江苏省南京市2024-2025学年高二下学期期末复习数学综合卷（三）

2024-2025学年度高二下学期期末复习卷三 考试范围：苏教版必修一、选修一、选修二 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 3.已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（  ） A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 4.已知在上是减函数．那么的取值范围（   ） A． B． C． D． 5.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（  ） A．640 B．564 C．484 D．386 6.已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 7.函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8.在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值服从正态分布，（附：，）若，则（    ） A． B． C． D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间内的件数约为8186 10.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于点两点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的面积为 11.已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 为偶函数 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为 . 13.若，，则的最小值为___________. 14.函数有两个零点,求实数的取值范围 . 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题13分） 已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 16.（本题15分） 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 (1)完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? (2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17.（本题15分） 已知函数,其中R. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的零点个数. 18.（本题17分） 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且. 分别是的中点，平面与分别交于两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 19.（本题17分） 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且的面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求线段长度的最大值. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二下学期期末复习卷三 考试范围：苏教版必修一、选修一、选修二 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：由，得，解得，所以. 由，解得，所以. 故选C. 2.已知，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：因为，所以 . 故选B. 3.已知（其中）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（  ） A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 答案：A 解析：展开式的第7项为， 由题意，得，，（），所以，， 则展开式的通项为，， 令，则，所以展开式中的有理项共有3项. 故选A. 4.已知在上是减函数．那么的取值范围（   ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为在上是减函数， 所以，解得，所以. 故选D. 5.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（  ） A．640 B．564 C．484 D．386 答案：B 解析：8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法； 当在4人组时，有种方法. 第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法； 当在3人组时，有种方法. 故这8名同学游玩行程的方法数为. 故选B. 6.已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：成等差数列，，又， ，整理可得：， ，解得：（舍）或． 故选C. 7.函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：， 令，，则，， 函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， ，得，则， 即，∴. 故选D. 8.在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：对于A选项，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，所以A错误； 对于B选项，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，所以B错误； 对于C选项，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，所以C错误； 对于D选项，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，所以D正确. 故选D. 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.某地区机械厂为倡导“大国工匠精神”，提高对机器零件的品质要求，对现有产品进行抽检，由抽检结果可知，该厂机器零件的质量指标值服从正态分布，（附：，）若，则（    ） A． B． C． D．任取10000件机器零件，其质量指标值位于区间内的件数约为8186 答案：BD 解析：依题意，该厂机器零件的质量指标服从正态分布，即， 而，即，因此， 对于A选项，，所以A错误； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项， ，所以C错误； 对于D选项，由C知，则件，所以D正确. 故选BD. 10.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于点两点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的面积为 答案：BD 解析：因为直线过抛物线焦点，得，所以，所以A错误． 联立方程，消得，．设 得，所以，所以B正确. 因为，又因为，所以， 所以，则，所以C错误． 点到直线的距离为， 所以的面积为，所以D正确. 故选BD. 11.已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 为偶函数 答案：ACD 解析：因为为奇函数，则， 可得，所以为奇函数，所以A正确； 又因为，可得， 则，可得， 所以是以为周期的周期函数， 可得，但没有足够条件推出，所以B错误； 因为，则， 令，则，所以C正确； 因为，则，可得， 又因为，则， 所以为偶函数，所以D正确. 故选ACD. 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的2倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为 . 答案： 解析：由题意取到合格品的概率为. 13.若，，则的最小值为___________. 答案： 解析：因为，则， 所以． 因为，所以． 所以．当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14.函数有两个零点,求实数的取值范围 . 答案： 解析：因为的零点两个,即方程有两个根. 即函数与图像的交点有两个. 而函数与的图像关于对称. 当两个图像均与相切时,设切点横坐标为. 分别求导与, 所以,所以，则,所以,得. 当时候,两图像有一个交点,当, 两图像有两个交点,即的零点两个，所以. 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题13分） 已知各项均为正数的数列前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 解析：（1）因为①，所以②，③， 由③得：，所以， ②-①得：，整理得：， 又因为各项均为正数，所以， 所以是公差的等差数列，． （2）由（1）得，， 所以， 所以. 16.（本题15分） 某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2:3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意. 满意 不满意 总计 男游客 35 女游客 15 合计 100 (1)完成列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关? (2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为.求出的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 解析：（1）因为调查的男游客人数为：，所以，调查的女游客人数为，于是可完成列联表如下： 满意 不满意 总计 男游客 35 5 40 女游客 45 15 60 合计 80 20 100 零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得： ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关； （2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知的可能取值为0，1，2，并且服从超几何分布，即，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为. 17.（本题15分） 已知函数,其中R. (1)求函数的单调区间; (2)求函数的零点个数. 解析：(1)由题意求导得，, 令,解得,或； 令,解得 所以函数的单调增区间为和, 减区间； (2)由可得,所以既有极大值也有极小值. 设的极值点为，则，则， 因为 所以极大值， 极小值, 所以函数有三个零点. 18.（本题17分） 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且. 分别是的中点，平面与分别交于两点. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 解析：（1）由E，F分别是PA，PD的中点，得， 在正方形中，，则， 而平面，平面，于是平面， 又平面，平面平面，平面， 因此，所以. （2）四棱锥的底面为正方形，平面，则两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 由平面平面，得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 19.（本题17分） 已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且的面积的最大值为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求线段长度的最大值. 解析：（1）由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设直线的方程为 联立方程，消去得， 所以， 由题意可得，则 由题意可得 ， 所以， 化简整理得，解得或， 当时，直线过定点不符合题意， 所以， 所以 ， 令， 则 ， 当时，. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$