精品解析：2025年浙江省杭州市余杭区部分学校中考二模数学试卷

2025年浙江省杭州市余杭区部分学校中考二模数学试卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照荅题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列实数中，属于无理数的是 （ ） A. B. 0.4 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．根据无理数的定义判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是开方不尽的数，无法表示为分数，属于无理数． 选项B：0.4是有限小数，可写为，属于有理数． 选项C：0是整数，属于有理数． 选项D：是整数，属于有理数． 故选：A． 2. 由4个相同小正方形体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的三视图的视图角度观察得到答案． 【详解】解：该几何体的俯视图有两列两层，第一列只在第二层有一个正方形，第二列的每一层都有一个正方形， 故选：D． 【点睛】此题考查了判断小正方体组成的几何体的三视图，正确掌握三视图的视图角度及画法是解题的关键． 3. 据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得亿用户，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，需逐一验证各选项是否符合对应法则． 根据运算法则∶， ，即可判断． 【详解】解：选项A：同类项需字母部分相同且指数相同，而与指数不同，无法合并，故错误； 选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故错误； 选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即，故正确； 选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故错误． 故选：C． 5. 将下面数据分组：83，85，87，89，84，85，86，88，87，90，这组的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求频数，确定数值在之间的数据的个数即可． 【详解】解：数值在之间的数据有87，88，87，共3个； 故选C． 6. 如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系， 根据小刚家的坐标位置建立直角坐标系，进而可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系， 根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 7. 如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 【详解】解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解杠杆原理是解题关键．由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比，即可求解． 【详解】解：由杠杆原理可知，两物体与支点的距离与其重量成反比， 则弹簧秤的读数应为， 故选：B． 10. 如图，在边长为6的菱形中，，点在边上，连接，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，．当时，的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F，由菱形的性质得到，则，由旋转的性质可得，则可证明，得到，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H，过点作交延长线于G，延长交于F， ∵四边形是边长为6的菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数的平均数是______． 天数 3 1 1 1 1 气温 25 23 20 27 30 【答案】（单位不写不扣分） 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解题关键．直接根据加权平均数的计算公式求解即可得． 【详解】解：这一周的气温测量数的平均数是， 故答案为：． 13. 如图，在，点D，E分别在边上，，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴M的取值范围是， 故答案为：． 15. 《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为，再根据整个挂图的长与宽之比为列出方程即可． 【详解】解：设金色纸边的宽为，则整个挂图的长为，宽为， 依题意得：或． 故答案为：或． 16. 如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则正方形的边长为，用表示出，即可求得，再利用勾股定理求得即可，正确利用题中条件求得两个正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 点是的三等分点， ， 则正方形的边长为， ，， ， 则可得方程， 解得（负值舍去）， 如图，连接，过点作交于点， 点与点关于点成中心对称， 三点共线，且, ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，先计算算术平方根和零指数幂，再计算绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法并灵活选择是关键．①×2－②得，把代入①得即可得到答案． 【详解】解： ①×2－②得：， ∴ 把代入①得， 19. 火箭发射升空的示意图如图所示．火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；1后火箭到达点，此时测得仰角为，根据以上信息，解答下列问题： （1）求的度数； （2）求的长（结果保留一位小数）．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）在中，利用三角函数解得，的值，再在中，利用三角函数解得的值进而可得的距离． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，在中，，， ∴， ， ∵在中，， ∴， ∴． 20. 为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数． （2）补全条形统计图． （3）该社区中20~60岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数． 【答案】（1）500人； （2）补全条形统计图，如图所示： ； （3）这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数约为2000人． 【解析】 【分析】（1）根据喜欢微信支付的人数÷其所占各种支付方式的比例＝参与问卷调查的总人数，即可求出结论； （2）根据喜欢现金支付的人数（41～60岁）＝参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例−15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再将条形统计图补充完整即可得出结论； （3）根据喜欢支付宝支付方式的人数＝社区居民人数×支付宝支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论． 【详解】（1）（100＋75）÷35%＝500（人）． 答：参与问卷调查的总人数为500人； （2）500×15%−15＝60（人）． 图略； （3）5000×（1−35%−10%−15%）＝2000（人）． 答：这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数约为2000人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）观察统计图找出数据，再列式计算；（2）通过计算求出喜欢现金支付的人数（41～60岁）；（3）根据样本的比例×总人数，估算出喜欢支付宝支付方式的人数． 21. 