精品解析：江西省赣州市章贡区2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试题

2024—2025学年第二学期期中考试 七年级数学试题卷 说明：1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 2025年1月20日，中国DeepSeek-R1模型发布，模型以低成本、开源特性打破美国AI垄断，性能比肩ChatGPT，推动全球AI技术平民化，如图为中国Deepseek的Logo，在下列选项中，能由此Logo通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列图形中，与不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个可折叠衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（ ） A. 平行于同一直线的两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两点确定一条直线 6. 已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 8. 请写一个小于零的无理数______（写出一个即可）． 9. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______． 10. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射原理有，，其原理如图2所示，若，则的度数为______． 11. 观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则______． 12. 在“折纸与平行”的拓展课上，小陈老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与的一边平行，则为________度． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点M在y轴上，求点M的坐标； （2）若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标． 15. 完成下面的证明．已知：如图，、、分别是，，上的点，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴______（______）． ∵（已知）； ∴______＝______（______）； ∴（______）． 16. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 17. 在如图所示4×4方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图中，找一个角，使，其中，为格点． （2）在图中，已知，请在线段上找一点，使． 四、解答屉（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”．已知点在第二象限， （1）求的取值范围； （2）若点为“整点”，求点的坐标； （3）若点为“超整点”，求点到两坐标轴的距离之和． 19. 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）． （1）如图1，，拼成的大正方形边长为___________； 如图2，，拼成的大正方形边长为___________； 如图3，，拼成的大正方形边长为___________． （2）若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由； 20. 如图，于点D，于点F，，． （1）求的度数． （2）求证：． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题： （1）若点，，，则这三点“水平底”a的值为________； （2）若点，，，求这三点的“矩面积”； （3）若点，，三点的“矩面积”为9，求点F的坐标． 22. 对任意的正实数m有如下规定：用表示不大于m的最大整数，称为m的整数部分，用表示的值，称为m的小数部分．例如：，，，．请回答下列问题： （1）______，______； （2）对任意的正实数m，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③； ④若（a为整数），则． （3）对任意的正实数m，解关于m的方程：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知，三角形的顶点A在轴的负半轴上，，顶点B在第一象限，且点B到两坐标轴的距离均为b，顶点C在y轴的正半轴上，，其中a，b，c满足：． （1）则a＝______，b＝______，c＝______； （2）如图1，过点B作直线，与x轴交于点D． ①求三角形的面积和点D的坐标； ②如图2，点E是线段上一点，点F是射线上一点，设，若，，请直接写出k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中考试 七年级数学试题卷 说明：1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 2025年1月20日，中国DeepSeek-R1模型发布，模型以低成本、开源特性打破美国AI垄断，性能比肩ChatGPT，推动全球AI技术平民化，如图为中国Deepseek的Logo，在下列选项中，能由此Logo通过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质即可得到答案． 【详解】解：平移得到， 故选：D． 2. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定9的平方根，再根据算术平方根的非负性，找出其中的非负根，进而判断选项． 本题考查了算术平方根，掌握算术平方根是一个数的非负平方根是解题的关键． 【详解】解：∵9的平方根为， 又∵算术平方根是非负数， ∴9的算术平方根是3 故选：A． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据在各象限内，点坐标的符号规律即可得． 【详解】解：， 在平面直角坐标系中，点所在的象限是第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的符号规律，熟练掌握点坐标的符号规律是解题关键． 4. 下列图形中，与不是同位角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角． 【详解】解：A，C，D中的∠1与∠2是同位角， B中的∠1与∠2不是同位角， 故选：B. 【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握其定义. 5. 如图是一个可折叠衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（ ） A. 平行于同一直线的两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：当时，；时，， 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：C． 6. 