精品解析：江苏省扬州市新华中学2024-2025学年高二下学期第二阶段练习（5月）数学试题

扬州市新华中学高二年级第二学期第二阶段练习 数学试卷 （满分150分 时间120分） 一、单选题： 1. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 2. 某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列导数运算中错误是（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 从3名男生、2名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 24 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（ ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A. 23 B. 29 C. 36 D. 43 二、多选题： 9. 已知，则（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生概率为 D. 已知随机变量的分布列为，则 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 当时，函数极小值点为1 B. 若在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的递减区间为 D. 若方程有三个实数解，则 三、填空题： 12. 2025年第三届贵州“村超”总决赛阶段比赛正式拉开帷幕，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村赛进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多2名学生，则不同的安排方法种数为________ 13. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为________ 14. 《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”.从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成__________个不同的“鳖臑”. 四、解答题： 15. 给出下列条件:①若展开式前三项二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 16. 2022年秋季开始，劳动课程将正式成为中小学的一门独立课程，根据2022年版义务教育“新课标显示”，清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与健康、农业生产劳作等任务，将贯穿不同的年级．某校为了贯彻落实教育部要求，调查了在校高中生一周参加劳动的时间，所得结果统计如图所示． （1）求a的值； （2）以频率估计概率，若在该市所有学生中随机抽取4人，记一周的劳动时间在的学生人数为X，求X的分布列以及数学期望． 17. 新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表. 质量差（单位：） 56 67 70 78 86 件数（单位：件） 10 20 48 19 3 （1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率）的值； （2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件. （i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，， 18. 已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面 （1）证明：平面； （2）已知点M是线段上一点， ①若，求点M到平面的距离； ②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值． 19. 已知函数，其中． （Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式 恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学高二年级第二学期第二阶段练习 数学试卷 （满分150分 时间120分） 一、单选题： 1. 若，则的值可以是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】由可得或，解得或， 故选：A 2. 某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当时该质点的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得的值，即可得到答案. 【详解】由位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为， 可得，所以， 即当时该质点的瞬时速度为. 故选：B. 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，，共面，可设，由此可求的值. 【详解】因为，，共面，可设，即， 得：. 故选：A 4. 下列导数运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用求导法则对选项逐一判断正误即可. 【详解】对于选项A：常数的导数为0，因为为常数，所以选项A正确； 对于选项B：利用分式求导公式得：，所以B错误. 对于选项C：，所以C正确； 对于选项D：，所以D正确. 故选：B. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为， 所以， 则点到直线的距离为. 故选：C. 6. 从3名男生、2名女生中选2人分别担任班长和副部长，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的方法数为（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出选到1名男生和1名女生、2名男生的排列数，求和即可. 【详解】满足条件的有两类：①选到1名男生和1名女生分别担任班长和副班长，有种方法； ②选到两名男生分别担任班长和副班长，有种方法.共有18中方法. 故选：C 7. 已知，，，下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的概率公式计算可得. 【详解】因为，即， 又，， 所以，故A错误； 又，故B正确； ，故D错误； ，故C错误. 故选：B 8. 《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、，B、、C、、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到，，、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩～，那么D等级的原始分最高大约为（ ） 附：①若～，，则Y～；②当Y～时，. A. 23 B. 29 C. 36 D. 43 【答案】B 【解析】 【分析】由于原始分与对应等级分的分布情况是相同的，由等级分40即有原始分，结合原始分满足～的正态分布即可得均值和标准差，而且知，即有求解即可 【详解】由题意知：～则有， 设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40 ，而等级分40 ∴有原始分 而，由对称性知 ∴有，即 故选：B 【点睛】本题考查了正态分布的应用，根据两个有相同分布情况的数据集概率相等，由已知数据集上某点上的概率找到另一个数据集上有相等概率的点，即可找到等量关系，进而求点的位置。注意正态分布的对称性应用 二、多选题： 9. 已知，则（ ） A. B. C. 除以5所得的余数是1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误. 【详解】选项A，因为，令，得到，所以选项A正确； 选项B，因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以， 由，令，得到， 令，得到， 所以，所以选项B错误； 选项C，因为， 所以除以5所得的余数是1，选项C正确； 对于选项D，因为， 两边同时对求导，得到， 令，得到，所以选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若随机变量，则方差 C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性质计算后非商业性A，由二项分布的方差公式胶方差的性质计算后判断B，由古典概型概率公式计算概率后判断C，由随机变量分布列的性质求解判断D． 【详解】A．，A正确； B．，，B错误； C．至少有一名女生的概率为，C错； D．，，，D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，则下列正确的是（ ） A. 当时，函数的极小值点为1 B. 若在区间上单调递增，则 C. 当时，函数的递减区间为 D. 若方程有三个实数解，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数正负来判断单调性即可得极值点，可判断A，利用单调函数在区间内导数恒大于或等于0，再结合分离参变量法可判断B，利用导数小于0可判断C，利用求导判断单调性作图可利用数形结合来判断D. 【详解】对于A，当时，函数求导得：， 当或时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 则函数的极小值点为1，故A正确； 对于B，由于，若在区间上单调递增， 则，由于， 则当时，，即，故B错误； 对于C，当时，函数求导得：， 由，解得， 所以函数的递减区间为，故C正确； 对于D，由当时，函数求导得：， 当或时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 可得函数的极小值点为1，且， 函数的极大值点为，且， 由于当时，，当时，，作函数的图象如下： 所以要使方程有三个实数解，则，故D错误； 故选：AC. 三、填空题： 12. 2025年第三届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村赛进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多2名学生，则不同的安排方法种数为________ 【答案】90 【解析】 【分析】根据部分平均分组分配方法，求出不同的安排方法种数. 【详解】5人分三组，每个组至多2人，则分组情况为：2人，2人，1人. 那么按照部分平均分组分配不同情况共有种. 故答案为：90. 13. 已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，再确定单调性并解不等式即得. 【详解】令函数，由，得， 因此函数在R上单调递减，而， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“鳖臑”.从正方体的8个顶点中选择4个顶点，可组成__________个不同的“鳖臑”. 【答案】24 【解析】 【分析】先分析顶点处“鳖臑”个数，然后根据正方体的性质可求出所有“鳖臑”的个数. 【详解】在正方体中，取三棱锥，， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，所以三棱锥为“鳖臑”， 同理可得三棱锥，，都为“鳖臑”， 所以顶点处有12个“鳖臑”， 所以8个顶点为个，但每个“鳖臑”都重复4次， 所以“鳖臑”的个数为24个， 故答案为：24 四、解答题： 15. 给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1）和 （2），， 【解析】 【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项. （2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项. 小问1详解】 二项展开式的通项公式为： . 若选①，则由题得， ∴，即， 解得或(舍去)，∴. 若选②，则由题得，∴， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为， ， 【小问2详解】 由（1）可得二项展开式的通项公式为： . 当即时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为: ，，. 16. 2022年秋季开始，劳动课程将正式成为中小学的一门独立课程，根据2022年版义务教育“新课标显示”，清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与健康、农业生产劳作等任务，将贯穿不同的年级．某校为了贯彻落实教育部要求，调查了在校高中生一周参加劳动的时间，所得结果统计如图所示． （1）求a的值； （2）以频率估计概率，若在该市所有学生中随机抽取4人，记一周的劳动时间在的学生人数为X，求X的分布列以及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为1 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1，即可求解； （2）根据条件确定，再根据二项分布概率公式求概率和数学期望. 【小问1详解】 由题意可知，， 得； 【小问2详解】 劳动时间在的频率为， 则， ，， ， ， 分布列为 0 1 2 3 4 . 17. 新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表. 质量差（单位：） 56 67 70 78 86 件数（单位：件） 10 20 48 19 3 （1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率）的值； （2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件. （i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，， 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先由表格计算平均数，再根据正态分布三段区间公式计算概率即可； （2）（i）根据全概率公式计算即可，（ii）根据贝叶斯公式计算即可. 【小问1详解】 由得： 【小问2详解】 （i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， “随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， “随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则由题意可知， 又， 于是 . （ii）. 18. 已知平面四边形中，，且．以为腰作等腰直角三角形，且，平面平面 （1）证明：平面； （2）已知点M是线段上一点， ①若，求点M到平面的距离； ②若直线与平面夹角的正弦值是，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①,② 【解析】 【分析】（1）根据已知有，再由面面垂直的判定得平面，进而有，再由已知得，且，即为等腰直角三角形，故，最根据线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，①若求得，再求出平面的一个法向量，再求平面的法向量，结合点到平面结论的向量求法求结论；②应用向量法求线面角的正弦值的不等式，由条件列方程求，再求平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 因为为等腰直角三角形，且，所以， 由平面平面，平面平面平面， 所以平面，而平面，则， 由，则为直角梯形，故， 由，可得等腰直角三角形， 故，，且， 所以为等腰直角三角形，故， 又，平面， 则平面． 【小问2详解】 由（1）平面，构建如图示空间直角坐标系，    所以， 若，则， 所以， 令是平面的一个法向量， 则， 取，则， 所以是平面的一个法向量， 而，，， 设是平面的一个法向量， 所以， 取，可得， 所以是平面的一个法向量， 所以， 所以点到平面PBC的距离是； ②设，其中，所以， 因为平面的一个法向量为，直线与平面夹角的正弦值是， ， 所以． 所以，解得：或者（舍） 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以， 令得，， 所以是平面一个法向量， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，得， 所以是平面的一个法向量， 所以， 设二面角为 则， 所以二面角的正弦值为. 19. 已知函数，其中． （Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式 恒成立． 【答案】（1）不能（2） 【解析】 【详解】试题分析： （Ⅰ）假设函数的图象能与轴相切．设切点为，根据导数的几何意义得到关于的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为,设，则问题等价于对任意恒成立，故只需函数在R上单调递增，因此在R上恒成立即可，由可得 ，即为成立的必要条件，然后再证时，即可得到结论． 试题解析： （Ⅰ）∵， ∴． 假设函数的图象与轴相切于点， 则有， 即． 显然，将代入方程中可得． ∵， ∴方程无解． 故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切． （Ⅱ）由题意可得原不等式可化为， 故不等式在R上恒成立． 设，则上式等价于， 要使对任意恒成立， 只需函数在上单调递增， ∴在上恒成立． 则，解得， ∴在上恒成立的必要条件是：． 下面证明：当时，恒成立． 设，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． ∴，即． 则当时，，； 当时，，． ∴恒成立． 所以实数的最大整数值为3． 点睛： （1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立． （2）解答本题的关键是构造函数，将问题转化为函数单调递增的问题处理，然后转化为恒成立，可求得实数a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $