专题04 二元一次方程组（8个经典基础题型＋9个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 二元一次方程组 二元一次方程（组）的定义 1. （23-24七年级下·天津南开·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津河北·期末）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（        ） A． B． C． D． 3. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ． 4. （22-23七年级下·天津蓟州·期末）已知方程是二元一次方程，则 ． 5. （22-23七年级上·天津南开·期末）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 6. （23-24七年级下·天津南开·期末）已知是二元一次方程的解，则的值为 ． 7. （21-22七年级下·天津红桥·期末）方程与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为，那么这个方程可以是（ ） A． B． C． D． 解二元一次方程组 1. （22-23七年级下·天津·期末）把二元一次方程写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 2. （21-22七年级下·天津河西·期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 3. （20-21七年级下·天津·期末）用代入法解方程组时，下列变形正确的是（    ）． A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 4. （23-24七年级下·天津·期末）解下列方程组： (1) (2) 5. （23-24七年级下·天津·期末）解方程组： (1) (2) 6. （21-22七年级下·天津津南·期末）解下列方程组 (1) (2) 7. （21-22七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 8. （24-25七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 9. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）解方程组： (1) (2) 10. （23-24七年级下·天津和平·期末）解方程组 ． 11. （23-24七年级下·天津河东·期末）（1）；    （2）． 12. （22-23七年级下·天津西青·期末）解下列方程组 (1)； (2)． 13. （22-23七年级下·天津红桥·期末）解下列方程组： (1) (2) 14. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）解方程组： (1)； (2)． 15. （22-23七年级下·天津·期末）解下列方程组． (1)   (2) 根据实际问题列出二元一次方程组 1. （23-24七年级下·天津河西·期末）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津北辰·期末）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级下·天津南开·期末）已知一个长方形的周长是．长与宽的差是，设长为，宽为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，它系统地总结战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成．《九章算术》卷第七“盈不足”原文如下：今有共买琎（注释：琎（jīn），像玉的石头），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，如果每人出钱，还多出钱；如果每人出钱，则还差钱．问人数、琎价各是多少？若设有人，琎价为钱，依题意得（    ） A． B． C． D． 5. （20-21七年级下·天津·期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10度．设∠AOC和∠BOC的度数分别为x，y，则下列正确的方程组为（　　） A． B． C． D． 6. （20-21七年级下·天津西青·期末）一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度是xkm/h，第二天行军的平均速度是ykm/h，根据题意列的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7. （22-23七年级下·天津和平·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（　　） A． B． C． D． 8. （22-23七年级下·天津西青·期末）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割水稻3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割水稻8公顷．设一台大收割机和一台小收割机每小时各收割水稻公顷，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9. （22-23七年级下·天津·期末）甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　) A．B． C． D． 10. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）甲、乙二人从相距22的两地同时出发相向而行，经过20相遇，如果甲的速度比乙的速度每分钟多12，求甲乙二人的速度，设甲、乙的速度分别为x，y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 11. （20-21七年级下·天津·期末）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，设有x支篮球队和y支排球队参赛，根据题意，下面列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 12. （23-24七年级下·天津·期末）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组为(   ) A． B． C． D． 13. （23-24七年级下·天津·期末）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 14. （23-24七年级下·天津河东·期末）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 二元一次方程组的应用（分配问题） 1. （20-21七年级下·天津河西·期末）某工厂计划招聘两个工种的工人共120人，两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元．若该工厂每月支付工人的工资为440000元，那么两个工种的工人各招聘多少人？设招聘工种的工人人，招聘工种的工人人， （Ⅰ）根据题意填空：根据题意，列方程组得 （Ⅱ）完成对本题的解答： 2. （22-23七年级上·天津南开·期末）入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元． (1)求A，B两种物资各购进了多少吨？ (2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？ 二元一次方程组的应用（几何问题） 1. （23-24七年级下·天津·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 2. （20-21七年级下·天津·期末）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级下·天津·期末）踩高跷又称为“扎高脚”“缚柴脚”，如图是一位演员踩着长度为身高一半的高跷，脚踏处距高跷顶端，演员踩在高跷上时，“身高”为．设演员的身高为，高跷的长度为，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （23-24七年级下·天津·期末）如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 cm2． 5. （21-22七年级下·天津西青·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． （Ⅰ）若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？ （填“变”或“不变”）． （Ⅱ）若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． ． 二元一次方程组的应用（古代问题） 1. （24-25七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 2. （23-24七年级下·天津河西·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 二元一次方程组的应用（销售、利润问题） 1. （24-25七年级下·天津西青·期末）小林在某商场先后三次购买商品A和B，只有其中一次购买时遇到商场有优惠活动，商品A和B同时按标价打折出售，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品（个） B商品（个） 总费用（元） 第1次 6 5 1140 第2次 3 7 1110 第3次 9 8 1047 （1）在这三次购物中，第 次购物享受了优惠； （2）若在本次优惠活动中商品B打五折优惠，则商品A享受打 折出售的优惠政策． 2. （21-22七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如下表： 月份 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 120 40 17160 第2个月 150 60 22200 求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格． 解题方案：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元， （Ⅰ）根据题意，列出方程组 （Ⅱ）解这个方程组，得 答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为______元，“雪容融”玩具的零售价格为______元． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解思路，你可以依照这个思路接下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 某茶叶店经销A，B两种茶，第一次购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元，求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格． 解题方案：设第一次购进的A种茶每盒的价格为x元，B种茶每盒的价格为y元． (1)根据题章，列出方程组； (2)解这个方程组，得． 