已知点，，点是线段EF的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于的对称点为（即，，三点共线，且），关于的对称点为，关于的对称点为，按此规律继续以为对称点重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中中点坐标公式的应用．解题的关键是总结规律． 根据题目所给的信息，确定点关于点的对称点为，则点为点和点的中点，根据公式，可以求出点的坐标，依次类推求出点，点，点，点，点，总结规律，利用周期原理，求出点的坐标． 【详解】解：设， 点关于的对称点为，，，， ， ， ， 同理可得，，，，， 每6个点坐标循环一次， ， 点的坐标是， 故选：A． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果_________________ ，那么______________ ． 【答案】 ①. 两条直线都垂直于同一条直线 ②. 这两条直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 8. 请写一个小于零的无理数______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用无理数的定义直接得出答案． 【详解】解：小于零的无理数可以为：等． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确把握无理数的定义． 9. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据x轴上的点坐标纵坐标等于0，即可求出结果． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴它的纵坐标等于0，即， 解得． 故答案是：5． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中点坐标的特点，解题的关键是掌握坐标轴上点坐标的特点． 10. 如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射原理有，，其原理如图2所示，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定，解题关键是利用平行线的性质求出相关角度． 由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知，，用含m的式子表示n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的规律探究，通过表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，被开方数的小数点每向右移动2个数位，算术平方根的小数点向右移动1个数位， ∵，， ∴； 故答案为：． 12. 在“折纸与平行”的拓展课上，小陈老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点D是边上的固定点，请在上找一点E，将纸片沿折叠（为折痕），点B落在点F处，使与的一边平行，则为________度． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，分时和时，利用折叠性质和平行线的性质求解即可．熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ， 当时，如图，则， ； 当时，如图，则， 由折叠性质得：， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）先计算立方根和算术平方根，再相加即可； （2）先利用乘法分配律计算乘法，化简绝对值，再加减即可． 【小问1详解】 解： 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）若点M在y轴上，求点M的坐标； （2）若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握轴上点的横坐标为、平行于轴的直线上点的纵坐标相等这些坐标特征是解题的关键． （1）y轴上的点横坐标为，所以令点横坐标，解出的值，再代入纵坐标表达式求出纵坐标，从而确定点坐标． （2）平行于轴的直线上的点纵坐标相等，已知轴，点纵坐标为，所以令点纵坐标，解出的值，再代入横坐标表达式求出横坐标，确定点坐标． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：∵点，点且轴， ∴，解得， ∴点M的坐标为． 15. 完成下面的证明．已知：如图，、、分别是，，上的点，，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴______（______）． ∵（已知）； ∴______＝______（______）； ∴（______）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质以及同角的补角相等填空即可． 【详解】解：∵DF//AB（已知）， ∴∠A+∠AFD=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵DE//AC（已知）， ∴∠AFD+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A=∠EDF（同角的补角相等）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、同角的补角相等等知识点，灵活运用平行线的判定定理说明两直线平行是解答本题的关键． 16. 已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解得出的值。 根据立方根的定义，由的立方根为，得到，进而求出的值。通过估算的大小，确定其整数部分，得到的值。 （2）把（1）中求得的、、的值代入，计算出该式的值。 再根据平方根的定义，求出这个值的平方根。 本题主要考查了平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数 ）、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键。 【小问1详解】 解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：当，，时， ， ∴的平方根是． 17. 在如图所示4×4方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图中，找一个角，使，其中，为格点． （2）在图中，已知，请在线段上找一点，使． 【答案】（1） 如图，为所求． （2） 如图，点为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用方格的特点，全等三角形，构造出相等的角． （2）根据平行四边形的判定及性质构造平行四边形，利用平行四边形的性质作图即可． 【小问1详解】 解：连接，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点为所求． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴． 四、解答屉（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”．已知点在第二象限， （1）求的取值范围； （2）若点为“整点”，求点的坐标； （3）若点为“超整点”，求点到两坐标轴的距离之和． 