在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： （1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； （2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 【答案】（1） 证明：∵点D，E为，的中点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴四边形是矩形． （2） 解：取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，矩形的判定的知识． （1）由三角形中位线定理可得，，由旋转可得，，所以四边形是矩形． （2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，可证明，则四边形就是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵点，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， 由题意：，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． （1）将点代入函数解析式求出，即可得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再将代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵经过点， ∴． 解得：． ∴二次函数的解析式为． ∴对称轴为直线．顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：二次函数的解析式化为． ∵把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移个单位， ∴平移后新二次函数的解析式为． ∵平移后图图象经过点， ∴． 解得：． 23. 在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： （1）求出乙车的速度． （2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． （3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 【答案】（1） （2） （3）乙车的速度应减小，减小的值为km/h 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，从函数图象中获取信息， 对于（1），根据图象可知A，B两地相距100km，乙车先出发行驶到两车相距70km时，用时0.5h，再根据路程，时间，速度的关系求出答案； 对于（2），先求出甲车的速度，再根据相遇后距离为30km，相当于甲，乙共同行驶了100km，即可求出行驶时间； 对于（3），先根据两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为1.75，求出乙车速度，再作差可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：，故乙先到目的地， ． ∵相遇后距离为30km， ∴甲，乙共同行驶了100km， ∴甲行驶时间为：； 【小问3详解】 解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75， ∴此时乙车速度应为：100÷1.75＝（km/h）， （km/h）， ∴乙车的速度应减小，减小的值为km/h． 24. 如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，． 【证明体验】 （1）求证：． 【思考探究】 （2）如图2，连结，交于点，作交于点． ①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由． ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 【答案】 （1）证明：∵已知内接于点是上的一点， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：，理由如下： 如图，在上截取，连接，     ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）结合圆内接四边形以及三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）①在上截取，连接，先证明，结合， 得，即可证明； ②如图，在上截取，连接，与①同理得，根据经过圆心，得，即，得，代数得，结合，所以，再证明，代入数值得，整理得，解得，则，运用面积公式列式，再化简，即可作答． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∵经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的相关运算，圆内接四边形，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省杭州市余杭区部分学校中考二模数学试卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照荅题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列实数中，属于无理数的是 （ ） A. B. 0.4 C. 0 D. 2. 由4个相同小正方形体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，在1月份累计获得亿用户，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 将下面数据分组：83，85，87，89，84，85，86，88，87，90，这组的频数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，把一根长为的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将它悬挂．在中点的左侧与中点的距离为处挂一个重的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点时，弹簧秤的读数应为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为6的菱形中，，点在边上，连接，将绕顶点按顺时针方向旋转得到，连接，．当时，的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 9 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式∶________． 12. 下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数的平均数是______． 天数 3 1 1 1 1 气温 25 23 20 27 30 13. 如图，在，点D，E分别在边上，，且，则的值为______． 14. 如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v大于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg． 15. 《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于x的方程为______． 16. 如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 火箭发射升空的示意图如图所示．火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；1后火箭到达点，此时测得仰角为，根据以上信息，解答下列问题： （1）求的度数； （2）求的长（结果保留一位小数）．（参考数据：） 20. 为了解某社区20~60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求参与问卷调查的总人数． （2）补全条形统计图． （3）该社区中20~60岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数． 21. 在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： （1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； （2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线：经过点． （1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（）个单位，图象恰好经过点，求n的值． 23. 在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发．下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（）的函数关系图象．请根据图象信息解答下列问题： （1）求出乙车的速度． （2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间． （3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量． 24. 如图1，已知内接于，点是上的一点，连结，． 【证明体验】 （1）求证：． 【思考探究】 （2）如图2，连结，交于点，作交于点． ①试猜想，，之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由． ②如图3，若经过圆心，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $