2025届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三四模数学试卷

2025年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知命题p：，，则命题p的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 3.设，为两个平面，则的充要条件是(    ) A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面 4.展开式中的常数项是(    ) A. 15 B. 20 C. 1 D. 6 5.向量，，则向量在方向上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 6.已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为(    ) A. 18 B. C. D. 7.已知是函数的极值点，则函数的极小值为(    ) A. B. C. 0 D. e 8.已知，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.有1000人的某工厂举行知识竞赛，为了了解竞赛成绩满分100分，90分及以上为优秀，从中抽取50人的成绩进行统计，得到样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    ) A. B. 估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为40 C. 估计该工厂竞赛成绩的中位数为75 D. 估计该工厂竞赛成绩的平均数大于75 10.已知函数，则(    ) A. 是偶函数 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 在有两个零点 11.已知曲线C：，则(    ) A. 曲线C的图象关于y轴对称 B. 曲线C上任意一点横坐标的最小值为 C. 曲线C与y轴围成封闭图形的面积大于 D. 直线与曲线C有三个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知i是虚数单位，是关于x的方程其中a，的一个根，则______. 13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则______. 14.双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，内切圆半径为1，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，， Ⅰ求，的通项公式； Ⅱ若，求数列的前2n项和 16.本小题15分 在圆上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，记线段PD的中点轨迹为 Ⅰ求的轨迹方程； Ⅱ过点的直线l与轨迹交于A，B两点，O为坐标原点，面积为，求直线l的方程. 17.本小题15分 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，D为AB的中点，底面为等腰直角三角形，， 求证：平面； 求二面角的余弦值. 18.本小题17分 甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的. 当时，求甲最终获胜的概率； 为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得分：方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大. 19.本小题17分 已知函数， Ⅰ解不等式：； Ⅱ函数，求的零点个数； Ⅲ若恒成立，求实数a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：命题p：，， 则命题p的否定为：， 故选： 存在改任意，将结论取反，即可求解． 本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题． 2.【答案】D  【解析】解：由，可得且， 解得， 所以集合， 又因为集合， 所以 故选： 先求出集合A，B，再利用集合的交集运算求解． 本题主要考查了分式不等式的解法，考查了对数函数的性质，以及集合的交集运算，属于基础题． 3.【答案】B  【解析】解：内有无数条直线与平行，不一定有，也可能相交，故A错误； 内有两条相交直线与平行，则，反之成立，故B正确； ，平行于同一条直线，不一定有，也可能相交，故C错误； ，垂直于同一平面，不一定有，也可能相交，故D错误． 故选： 由平面与平面平行的判定逐一分析四个选项得答案． 本题考查平面与平面平行的判定，考查充分必要条件的应用，是基础题． 4.【答案】A  【解析】解：展开式中的常数项是 故选： 根据二项式的特征及二项式定理的性质可知其常数项为，再由组合数公式求出常数项即可 本题考查二项式定理，解题的关键是熟练掌握二项式系数的性质及组合数公式． 5.【答案】D  【解析】解：因为，， 所以，， 所以向量在方向上的投影向量为 故选： 由向量投影的定义式计算即可． 本题考查投影向量的求解，属于基础题． 6.【答案】B  【解析】解：正四棱台的体积为，，， 设棱台的高为h，斜高为， 则，即， 所以， 该四棱台的表面积为 故选： 结合棱台的体积公式求出高，进而可求斜高，然后结合面积公式即可求解． 本题主要考查棱台的体积及表面积的求解，属于基础题． 7.【答案】A  【解析】解：， 因为是函数的极值点，所以，即， 所以， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值 故选： 先对函数求导，结合导数与单调性及极值关系即可求解． 本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题． 8.【答案】C  【解析】解：因为，，，即， 所以，所以， 设，，x，，则， 所以， 当且仅当时取得最小值，此时， 所以的最小值为 故选： 根据题意，得出，即，设，，x，，，计算，利用基本不等式求出的最小值． 本题考查了三角函数的求值运算问题，是基础题． 9.【答案】AB  【解析】解：根据题意可得， 解得，所以A选项正确； 因为90分及以上的频率为， 所以估计该工厂竞赛成绩优秀的人数为，所以B选项正确； 因为前几组的频率依次为，，， 所以中位数在内，且为，所以C选项错误； 估计该工厂竞赛成绩的平均数为： ，所以D选项错误． 故选： 根据频率分布直方图的性质，针对各个选项分别求解即可． 本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题． 10.【答案】ABC  【解析】解：因为， 可得，偶函数，但不是周期函数． 如图所示： A中，可知A正确； B中，由图像知最大值为，所以C正确； C中，由图像知函数的最小值为，所以C正确； D中，由图像知，不正确． 故选： 由函数的解析式可得分段函数的部分，进而判断出所给命题的真假． 本题考查数形结合及分段函数的最值的求法，属于中档题． 11.【答案】BC  【解析】解：对于选项A，点代入方程，那么关于x轴对称，因此A选项错误； 对于选项B，令，那么导函数，令函数， 函数在递增，根据及对称性可得图象，可知函数的横坐标的最小值为，因此选项B正确； 选项C中，联立方程和方程， 令函数，那么导函数，且，因此选项C正确； 选项D中，联立方程和函数， 令函数，导函数，且，，有一个零点．因此选项D错误． 故选： 由函数的性质逐一判断所给的命题的真假． 本题考查函数的零点的判断及用导数的方法判断函数的零点，属于中档题． 12.【答案】0  【解析】解：是关于x的方程其中a，的一个根， 是关于x的方程其中a，的另一个根， 则，即，， 可得 故答案为： 由实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系列式求解． 本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题． 13.【答案】2或  【解析】解：由余弦定理可得：， 因为，， 所以，即， 所以，解得或 故答案为：2或 由余弦定理和条件可得，解关于的方程即可． 本题考查余弦定理的应用，属于基础题． 14.【答案】10  【解析】解法1：设，，，则，即① 由余弦定理，得， 整理，得②， 设，则得，③ 联立①②③，得，解得，即 解法2：设，，， 则，又， 则，， 解法3：设，， ， 由双曲线的定义可知，内切圆与x轴切在双曲线的顶点处，则， ， 解得，， 即  故答案为： 解法1：设，，，利用三角形面积公式结合余弦定理求解即可； 解法2：设，，利用焦半径公式，，结合三角形面积公式求解即可； 解法3：设，，利用双曲线定义、性质结合三角形面积公式求解即可． 本题考查双曲线的标准方程及性质的应用，考查圆与圆锥曲线的综合运用，属于中档题． 15.【答案】Ⅰ，；Ⅱ  【解析】Ⅰ设等差数列的公差为d， 各项都为正数的等比数列的公比为q，， 由，，，， 可得，，解得， 则，； Ⅱ， 可得数列的前2n项和 Ⅰ由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求； Ⅱ运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式与求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 16.【答案】Ⅰ Ⅱ或  【解析】Ⅰ设点，则点， 由点M是线段PD的中点， 得， 因为点在圆上，所以……① 把，代入方程①，得，即的轨迹方程： Ⅱ依题意，设直线l：，，， 联立，消去x整理得， 则，由韦达定理得，， 所以， 直线l的方程为：或 Ⅰ设点，则点，推出，代入圆的方程，即可求解的轨迹方程． Ⅱ设直线l：，，，联立，利用韦达定理，结合三角形的面积，求解t，得到直线方程． 本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题． 17.【答案】解：证明：为AB的中点，，， 又四边形为菱形，D为AB的中点，，， 可得，，，，， 平面，平面，， 平面 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可知：，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，得， 设平面的法向量， 则，令，则，，得， 又二面角为锐二面角，设二面角为， ， 即二面角的余弦值为：  【解析】利用等腰三角形三线合一可得；利用勾股定理可证得；根据线面垂直判定定理可证得结论； 以D为原点建立空间直角坐标，利用空间向量法求解出平面和平面的法向量，利用数量积计算夹角，可求得二面角的余弦值． 本题考查线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，要明确的是二面角等于两个平面法向量所成角或所成角的补角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：甲在三局两胜制中获胜的两种可能情况： ①前两局连胜，其概率为， ②前两局一胜一负，第三局胜，其概率为， 所以甲最终获胜的概率为； 方案一：甲获胜得3分，失败得分， 甲获胜的概率为， 所以甲失败的概率为， 所以甲获得积分的数学期望为， 方案二：甲获胜得1分，失败得0分， 甲获胜的概率为， 所以甲失败的概率为， 所以甲获得积分的数学期望为， 则， 令，， 则， 所以在上单调递减， 又因为， 所以当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，选择方案二；当时，选择方案一和方案二相同；当时，选择方案一．  【解析】甲在三局两胜制中获胜的两种可能情况：前两局连胜和前两局一胜一负，第三局胜，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解； 先分别求出两种方案的甲获得积分的数学期望，再利用作差法比较大小． 本题主要考查了独立事件和互斥事件的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题． 19.【答案】； Ⅱ个； Ⅲ  【解析】设 ，， ①当时，，，，不满足题意； ②当时，，，，满足题意； ③当时，，不满足题意； 综上：原不等式的解集为 Ⅱ的定义域为，， 1为的一个零点，且， 关于点对称， 当时，， ， 在为减函数，， ，，， ，， 在为增函数，在为减函数， ， ， 则，，为的一个零点， 由对称性：也为的一个零点，共有，1，三个零点； Ⅲ①当时， 当时，，，，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，，，，满足题意． 满足题意； ②当时，，满足题意；  ③当时，设， ， 设， 则， 当时，，在递减，当k当时，， 当时，，，在单调递增，，满足题意， 当时，关于点中心对称， ，当时，满足题意； 当时，满足题意； 当时，当时，，在递减，，， 存在，使得， 当，，即，单调递减，当时，， 故a的范围为 令，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解； Ⅱ先对求导，结合导数分析其单调性，然后结合函数对称性及零点存在定理即可求解； Ⅲ结合已知不等式，对a的范围进行分类讨论，结合导数与单调性关系及函数性质即可求解． 本题主要考查了导数与单调性关系，函数性质的综合应用，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$