:不同性别的游客对该活动的评价没有差异. 根据列联表中的数据，计算得到 X=150×(30×60-20×40)2-25 50×100×70×80 14 s5.357>3.841=xaw, …3分 故依据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立， 即能认为不同性别的游客对该活动的评价有差异， …5分 (②)根报愿家，用频率估计概宋，女性对活动非常清意的概本为号一一，男性对活动 丰布清意的概率为端一子 …7分 所以X所有可能取值为0,1,2，则 Px=0)1-)×1-嘉 …8分 P风x=1)=(1-学×是+子x1-子)-器 9分 PX=2-号×2-号 …10分 高二数学答案第1页（共6页）(2025.6) 故X的分布列为 X 0 1 2 P 2 是 子 …11分 3 .13 3.37 B(x)=0×8×1×8+2×号=8 …12分 16.解：(1)由正弦定理，可得 sinAcosC +3sinAsinC sinB sinC, …2分 ∴.sinAcosC+√3 sinAsinC=sin(A+C)+sinC, .sinAcosC +3sinAsinC sinAcosC cosAsinC sinC, ind-co4=l,即in(4-名)=克 …5分 在△ABC中0<A<T, A-=，即 66 A=子 …6分 (2)设BE=ED=x,则CE=3-x. 在△CED中，由余弦定理可得DE2=CD2+CE2-2CD·CE·cos 3， 即2=P+(3-)2-2×1x0-刘×分 7 解得x= …8分 、同理，在△AFD中，由余弦定理可得FD=子 …10分 又LBDF=∠B=3 5咖8：0F咖40F=宁×3x子x号-2 …13分 高二数学答案第2页（共6页）(2025.6) 17.解：(1)当时n=1,可得：a2=2S,=2a1=2: …1分 当a≥2时=以=， 两式相减得=e-a).即=3 …4分 1, (n=1), ,= …6分 2.3-2,(n≥2). (2)当n=1时，b,=1: 7分 当a≥2时及=2：3，所以=23r2+n-1, …8分 T,=1+2(3°+3+32+…+3m-2)+[1+2+3+…+(n-1)] =1+2.1-3+a-10n 1-3 2 =31+3-n 2 …11分 a=1时，3+分=1，上式他成立 …12分 2T.3neN …13分 2 18.(1)证明：取AD中点0，连接OP,OB. PA PD, P0⊥AD, …l分 在菱形ABCD中，∠BCD=60°，可得△BAD为等边三角形， .B0⊥AD, …2分 又P0,B0C平面PB0,且P0nB0=0, ∴.AD⊥平面PB0, 3分 PBC平面PB0, .AD⊥PB. …4分 (2)解：：P0⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,且P0C平面PAD, ,PO⊥平面ABCD, …5分 以0为坐标原点，O4,0B,0P所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， 高二数学答案第3页（共6页）(2025.6) 则D(-1,0,0),E(-1,5,0),P(0,0,1),C(-2,5,0), …6分 假设存在点Q满足题意，设P元=tP元，le[0,1], 则00=0+P0=0币+P元=(0,0,1)+(-2,5，-1)=(-24,51,1-)， .Q(-2,5,1-),D=(0,5,0),Dd=(1-24,,1-),D元=(-1,5,0)， …8分 设平面DEQ的法向量为n=(x,y,z),则 [a·D呢=√5y=0, nD0=(1-2)x+3y+(1-t)z=0, …9分 令：=1，则y=0,x= Γ1-21 4=(0,. …10分 1- 设DC与平面DE0所成角为0，则sin0=元ml 1-2 5 IDcl.Inl 2 =1)2+1 解得1=宁政1：号 …12分 存在点Q,使得DC与平面DB0所成角的正弦值为5，此时是-号发号 PC 3 …13分 19解：(1)由题知二=6，()+上 a3a2+=1， …1分 .a=6,b=2, …3分 箱圆C的标准方程为片+号：1. …4分 6 2 (2)(i)由题可设P(少，)，Q(x2),PQ的中点为M(oo), 若直线PQ的斜率为0，不存在满足TF⊥PQ的点T,故设PQ的方程为x=my-2, 代入椭圆方程得(m2+3)y2-4my-2=0, …5分 4m -2 则1+2=23力m2+362物 6 “m+3和m+3 …6分 TF的方程为y-0=-m(x+2), 令x=-3,得y=m, 高二数学答案第4页（共6页）(2025.6) ÷kow=2=-g=kr, …7分 03 ∴.OT过PQ的中点，即点M在直线OT上 …8分 (ii)由(i)可得， aw=10Fll-⅓168+可.24m+D m2+3 m2+3 26√m2+1 …10分 m2+3 √m+I。√m+I m2+3(m3+)+2√m+7+2 √m+1 而m+7+2≥2，m+打≤↓，26+于≤5. …11分 √m+I m2+322 m2+3 当且仅当√m+T=√反，即m=±1时等号成立。 .Sa%≤5，当且仅当m=±I时等号成立. …12分 △0PQ的面积最大值为5，及此时点T的坐标(-3，±1). …13分 20.解：(1)当a=-2时，f八x)=e-e-2x, 六∫'(x)=e'+e-2≥2√·e可-2=0，当且仅当x=0时取等号.…2分 .八x)在R上单调递增。 3分 (2)()因八x)存在两个极值点x,:, 则∫(x)=∫'(2)=e1+e+a=e+e”+a=0. …4分 令e=1>0,则方1++a=0有两个相异正根4 等价于2+at+1=0有两个相异正根， 4=a2-4>0, 4+2=-a>0, …6分 2=1, 解得a<-2. .a的取值范围为(-的，-2). …8分 (ii)证明：由(i)可得h2=e”=1 x2=-x1 1 、e=1,e学 高二数学答案第5页（共6页）(2025.6) 设4，<结合h=1 %1+2>0, e"<1<e, .1<0<, --e+e3) )-) 2(e-e) -=a+ 1-x3 x1-x2 （x1-x2) 2(e-) a+2。)=a+22 (3-x) …10分 若要证人)-八) >a+2, 无1-2 (e- 只带证e 一>2，即e9-2x,e-1>0,其中x1>0. …11分 令g(x)=e-2ex-1,x≥0， 则g'(x)=2e-2e'(x+1)=2e'(e-x-1). 令h(x)=e-x-1,x≥0，则h'(x)=e-1≥0， .h(x)在[0，+0)上单调递增，有h(x)≥h(0)=0. ∴，g'(x)=2e(e-x-1)≥0，得g(x)在[0，+)上单调递增， 当1>0时，得g(x2）=e-2x,e-1>g(0)=0. 综上，可得）-，a+2 …13分 x1一x2 高二数学答案第6页（共6页）(2025.6)