精品解析：2025年浙江省杭州市余杭区部分学校中考二模数学试卷

2025年浙江省杭州市余杭区部分学校中考二模数学试卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照荅题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. 0.4 C. 0 D. 2. 由4个相同小正方形体搭成几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将下面数据分组：83，85，87，89，84，85，86，88，87，90，这组的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 8. 如图，是的内切圆，分别切AB，BC，AC于点，，，，是上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的菱形中，，点在边上，连接，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，．当时，的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 9 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式____________________． 12. 下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数据的平均数是____________________． 天数 3 1 1 1 1 气温 25 23 20 27 30 13. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，且，则值为__________________． 14. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度与载重后总质量成反比例．已知该款机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度v为；若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是_________________kg． 15. 《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为_________________． 16. 如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 火箭发射升空的示意图如图所示．火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；1s后火箭到达点，此时测得仰角为，根据以上信息，解答下列问题： （1）求的度数； （2）求的长（结果保留一位小数）． （参考数据：，，） 20. 为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数． （2）补全条形统计图． （3）该社区中20~60岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数． 21. 在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： （1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； （2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 23. 在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： （1）求出乙车的速度． （2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶时间． （3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 24. 如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，． 【证明体验】 （1）求证：． 【思考探究】 （2）如图2，连结，交于点，作交于点． ①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由． ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年浙江省杭州市余杭区部分学校中考二模数学试卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照荅题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A B. 0.4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：0.4是有限小数，0，是整数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：A． 2. 由4个相同小正方形体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图的视图角度观察得到答案． 【详解】解：该几何体的俯视图有两列两层，第一列只在第二层有一个正方形，第二列的每一层都有一个正方形， 故选：D． 【点睛】此题考查了判断小正方体组成的几何体的三视图，正确掌握三视图的视图角度及画法是解题的关键． 3. 据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得1.25亿用户．数据1.25亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：1.25亿． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方．据此求解即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 将下面数据分组：83，85，87，89，84，85，86，88，87，90，这组的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求频数，确定数值在之间的数据的个数即可． 【详解】解：数值在之间的数据有87，88，87，共3个； 故选C． 6. 如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系．依题意，从原点出发，向南走即沿轴负半轴平移了1500，向东走，即沿轴正方向平移了，据此可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系， 根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 7. 如图，在数轴上点表示数，点表示数1，O是原点，点表示的数是．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 【详解】解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，是的内切圆，分别切AB，BC，AC于点，，，，是上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 连接连接，．由切线性质求出，再根据圆心角与圆周角的关系即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵是的内切圆，，是切点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解杠杆原理是解题关键．由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，即可求解． 【详解】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比， 则弹簧秤的读数应为， 故选：B． 10. 如图，在边长为6的菱形中，，点在边上，连接，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，．当时，的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F，由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，则可证明，得到，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是公式法分解因式．直接利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数据的平均数是____________________． 天数 3 1 1 1 1 气温 25 23 20 27 30 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数，根据求平均数公式解答即可．解题的关键是根据定义来计算． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，在中，点D，E分别在，边上，，且，则的值为__________________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，得，再结合，证明则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为： 14. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度与载重后总质量成反比例．已知该款机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度v为；若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是_________________kg． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当时，，最后根据增减性求解即可． 【详解】解：设， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∵v随M增大而减小， ∴若其最快移动速度大于，则其载重后总质量的取值范围是， 故答案为：． 15. 《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，根据一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品，设金色纸边的宽为，整个挂图的长与宽之比为，故，即可作答． 【详解】解：∵一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，且设金色纸边的宽为，整个挂图的长与宽之比为， 则， 故答案： 16. 如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则正方形的边长为，用表示出，即可求得，再利用勾股定理求得即可，正确利用题中条件求得两个正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 点是的三等分点， ， 则正方形的边长为， ，， ， 则可得方程， 解得（负值舍去）， 如图，连接，过点作交于点， 点与点关于点成中心对称， 三点共线，且, ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解方程组常用的代入消元法和加减消元法．直接运用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得， 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 19. 火箭发射升空的示意图如图所示．火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；1s后火箭到达点，此时测得仰角为，根据以上信息，解答下列问题： （1）求的度数； （2）求的长（结果保留一位小数）． （参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）利用直角三角形的性质求解即可； （2）在中，利用三角函数解得，的值，再在中，利用三角函数解得的值进而可得的距离． 【小问1详解】 解：∵，∴； 【小问2详解】 解：根据题意，在中，，， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴． 20. 为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数． （2）补全条形统计图． （3）该社区中20~60岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数． 【答案】（1）500人；（2）见详解；（3）这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数约为2000人． 【解析】 【分析】（1）根据喜欢微信支付的人数÷其所占各种支付方式的比例＝参与问卷调查的总人数，即可求出结论； （2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）＝参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例−15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可得出结论； （3）根据喜欢支付宝支付方式的人数＝社区居民人数×支付宝支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论． 【详解】（1）（100＋75）÷35%＝500（人）． 答：参与问卷调查的总人数为500人； （2）500×15%−15＝60（人）． 补全条形统计图，如图所示． ； （3）5000×（1−35%−10%−15%）＝2000（人）． 答：这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数约为2000人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题关键是：（1）观察统计图找出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数（41～60岁）；（3）根据样本的比例×总人数，估算出喜欢支付宝支付方式的人数． 21. 在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： （1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； （2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，矩形的判定的知识，关键是得出． （1）由三角形中位线定理可得，，由旋转可得，，所以四边形是矩形． （2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，可证明，则四边形就是矩形． 【小问1详解】 证明：∵点D，E为，的中点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下： ∵点，分别为，的中点 ∴ ∵ ∴ 由题意：， ∴， ∵ ∴ ∴四边形为矩形． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位，图象恰好经过点，求的值． 【答案】（1）对称轴为直线．顶点的坐标为． （2） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 23. 在一条笔直的公路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发．图表示甲、乙两车之间的距离与行驶时间的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： （1）求出乙车的速度． （2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为时，求甲车行驶的时间． （3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】（1）乙车的速度为 （2）甲车行驶了 （3）乙车的速度应该减小，速度减小 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）先判断哪辆车先到达目的地，再根据速度路程时间求出甲车的速度，从而由（甲车出发时两车之间的距离两车速度之和列式计算即可； （3）判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度，从而得出结论即可． 【小问1详解】 解：． 答：乙车的速度为； 【小问2详解】 解：乙车到达地的时间为， ， 乙车先到达地， 则甲车的速度为， ． 答：甲车行驶了； 【小问3详解】 解：若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，则乙车用到达地， 则此时乙车的速度应该为， ． 答：乙车的速度应该减小，速度减小． 24. 如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，． 【证明体验】 （1）求证：． 【思考探究】 （2）如图2，连结，交于点，作交于点． ①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由． ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 【答案】（1）见详解（2）①，理由见详解；② 【解析】 【分析】（1）结合圆内接四边形以及三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）①在上截取，连接，先证明，结合， 得，即可证明； ②如图，在上截取，连接，与①同理得，根据经过圆心，得，即，得，代数得，结合，所以，再证明，代入数值得，整理得，解得，则，运用面积公式列式，再化简，即可作答． 【详解】解：（1）∵已知内接于点是上的一点， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴； ②如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴； ∵经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, 设， ∴，， ∵经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ， 整理得， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的相关运算，圆内接四边形，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$