答：第一次购进的A种茶每盒的价格为_________元，B种茶每盒的价格为_________元． 三元一次方程组解法及应用 1. （20-21七年级下·天津河北·期末）解方程组时，消去字母z，得到含有未知数x，y的二元一次方程组是 ． 2. （22-23七年级下·天津·期末）三元一次方程组的解是 ． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）在等式 中，当时，；当时，；当时，．则 ， ， ． 4. （20-21七年级下·天津和平·期末）在等式中，当时，；当，；当时，，则a= ，b= ，c= ． 5. （23-24七年级下·天津和平·期末）康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福．小强用压岁钱在花店给妈妈订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数据已用字母替代），请解答下列问题： (1)在收款收据中，的值是______，的值是______，的值是______； (2)小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的．如何搭配费用最少？最少费用为多少元？ 二元一次方程组的特殊解法 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2. （23-24七年级下·天津·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 3. （20-21七年级下·天津和平·期末）解方程组． 4. （23-24七年级下·天津·期末）计算：解方程组 已知二元一次方程的解求参数 1. （20-21七年级下·天津和平·期末）关于，的二元一次方程，当参数取不同的值时就得到不同的方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ） A． B． C． D． 2. （21-22七年级下·天津东丽·期末）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 4. （22-23七年级下·天津东丽·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 5. （23-24七年级下·天津·期末）若关于和的方程组无解，则（    ） A． B． C． D． 6. （22-23七年级下·天津南开·期末）如果是方程组的解，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7. （23-24七年级下·天津河东·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 8. （21-22七年级下·天津·期末）已知是方程组的解，则a－b= ． 9. （22-23七年级下·天津·期末）关于x，y的方程组的解x与y相等，则m的值为 ． 10. （23-24七年级下·天津·期末）如果方程组的解满足，求的值为 . 11. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于，的方程组的解中与的和为，求的值及此方程组的解． 二元一次方程组与不等式（组） 1. （22-23七年级下·天津河北·期末）已知的解满足y﹣x＜1，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＜1 D．k＜﹣ 2. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于x，y的方程组满足，且它的解都是正数． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ． (1)当x、y互为相反数时， ； (2)已知，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 错解复原问题 1. （20-21七年级下·天津和平·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B．－2 C．0 D．－3 2. （23-24七年级下·天津·期末）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 3. （21-22七年级下·天津和平·期末）解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到解，求的值（    ） A． B． C． D． 二元一次方程组的实际应用（方案问题） 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2. （23-24七年级下·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2) 若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有__________人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？ 4. （23-24七年级下·天津南开·期末）某工厂车间开发了一款新式机器，计划月份生产安装这款新式机器台、车间决定招聘一些新工人（他们经过培训后也能独立进行安装），再从其他车间抽调出足够的熟练工人完成安装任务．调研部门发现：名熟练工和名新工人每日可安装台新式机器：名熟练工和名新工人每日可安装台新式机器． (1)求每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少台新式机器； (2)如果工厂招聘名新工人（，且为整数），并抽调出名熟练工人，使得招聘的名新工人和抽调的名熟练工刚好能完成月份（天）的安装任务．且一名新工人的日工资为元，一名熟练工人的日工资为元． 请根据上述信息填空： 当______，_______．时，工厂车间为所有工人开设日工资最少，为_________元． 二元一次方程组与不等式（组）的方案问题 1. （21-22七年级下·天津和平·期末）某电器商城准备销售每台进价分别为200元、150元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一个月 3台 5台 2300元 第二个月 4台 10台 4000元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于5500元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为2100元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 2. （20-21七年级下·天津滨海新·期末）为配合城市“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元． （1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？ （2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．如果黄老伯培育这些花木总利润不少于18000元，培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，那么黄老伯至少培育甲种花木多少株？ 3. （21-22七年级下·天津红桥·期末）为了防治“新型冠状病毒”，学校准备到药店采购甲、乙两类口罩．经了解，包甲类口罩和包乙类口罩共需元，包甲类口罩比包乙类口罩多元． (1)求每包甲类口罩和每包乙类口罩各多少元？（列方程或方程组解决） (2)若学校要求购买甲类口罩比乙类口罩少少包，甲类口罩和乙类口罩总包数不低于包，总费用不超过元，请求出所有符合条件的购买方案． 4. （23-24七年级下·天津·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元．则甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金不多于4300元，且销售完这批商品获利多于1260元，商店有哪几种购货方案？哪种购货方案销售利润最大？请说明理由． 二元一次方程组的应用（数字问题） 1. （23-24七年级下·天津·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 2. （21-22七年级下·天津津南·期末）有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是 ． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）将9个数填入正方形的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图①就是填好的一个正方形，图②中已经填好一部分数字．    （1）图②中是否存在正整数x，y满足上述条件？ （填“是”或“否”）． （2）若图②中存在正整数x，y满足上述条件，请写出x与y的乘积：若不存在，请说明理由． ． 4. （23-24七年级下·天津和平·期末）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与虚数无法合并） (1)填空：______，______； (2)已知，求的值． 二元一次方程组代数综合题 1. （21-22七年级下·天津和平·期末）已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若、、都是非负数，且，求的取值范围； (3)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个固定解． 2. （22-23七年级下·天津·期末）已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)若点在第四象限，并且到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 二元一次方程组其他应用 1. （23-24七年级下·天津·期末）若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 2. （23-24七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． (1)判断点A在第几象限，说明理由． (2)求点B的坐标． (3)有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3. （22-23七年级下·天津东丽·期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，且，满足关于，的二元一次方程． (1)求，的坐标． (2)点为轴负半轴上的一个动点，如图，，当时，与的平分线交于点，求的度数． 4. （23-24七年级下·天津和平·期末）在图1中，已知和内一点P，以P为顶点画，使的两边分别和的两边垂直．    (1)按要求将图1补充完整，则与之间的数量关系是____________； (2)若点P在的外部，以P为顶点画，使的两边分别和的两边垂直．请分别在图2和图3中画出符合要求的图形，（1）中的结论还成立吗？请给出证明． (3)由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角______． (4)应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数分别是____________． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组 二元一次方程（组）的定义 1. （23-24七年级下·天津南开·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的等式叫做二元一次方程．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、只含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，但最高次数是次，不符合题意； 故选：B． 2. （22-23七年级下·天津河北·期末）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：因为A选项中含有三个未知数，因此不是二元一次方程组，不符合题意； 因为B选项中含有分式，因此不是二元一次方程组，不符合题意； 因为C选项中含有二次项，因此不是二元一次方程组，不符合题意； 因为D选项中是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1． 3. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）若是关于x，y的二元一次方程，那么的值为 ． 【答案】8 【分析】根据二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的整式方程，叫二元一次方程，求出k的值，再把k的值代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，求代数式的值，解题的关键是掌握二元一次方程定义． 4. （22-23七年级下·天津蓟州·期末）已知方程是二元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】根据未知数的次数是1列式求出m和n的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键． 5. （22-23七年级上·天津南开·期末）方程是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义，含有两个未知数，且未知项的次数是1的整式方程是二元一次方程，是解题的关键． 6. （23-24七年级下·天津南开·期末）已知是二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意把代入，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 7. （21-22七年级下·天津红桥·期末）方程与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解为，那么这个方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的定义及二元一次方程组的定义求解． 【详解】解：把方程组的解代入A，左边=6−16=−10≠16，故不是A的解； B是分式方程，不是二元一次方程，故排除B； 把方程组的解代入C，左边=+4≠0，故不是C的解； 把方程组的解代入D，左边=2（2+4）=12，右边=12，故是D的解； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代入验证是解题的关键． 解二元一次方程组 1. （22-23七年级下·天津·期末）把二元一次方程写成用含y的式子表示x的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意“用的代数式表示”，所以首先把二元一次方程中的移至等号右边，然后把的系数化为，即可得出正确选项． 【详解】解：， 移项得：， 把系数化为1得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，解本题的关键是熟练掌握等式的基本性质． 2. （21-22七年级下·天津河西·期末）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用代入消元法将①代入②消去得到即可解答． 【详解】解：， ①代入②，可得：， 解得， 把代入①，可得：， ∴原方程组的解是， 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法—代入消元法，掌握二元一次方程的解法是解题的关键． 3. （20-21七年级下·天津·期末）用代入法解方程组时，下列变形正确的是（    ）． A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】由题意依据等式的基本性质进行移项变形，进而依次进行分析判断即可. 【详解】解：A. 由①，得，故A错误； B. 由①，得，故B正确； C. 由②，得，故C错误； D. 由②，得，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题考查用代入法解方程组，注意掌握等式的基本性质并利用其进行变形是解题的关键. 4. （23-24七年级下·天津·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 解：把①代入②，得  ． 解得． 把代入①，得． 所以这个方程组的解是； （2） 解：，得③ ①＋③，得， 解得． 把代入②得，， 解得 ． 所以这个方程组的解是． 5. （23-24七年级下·天津·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行运算即可． 【详解】（1） 得， 解得：， 将代①入得， ； 则该方程组的解为； （2） 原方程组可变形为 得 解得：， 将代入得 解得： 则该方程组的解为 6. （21-22七年级下·天津津南·期末）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解． 【详解】（1）解： 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 故原方程组的解为：； （2）解：， ①－②×2得： ， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 故原方程组的解为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，能够根据题目特点灵活选择代入法或消元法是解题的关键． 7. （21-22七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把方程①代入方程②，先求解y，再求解x，从而可得答案； （2）先把方程组整理为：，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得： 解得： 把代入①得： ∴方程组的解为： （2） 整理得： ①+②得： 解得： 把代入①得： ∴方程组的解为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组是解法，掌握“代入消元法与加减消元法解方程组”是解本题的关键． 8. （24-25七年级下·天津西青·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解二元一次方程组，解题关键在于需要熟练掌握运算法则． （1）根据代入消元法，可得答案； （2）先将方程去分母，再用加减消元法解方程组． 【详解】（1）解： 解：①代入②，得，解这个方程，得． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是； （2）解：原方程组可以化简为 ，得，解得． 把代入①，得． ∴这个方程组的解是． 9. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】应用代入法，和加减消元法，即可求解， 本题考查了代入法、加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是：熟练掌握解二元一次方程组的方法． 【详解】（1）解：， 由①得③， 把③代入②，得， 把代入①得， 所以原方程组的解为； （2）解：， 整理得， 由②＋①，得， 把代入②，得， 所以原方程组的解为． 10. （23-24七年级下·天津和平·期末）解方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，先把方程组整理为，再直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 11. （23-24七年级下·天津河东·期末）（1）；    （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题运用了加减消元法和代入消元法求解二元一次方程组， （1）用代入消元法求解即可； （2）整理后用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）， 将①代入②中得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为． 12. （22-23七年级下·天津西青·期末）解下列方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）原方程组整理得， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程组，熟练掌握并应用解方程组的方法是解题的关键． 13. （22-23七年级下·天津红桥·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程利用代入消元法求出解即可． （2）方程利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 将代入中得，， 解得：， 代入中，解得： 故方程组的解为： （2）原方程组可变为：， ①×2-②得：， 解得：， 把代入①中，得：， 所以方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 14. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ①式代入②式得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， 将代入①式得，， ∴二元一次方程组的解为； （2）解：， ①式去分母得，， 则， 将代入②式得，， 去括号得，， 去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， 将代入得， ∴二元一次方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的运算． 15. （22-23七年级下·天津·期末）解下列方程组． (1)   (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用代入消元法求解即可． （2）采用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把①代入②，得 ． 解得：． 把代入①，得． 所以这个方程组的解是 （2）解：，得 ，得． 解得． 把代入，得． 解得． 所以这个方程组的解是 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，牢记加减消元法和代入消元法的步骤是解题的关键． 根据实际问题列出二元一次方程组 1. （23-24七年级下·天津河西·期末）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子；下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可． 【详解】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意，得： ； 故选A． 2. （22-23七年级下·天津北辰·期末）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 3. （23-24七年级下·天津南开·期末）已知一个长方形的周长是．长与宽的差是，设长为，宽为，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“长方形的周长是．长与宽的差是”列方程组即可求解，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 【详解】解：设长为，宽为， 由题意可得：，即：， 故选：C． 4. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，它系统地总结战国、秦、汉时期的数学成就，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成．《九章算术》卷第七“盈不足”原文如下：今有共买琎（注释：琎（jīn），像玉的石头），人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、琎价各几何？译文：今有人合伙买琎石，如果每人出钱，还多出钱；如果每人出钱，则还差钱．问人数、琎价各是多少？若设有人，琎价为钱，依题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有人，琎价为钱，根据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设有人，琎价为钱， 由题意可得，， 故选：． 5. （20-21七年级下·天津·期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10度．设∠AOC和∠BOC的度数分别为x，y，则下列正确的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10°，得方程x＝2y+10；然后由平角可建立方程组，则问题得解． 【详解】解：根据∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10°，得方程x＝2y+10；根据∠AOC和∠BOC组成了平角，得方程x+y＝180． 列方程组为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 6. （20-21七年级下·天津西青·期末）一支部队第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度是xkm/h，第二天行军的平均速度是ykm/h，根据题意列的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“第一天行军4h，第二天行军5h，两天共行军98km，且第一天比第二天少走2km，设第一天行军的平均速度是xkm/h，第二天行军的平均速度是ykm/h”列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：A． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 7. （22-23七年级下·天津和平·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据“黄金9枚和白银11枚的重量相等，黄金8枚和白银1枚的重量比黄金1枚白银10枚轻13两”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 依题意，得： 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. （22-23七年级下·天津西青·期末）2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割水稻3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割水稻8公顷．设一台大收割机和一台小收割机每小时各收割水稻公顷，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割水稻3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割水稻8公顷” 列出二元一次方程组解答即可； 【详解】解：设一台大收割机和一台小收割机每小时各收割水稻公顷，根据题意可得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是弄清题意，找到合适的数量关系． 9. （22-23七年级下·天津·期末）甲、乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　) A．B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可得，顺水速度为：，逆水速度为：，所以根据所走的路程可列方程组为，故选A． 10. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）甲、乙二人从相距22的两地同时出发相向而行，经过20相遇，如果甲的速度比乙的速度每分钟多12，求甲乙二人的速度，设甲、乙的速度分别为x，y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“甲、乙二人从相距的两地同时出发相向而行，经过相遇；甲的速度比乙的速度每分钟多”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：甲的速度比乙的速度每分钟多， ； 甲、乙二人从相距的两地同时出发相向而行，经过相遇， ． 根据题意可列出方程组． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11. （20-21七年级下·天津·期末）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，设有x支篮球队和y支排球队参赛，根据题意，下面列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用48支队和520名运动员作为等量关系列方程即可． 【详解】由题意，得， 故选：D． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据条件建立二元一次方程组是关键． 12. （23-24七年级下·天津·期末）现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身，或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个盒子．设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底正好配套，则可列方程组为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y，列出方程组即可． 【详解】∵ 铁皮数的和是190，制作盒身数为8x，盒底数为22y，根据盒身：盒底=1:2，得到8x：22y=1：2即2×8x=22y， ∴列方程组，得， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，特别是一个盒身与两个盒底配成一个盒子的意义是解题的关键． 13. （23-24七年级下·天津·期末）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 14. （23-24七年级下·天津河东·期末）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤（古代斤=两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 二元一次方程组的应用（分配问题） 1. （20-21七年级下·天津河西·期末）某工厂计划招聘两个工种的工人共120人，两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元．若该工厂每月支付工人的工资为440000元，那么两个工种的工人各招聘多少人？设招聘工种的工人人，招聘工种的工人人， （Ⅰ）根据题意填空：根据题意，列方程组得 （Ⅱ）完成对本题的解答： 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析． 【分析】（Ⅰ）根据“聘两个工种的工人共120人”和“该工厂每月支付工人的工资为440000元”建立方程组即可； （Ⅱ）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】解：（Ⅰ）由题意，列方程组为； （Ⅱ）上面的方程组整理得：， 解得：，且符合题意， 答：招聘工种的工人50人，招聘工种的工人70人． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确找出等量关系，建立方程组是解题关键． 2. （22-23七年级上·天津南开·期末）入秋后，某地发生了洪灾，红星集团及时为灾区购进A，B两种抗洪物资80吨，共用去200万元，A种物资每吨2.2万元，B种物资每吨3.4万元． (1)求A，B两种物资各购进了多少吨？ (2)该集团租用了大、小两种货车若干辆将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和2吨B种物资，每辆小货车可运5吨A种物资和2.5吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？ 【答案】(1)A种物资购进了60吨，B种物资购进了20吨 (2)租用的大货车为5辆，小货车为4辆 【分析】（1）设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨，根据题意列二元一次方程组即可求解． （2）设租用的大货车为m辆，小货车为n辆，根据题意列二元一次方程组即可求解． 【详解】（1）解：设A种物资购进了x吨，B种物资购进了y吨， 由题意得： 解得：， 答：A种物资购进了60吨，B种物资购进了20吨； （2）解：设租用的大货车为m辆，小货车为n辆， 由题意得：， 解得：， 答：租用的大货车为5辆，小货车为4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确列出方程是解题关键． 二元一次方程组的应用（几何问题） 1. （23-24七年级下·天津·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，则其中一个小长方形花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃的长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故选：C． 2. （20-21七年级下·天津·期末）在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设长方形的长和宽为未数，根据图示可得到关于xy的两个方程，可求答案． 【详解】设小长方形的长为x，宽为y，如图可知，． 故选：A． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 3. （23-24七年级下·天津·期末）踩高跷又称为“扎高脚”“缚柴脚”，如图是一位演员踩着长度为身高一半的高跷，脚踏处距高跷顶端，演员踩在高跷上时，“身高”为．设演员的身高为，高跷的长度为，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得等量关系：长木跷长度恰好是其身高一半；身高-28cm+长木跷的长度=224cm，然后再列出方程组即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 4. （23-24七年级下·天津·期末）如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 cm2． 【答案】400 【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形宽的4倍小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积． 【详解】解：设一个小长方形的长为，宽为， 则可列方程组， 解得， 则一个小长方形的面积， 故答案为：400． 【点睛】此题考查方程组的应用问题，解题的关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，并弄清小长方形的长与宽的关系． 5. （21-22七年级下·天津西青·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示． （Ⅰ）若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？ （填“变”或“不变”）． （Ⅱ）若不变，请写出图中阴影部分面积；若变，请说明理由． ． 【答案】 不变 51 【分析】（Ⅰ）由平移的性质结合阴影部分的面积的计算可得答案； （Ⅱ）设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据长方形的对边相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：（Ⅰ）阴影部分的面积不变，理由： 而平移不改变小的长方形的面积，大的长方形的面积， ∴阴影部分的面积不变； （Ⅱ）设小长方形的长为x ，宽为y ， 依题意得：， 解得：， ∴图中阴影部分的总面积=11×（7+2y）-6xy=11×（7+2×1）-6×8×1=51． 故答案为：（Ⅰ）不变；（Ⅱ）51 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，平移的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 二元一次方程组的应用（古代问题） 1. （24-25七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？解题方案：设木条长x尺，绳子长y尺． (1)根据题意，列出方程组 (2)解这个方程组，得 答：木条长_______尺． 【答案】(1)， (2)6.5，11；6.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可； 【详解】（1）解：设木条长x尺，绳子长y尺，由题意，得： ； 故答案为：，； （2） 把①代入②，得：，解得：； 把代入①，得：； ∴方程组的解为：； 答：木条长6.5尺． 2. （23-24七年级下·天津河西·期末）我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子 (2)购买头牛，只羊；购买头牛，只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据“头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买头牛，只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊，列出二元一次方程，再根据羊的数量不少于牛数量的倍，得，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 二元一次方程组的应用（销售、利润问题） 1. （24-25七年级下·天津西青·期末）小林在某商场先后三次购买商品A和B，只有其中一次购买时遇到商场有优惠活动，商品A和B同时按标价打折出售，其余两次均按标价购买，三次购买A，B商品的数量和总费用如下表所示： A商品（个） B商品（个） 总费用（元） 第1次 6 5 1140 第2次 3 7 1110 第3次 9 8 1047 （1）在这三次购物中，第 次购物享受了优惠； （2）若在本次优惠活动中商品B打五折优惠，则商品A享受打 折出售的优惠政策． 【答案】 3 7 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，根据已知列方程是解题的关键． （1）根据图表可得小明以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值． 【详解】解：（1）∵第三次购买的数量最多，总费用最少， ∴小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物． （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得： ， 解得：， ∴商品A的标价为90元，商品B的标价为120元， 设商品A享受打m折优惠，根据题意得： ， 解得：． 2. （21-22七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如下表： 月份 销售量/件 销售额/元 冰墩墩 雪容融 第1个月 120 40 17160 第2个月 150 60 22200 求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格． 解题方案：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元， （Ⅰ）根据题意，列出方程组 （Ⅱ）解这个方程组，得 答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为______元，“雪容融”玩具的零售价格为______元． 【答案】118， 75． 【分析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，再根据表格信息可得两种情况下的销售额，再列方程组，解方程组即可． 【详解】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元， （Ⅰ）根据题意，列出方程组 （Ⅱ）解这个方程组，得 答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为118元，“雪容融”玩具的零售价格为75元． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解思路，你可以依照这个思路接下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答． 某茶叶店经销A，B两种茶，第一次购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元，求第一次购进的A，B两种茶每盒的价格． 解题方案：设第一次购进的A种茶每盒的价格为x元，B种茶每盒的价格为y元． (1)根据题章，列出方程组； (2)解这个方程组，得． 答：第一次购进的A种茶每盒的价格为_________元，B种茶每盒的价格为_________元． 【答案】(1) (2)；；；． 【分析】（1）根据“第一次购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元”即可列出方程组； （2）利用加减消元和代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：∵第一次购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元 ∴ ∵第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了，该店又购进了A种茶盒，B种茶盒，共花费元 ∴ ∴根据题章，可列出方程组 故答案为： （2）解：原方程可化简为： 将代入①得： 解得： ∴方程组的解为： 第一次购进的A种茶每盒的价格元，B种茶每盒的价格为元． 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及求解．根据题意正确列出方程组是解题关键． 三元一次方程组解法及应用 1. （20-21七年级下·天津河北·期末）解方程组时，消去字母z，得到含有未知数x，y的二元一次方程组是 ． 【答案】 【分析】①+②得出2x+3y=18，②+③得出4x+y=16，再得出答案即可． 【详解】解：， ①+②得出2x+3y=18④， ②+③得出4x+y=16⑤， 由④和⑤组成方程组， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能选择适当的方法消元是解此题的关键． 2. （22-23七年级下·天津·期末）三元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）在等式 中，当时，；当时，；当时，．则 ， ， ． 【答案】 6 【分析】此题考查了解三元一次方程组，分别代入每组数值得到三元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：根据题意得到， 解得 故答案为： 4. （20-21七年级下·天津和平·期末）在等式中，当时，；当，；当时，，则a= ，b= ，c= ． 【答案】 3 －2 －5 【分析】由“当时，；当时，；当时，”即可得出关于、、的三元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得， ②①，得④； ③①，得⑤． ④与⑤组成二元一次方程组， 解这个方程组，得， 把代入①，得． 因此， 故答案为为3，，． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是由点的坐标得出关于、、的三元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 5. （23-24七年级下·天津和平·期末）康乃馨是母爱之花，百合花代表感恩和祝福．小强用压岁钱在花店给妈妈订了一束花作为生日礼物，这束花由若干支康乃馨和百合花组成，如图是购买这束花的收款收据（部分数据已用字母替代），请解答下列问题： (1)在收款收据中，的值是______，的值是______，的值是______； (2)小刚准备到这个花店，用不超过200元钱为妈妈订一束花，他想自己搭配这两种花的数量，用康乃馨与百合花共24支，其中百合花数量不低于康乃馨数量的．如何搭配费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)5，6，9 (2)当购康乃馨支，百合花支，花费最小，最小花费为元． 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用． （1）根据题意列三元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出不等式组，求得，再分别计算当或17或18时的花费，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，共消费170元， 依题意得， 解得； 故答案为：5，6，9； （2）解：设购康乃馨支，则购百合花支， 依题意得， 解得， 当时，花费为（元）； 当时，花费为（元）； 当时，花费为（元）； ∵， ∴当购康乃馨支，百合花支，花费最小，最小花费为元． 二元一次方程组的特殊解法 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握用换元、整体代换方法解方程组是解题的关键．将方程组整理可得，，根据题意可得，求解即可获得答案． 【详解】解：将方程组整理可得，， ∵关于，的二元一次方程组的解为， 所以可得，解得． 故选：B． 2. （23-24七年级下·天津·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组，令，则可得关于s，t的二元一次方程组的解是，进而得到，解方程组即可得到答案． 【详解】解：令，则方程组即为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴关于s，t的二元一次方程组的解是 ∴， ∴， 故答案为：． 3. （20-21七年级下·天津和平·期末）解方程组． 【答案】． 【分析】把方程组化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】 ①×12，得， ③． ②去括号，得， ④． ③＋④×5，得， ． 把代入④，得 ． 所以这个方程组的解是 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 4. （23-24七年级下·天津·期末）计算：解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．利用换元法和加减消元法解方程组即可． 【详解】解：令， 原式可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ∴方程组的解为：． 已知二元一次方程的解求参数 1. （20-21七年级下·天津和平·期末）关于，的二元一次方程，当参数取不同的值时就得到不同的方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解与a无关，可得方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：原方程整理为：（x+y-2）a+（-x+2y+5）=0， 由题意得：方程的解与a无关， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键． 2. （21-22七年级下·天津东丽·期末）关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解．把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 可得， 即， 故k的值为， 故选：A． 4. （22-23七年级下·天津东丽·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意得，则①-②得，，进行计算即可得． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴， 则①-②得，， ， ， 代数式的值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握这些知识点． 5. （23-24七年级下·天津·期末）若关于和的方程组无解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出与得关系式，解题的关键是掌握二元一次方程组，当时方程组无解． 【详解】∵关于和的方程组无解， ∴， ∴， 故选：． 6. （22-23七年级下·天津南开·期末）如果是方程组的解，则的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先将方程组的解代入求出，的值，再计算的值． 【详解】解：将代入可得：， 解得， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值是解决问题的关键． 7. （23-24七年级下·天津河东·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题属于二元一次方程组的含参问题，根据方程组将x、y分别用k表示，然后代入即可求出k值． 【详解】解：，① +②，得． ∴， ①﹣②，得， ∴． ∵二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴． 即， ∴． 故选：B． 8. （21-22七年级下·天津·期末）已知是方程组的解，则a－b= ． 【答案】/-0.2 【分析】将方程组的解代入原方程可得到关于参数a，b的二元一次方程组，分别利用两式相减可得到a﹣b＝，即可解题． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 解得，①﹣②，得 5a﹣5b＝-1， ∴a﹣b＝， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 9. （22-23七年级下·天津·期末）关于x，y的方程组的解x与y相等，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】先利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解x与y相等得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解x与y相等， ∴， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键． 10. （23-24七年级下·天津·期末）如果方程组的解满足，求的值为 . 【答案】19 【分析】把m看作常数，用加减消元法求出方程组的解，代入到中得到关于m的方程，解出方程即可． 【详解】 ②×2-①得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 将，代入得： ， 解得，． 故答案为：19． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组两方程都成立的未知数的值． 11. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于，的方程组的解中与的和为，求的值及此方程组的解． 【答案】， 【分析】根据题意先用含的代数式表示出和，再根据与的和为求出的值，代入，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 又与的和为， ， 解得：， 把代入， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，方程组的解为：． 【点睛】本题考查了方程组的解的定义，以及解二元一次方程组，正确求得的值是解决本题的关键． 二元一次方程组与不等式（组） 1. （22-23七年级下·天津河北·期末）已知的解满足y﹣x＜1，则k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k＜1 D．k＜﹣ 【答案】C 【分析】用①﹣②可得y-x并用k表示，然后解关于k的不等式即可． 【详解】解：， ①﹣②得：y-x=2k-1， ∴2k﹣1＜1，即k＜1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握相关运算法则成为解答本题的关键． 2. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于x，y的方程组满足，且它的解都是正数． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、绝对值和解一元一次不等式组，能得出关于m的不等式组是解此题的关键． （1）先求出方程组的解，即可得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）先去掉绝对值符号，即可求出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵方程组的解为正数， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ． (1)当x、y互为相反数时， ； (2)已知，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键． （1）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数列方程求解即可； （2）将方程组的解代入，解不等式组即可； （3）根据题意求出方程组的解即可得到答案． 【详解】（1）由得， ∵，互为相反数， ∴，则， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得， 即a的取值范围是； （3）∵，a为整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或都满足题意． 错解复原问题 1. （20-21七年级下·天津和平·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B．－2 C．0 D．－3 【答案】B 【分析】根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得；方程①的一个解为，代入求得，再代入代数式即可求解． 【详解】解：根据题意，方程②的一个解为，代入方程②，求得 方程①的一个解为，代入方程①，求得 将，代入代数式得 故答案为B． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的有关知识，解题的关键是通过已知条件列出式子求得，． 2. （23-24七年级下·天津·期末）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 3. （21-22七年级下·天津和平·期末）解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到解，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值． 【详解】解：把代入，得：， 解得：， 把代入，得：， ∵看错系数，解得错误解为， 把代入，得：， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数的含义：即方程组中除了系数看错以外，其余的系数都是正确的． 二元一次方程组的实际应用（方案问题） 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设可以买个型口罩，个型口罩，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设可以买个型口罩，个型口罩， 依题意得：， ∴， 又，均为正整数， ∴或或. ∴共有种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了应用二元一次方程解决实际问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 2. （23-24七年级下·天津南开·期末）用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次，那么A型车租 辆最省钱，并且此时租车费为 元． 【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； (2)2，1940． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）结合题意和（1）得，易知 结合a、b都是正整数，可确定 或 或 三种租车方案，分别计算三种租车方案的费用，比较即可获得答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得 ， 解得 ∴1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨； （2）解：结合题意和（1）得， ∵a、b都是正整数， 或 或 ∴ 有3种租车方案： 方案一：A型车2辆， B型车7辆； 方案二：A型车6辆， B型车4辆； 方案三∶ A型车10辆， B型车1辆； ∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金220元/次， ∴方案一需租金： (元)； 方案二需租金： (元)； 方案三需租金： (元)； ∴最省钱的租车方案是方案一： A型车租2辆， B型车租7辆，最少租车费为1940元， 故答案为：2，1940． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆，下面是许老师和小龙、小咏同学有关租车问题的对话：许老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．” 小龙：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”． 小咏：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有__________人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种或一种客车，要使七年级每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有几种租车方案？ 【答案】(1)420 (2)客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元 (3)共有3种租车方案 【分析】本题主要考查了列一元一次方程、二元一次方程或方程组解决实际问题，以及最优方案的问题，找到等量关系式正确列方程是解题的关键． （1）根据“如果我们七年级租正确用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满”，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，可得出各租车方案，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴参加此次活动的七年级师生共有人； （2）解：设客运公司座客车每辆每天的租金是元，座客车每辆每天的租金是元， 根据题意得：， 解得：， 答：客运公司座客车每辆每天的租金是元，座客车每辆每天的租金是元； （3）解：设租用座客车辆，座客车辆， 根据题意得：， ∴． 又∵，均为自然数， ∴或或， ∴共有种租车方案． 4. （23-24七年级下·天津南开·期末）某工厂车间开发了一款新式机器，计划月份生产安装这款新式机器台、车间决定招聘一些新工人（他们经过培训后也能独立进行安装），再从其他车间抽调出足够的熟练工人完成安装任务．调研部门发现：名熟练工和名新工人每日可安装台新式机器：名熟练工和名新工人每日可安装台新式机器． (1)求每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少台新式机器； (2)如果工厂招聘名新工人（，且为整数），并抽调出名熟练工人，使得招聘的名新工人和抽调的名熟练工刚好能完成月份（天）的安装任务．且一名新工人的日工资为元，一名熟练工人的日工资为元． 请根据上述信息填空： 当______，_______．时，工厂车间为所有工人开设日工资最少，为_________元． 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装台机器，每名新工人每日可以安装台机器 (2)，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设每名熟练工每日可以安装台机器，每名新工人每日可以安装台机器，根据题意列出方程组即可求解； （2）由天需完成台可得：，推出，进而得出的取值，根据题意得出所有工人开设日工资为，分别求出工资比较即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装台机器，每名新工人每日可以安装台机器， 依题意，得：， 解得：． 答：每名熟练工每日可以安装台机器，每名新工人每日可以安装台机器； （2）解：根据题意得：， 整理可得：， ，且为整数， 为，， 所有工人开设日工资为， 当，时，所有工人开设日工资为（元）， 当，时，所有工人开设日工资为（元）， 当，时，开设日工资最少为：（元）， 故答案为：，，． 二元一次方程组与不等式（组）的方案问题 1. （21-22七年级下·天津和平·期末）某电器商城准备销售每台进价分别为200元、150元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一个月 3台 5台 2300元 第二个月 4台 10台 4000元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若超市准备用不多于5500元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为2100元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为300元、280元 (2)超市最多采购种型号电风扇20台时，采购金额不多于5500元 (3)超市不能实现利润2100元的目标，理由见解析 【分析】（1）设种型号的电风扇的销售单价为元，种型号的电风扇的销售单价为元，根据总价=单价×数量结合近两月的销售情况统计表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设种型号的电风扇采购台，则种型号的电风扇采购 台，根据进货总价=进货单价×进货数量结合超市准备用不多于5500元的金额采购两种型号的电风扇共30台，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）先求出超市销售利润为2100元时的种型号电风扇采购台数，再判断即可． 【详解】（1）解：设 、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：，解得：， 答： 、两种型号电风扇的销售单价分别为300元、280元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：，解得：． 答：超市最多采购 种型号电风扇20台时，采购金额不多于5500元； （3）解：依题意有：，解得：， ∵，∴在（2）的条件下超市不能实现利润2100元的目标． 答：超市不能实现利润2100元的目标． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、一元一次方程与一元一次不等式，解题的关键是根据条件列出相应的方程或者不等式． 2. （20-21七年级下·天津滨海新·期末）为配合城市“花博会”，花农黄老伯培育了甲、乙两种花木各若干株．如果培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；如果培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元． （1）求甲、乙两种花木每株的培育成本分别为多少元？ （2）市场调查显示，甲种花木的市场售价为每株300元，乙种花木的市场售价为每株500元．如果黄老伯培育这些花木总利润不少于18000元，培育的乙种花木的数量比甲种花木的数量的3倍少10株，那么黄老伯至少培育甲种花木多少株？ 【答案】（1）甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元；（2）黄老伯至少培育甲种花木29株 【分析】（1）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元，根据“培育甲、乙两种花木各一株，那么共需成本500元；培育甲种花木3株和乙种花木2株，那么共需成本1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设黄老伯应该培育甲种花木m株，则应该培育乙种花木（3m-10）株，根据“黄老伯培育这些花木总利润不少于18000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种花木每株的培育成本为x元，乙种花木每株的培育成本为y元， 依题意得：， 解得：，   答：甲种花木每株的培育成本为200元，乙种花木每株的培育成本为300元． （2）设黄老伯培育甲种花木m株，培育乙种花木(3m-10)株， 依题意得：， 解得： ．                                ∵ m为正整数， ∴ m=29 ．                                          答：黄老伯至少培育甲种花木29株． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 3. （21-22七年级下·天津红桥·期末）为了防治“新型冠状病毒”，学校准备到药店采购甲、乙两类口罩．经了解，包甲类口罩和包乙类口罩共需元，包甲类口罩比包乙类口罩多元． (1)求每包甲类口罩和每包乙类口罩各多少元？（列方程或方程组解决） (2)若学校要求购买甲类口罩比乙类口罩少少包，甲类口罩和乙类口罩总包数不低于包，总费用不超过元，请求出所有符合条件的购买方案． 【答案】(1)每包甲类口罩元，每包乙类口罩元 (2)有种方案：①购买甲类口罩包，乙类口罩包；②购买甲类口罩包，乙类口罩；③购买甲类口罩包，乙类口罩包 【分析】（1）设每包甲类口罩元，每包乙类口罩元，可得，即可解得每包甲类口罩元，每包乙类口罩元； （2）设购买甲类口罩包，根据甲类口罩和乙类口罩总包数不低于包，总费用不超过元，可得，即可解得有种方案：购买甲类口罩包，乙类口罩包，购买甲类口罩包，乙类口罩包，购买甲类口罩包，乙类口罩包． 【详解】（1）解：设每包甲类口罩元，每包乙类口罩元， 根据题意得， ①-②，得， ， 把代入①，得， ， 解得， 即每包甲类口罩40元，每包乙类口罩18元； （2）解：设购买甲类口罩包，则购买乙类口罩包， ∵甲类口罩和乙类口罩总包数不低于包，总费用不超过元， ∴， 解得， ∵m是整数， ∴m可取，，， ∴有种方案： 购买甲类口罩包，乙类口罩包， 购买甲类口罩包，乙类口罩包， 购买甲类口罩包，乙类口罩包． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组 4. （23-24七年级下·天津·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元．则甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金不多于4300元，且销售完这批商品获利多于1260元，商店有哪几种购货方案？哪种购货方案销售利润最大？请说明理由． 【答案】（1）应购进甲种商品100件，乙种商品60件；（2）商店共同3种购货方案，方案1：购进甲种商品65件，乙种商品95件；方案2：购进甲种商品66件，乙种商品94件；方案3：购进甲种商品67件，乙种商品93件．方案1的销售利润最大，理由见解析． 【分析】（1）设应购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据“购进甲、乙两种商品共160件，且全部销售完能获利1100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出购进甲、乙两种商品的数量； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（160-m）件，根据“投入资金不少于4300元，且销售完批商品获利多于1260元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购货方案，利用销售总利润=每件的销售利润×销售数量，可分别求出各方案可获得的销售利润，比较后可得出购货方案1销售利润最大． 【详解】解：（1）设应购进甲种商品x件，乙种商品y件， 依题意得：， 解得：． 答：应购进甲种商品100件，乙种商品60件； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品（160﹣m）件， 依题意得：， 解得：65≤m＜68． 又∵m为正整数， ∴m可以为65，66，67， ∴商店共同3种购货方案， 方案1：购进甲种商品65件，乙种商品95件； 方案2：购进甲种商品66件，乙种商品94件； 方案3：购进甲种商品67件，乙种商品93件． 方案1的销售利润最大，理由如下： 方案1的销售利润为（20﹣15）×65+（45﹣35）×95＝1275（元）； 方案2的销售利润为（20﹣15）×66+（45﹣35）×94＝1270（元）； 方案3的销售利润为（20﹣15）×67+（45﹣35）×93＝1265（元）． ∵1275＞1270＞1265， ∴购货方案1销售利润最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 二元一次方程组的应用（数字问题） 1. （23-24七年级下·天津·期末）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 2. （21-22七年级下·天津津南·期末）有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和为6，且这个两位数是个位数字的6倍，则这个两位数是 ． 【答案】24 【分析】设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据十位数字与个位数字和为6，这个两位数是个位数字的6倍，列方程组求解； 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y， 由题意得， 解得：， 则这个两位数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组求解． 3. （22-23七年级下·天津西青·期末）将9个数填入正方形的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图①就是填好的一个正方形，图②中已经填好一部分数字．    （1）图②中是否存在正整数x，y满足上述条件？ （填“是”或“否”）． （2）若图②中存在正整数x，y满足上述条件，请写出x与y的乘积：若不存在，请说明理由． ． 【答案】 是 4 【分析】（1）设图②中间的数为，第三行第一个数字为，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出二元一次方程组，求出，即可解决问题； （2）用求出，代入可得答案． 【详解】解：设图②中间的数为，第三行第一个数字为， 由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 存在正整数，满足上述条件； （2）存在，， 故答案为：是；4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4. （23-24七年级下·天津和平·期末）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．（实数与实数合并，虚数与虚数合并，实数与虚数无法合并） (1)填空：______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了新定义，解二元一次方程组， （1）利用题中的新定义计算即可； （2）已知第二个等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用复数相等的条件得到a与b的方程，与已知联立求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：，； 故答案为：，1； （2）∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴原式 二元一次方程组代数综合题 1. （21-22七年级下·天津和平·期末）已知关于，的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若、、都是非负数，且，求的取值范围； (3)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个固定解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将 与联立成方程组，解关于、、的三元一次方程组即可； （2）根据解出、，根据、、都是非负数，即可求出的范围，于是可求出的范围； （3）根据题意可知，方程有个固定解，于是当时，，即． 【详解】（1）解：由题可知 将 与联立成方程组， 解得； （2）解：，解得 、、都是非负数， ，解得， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵无论实数取何值，方程总有一个固定的解， ∴， 当时，解得， 方程的固定解为． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解三元一次方程组、解一元一次不等式组，根据题目条件列出方程组或者不等式组是解题的关键． 2. （22-23七年级下·天津·期末）已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)若点在第四象限，并且到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入方程求解即可； （2）解方程组，得，再代入解方程即可； （3）由第四象限内点的坐标特点及到x轴，y轴的距离相等，得到，把代入，解方程即可． 【详解】（1）解：若，则， 解得； （2）解方程组， 解得， ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴， 解得：， ∴ （3）∵点在第四象限，并且到x轴，y轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，平面直角坐标系各象限内点的坐标特点，正确掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 二元一次方程组其他应用 1. （23-24七年级下·天津·期末）若正数k的两个不相等的平方根为和，点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】先根据平方根的定义得到，即，由点在直角坐标系内的坐标特征得到且，求出的值，代入即可求解． 【详解】解：根据题意得：，即， 点在平面直角坐标系的第四象限，且到两坐标轴的距离相等， 且， ，则， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点在第三象限时点的坐标特征，平方根的定义，点到坐标轴的距离，解二元一次方程组．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2. （23-24七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． (1)判断点A在第几象限，说明理由． (2)求点B的坐标． (3)有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A在第二象限，理由见解析 (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了解不等式，方程组，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握解不等式和解方程组的一般方法，求出 （1）先求出不等式的解集，然后根据a为不等式的最大整数解，得出，最后进行判断即可； （2）解关于b、c的不等式组，得出b、c的值，即可得出答案； （3）根据，点， 得出轴，，根据，，列出关于k、h的方程组，然后解方程组，得出答案即可． 【详解】（1）解：点A在第二象限，理由如下： ∵， ∴， ∵a为不等式的最大整数解， ∴， ∴点， ∴点A在第二象限； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴点； （3）解：∵点，点， ∴轴，， ∵，， ∴， 解得或， ∴，或，． 3. （22-23七年级下·天津东丽·期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，的坐标分别为，，，且，满足关于，的二元一次方程． (1)求，的坐标． (2)点为轴负半轴上的一个动点，如图，，当时，与的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据为二元一次方程，求出，，即可求出，的坐标； （2）根据三角形内角和求出，由，得出，由角平分线得到，，过点作由平行线性质得到，，推出，从而得到结果． 【详解】（1）解：为二元一次方程， ， ，，， ，， ，； （2）， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， 过点作，   ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义、平行线的性质、角平分线的性质，坐标与图形性质、掌握平行线的性质是解题的关键． 4. （23-24七年级下·天津和平·期末）在图1中，已知和内一点P，以P为顶点画，使的两边分别和的两边垂直．    (1)按要求将图1补充完整，则与之间的数量关系是____________； (2)若点P在的外部，以P为顶点画，使的两边分别和的两边垂直．请分别在图2和图3中画出符合要求的图形，（1）中的结论还成立吗？请给出证明． (3)由以上三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角______． (4)应用：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边且这两个角的差为50°，那么这两个角的度数分别是____________． 【答案】(1)补全图形见解析，互补 (2)不成立，理由见解析 (3)相等或互补 (4)、 【分析】（1）根据题意补全图形，利用四边形内角和定理即可求解； （2）根据题意补全图形，利用等角的余角相等即可求解； （3）根据（1）（2）的结论可得答案； （4）根据题意两角的和为，差为，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：补充图形如图1，    与之间的数量关系是：； 即与互补； 故答案为：互补； （2）解：补充图形如图1、2，（1）中的结论不成立，    如图3， ∵，，， ∴(等角的余角相等)； ∴与的关系为； （3）解：如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； 故答案为：相等或互补； （4）解：不妨设 根据题意得，， 解得，， 那么这两个角的度数分别是、， 故答案为：、． 【点睛】本题考查角的计算，互余、互补等知识，解题的关键是学会正确画好图形，学会利用结论解决问题，属于中考常考题型． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$