【答案】（1）； （2），，，； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征、整点与超整点的定义，熟练掌握各定义及象限内点坐标的符号规律是解题的关键． （1）第二象限内点的坐标特征是横坐标小于0，纵坐标大于0，据此列出关于的不等式组，求解得出的取值范围． （2） “整点”要求横、纵坐标均为整数，结合（1）中的取值范围确定的整数值，再代入求出点坐标． （3） “超整点”需满足（ ）为整数，结合前面求出的整点情况，找出符合“超整点”的点，再计算其到两坐标轴距离之和． 【小问1详解】 解：∵点在第二象限， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：∵点为“整点”，∴为整数， 又∵，∴， 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； 当时，，，此时点； ∴综上所述，“整点”的坐标为，，，； 【小问3详解】 解：根据“超整点”的定义得：当时，点是“超整点”， ∴当点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和为：． 19. 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）． （1）如图1，，拼成的大正方形边长为___________； 如图2，，拼成的大正方形边长为___________； 如图3，，拼成的大正方形边长为___________． （2）若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由； 【答案】（1）；； （2）不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片， 理由如下： 设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x=14.52， 所以x2=1.21， 即x=1.1（x＞0）， 因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17， 所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【解析】 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可． 【小问1详解】 解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为； 如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为； 如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 20. 如图，于点D，于点F，，． （1）求的度数． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， 由（1）问知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系可求的度数； （2）等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，证得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．根据所给定义解决下列问题： （1）若点，，，则这三点“水平底”a的值为________； （2）若点，，，求这三点的“矩面积”； （3）若点，，三点的“矩面积”为9，求点F的坐标． 【答案】（1）4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题目中的新定义求得这三点“水平底”a的值即可； （1）根据题目中的新定义可以求得相应的“矩面积”； （2）根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，从而可以得到F的坐标； 【小问1详解】 ∵“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值， ∴ ∴ 故答案为：4； 【小问2详解】 依题意有：“水平底”， “铅锤高”， “矩面积” 【小问3详解】 依题意有：“水平底” ①当时，， ， 点 ②当时，， 此时，这种情况不符合题意； ③当时，， ， 点 综合以上点 ． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 22. 对任意的正实数m有如下规定：用表示不大于m的最大整数，称为m的整数部分，用表示的值，称为m的小数部分．例如：，，，．请回答下列问题： （1）______，______； （2）对任意的正实数m，以下四个命题中为真命题的是______（填序号）； ①；②；③； ④若（a为整数），则． （3）对任意的正实数m，解关于m的方程：． 【答案】（1）2， （2）①②④ （3） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算一元一次方程的应用及命题． （1）根据无理数的估算可得，再根据题干规定即可求解； （2）根据题干规定逐一判断即可； （3）根据题意可得，即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：①∵表示m的小数部分， ∴，故①正确； ②∵表示m的整数部分， ∴，故②正确； ③∵表示的小数部分， ∴，故③错误； ④∵（a为整数）， ∴，故④正确， 综上，①②④是真命题，故答案为：①②④． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 六、解答题（本大题共12分） 23. 已知，三角形的顶点A在轴的负半轴上，，顶点B在第一象限，且点B到两坐标轴的距离均为b，顶点C在y轴的正半轴上，，其中a，b，c满足：． （1）则a＝______，b＝______，c＝______； （2）如图1，过点B作直线，与x轴交于点D． ①求三角形的面积和点D的坐标； ②如图2，点E是线段上一点，点F是射线上一点，设，若，，请直接写出k的值． 【答案】（1）1，2，3 （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质可求出的值， （2）①先根据的值确定的坐标，进而求出直线的解析式，再可确定直线与轴的交点的坐标，然后可以分别求出和的面积，进而求出的面积；先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，进而求出点的坐标； ②先根据可得出，再根据求出，然后根据三角形外角定理可列出关于的方程，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∵，，， ∴，，， ∴，，， 故答案为1，2，3． 【小问2详解】 解：①设直线与轴相交与点，如图所示， 设直线的解析式为，则 将点A，B坐标代入直线AB的解析式， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 令代入，， ∴，， ， 设直线的解析式为 将点A，C坐标代入直线AC的解析式， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵，设直线的解析式为 将点代入直线的解析式， ，解得， ∴直线的解析式为， 令代入得，， ∴ ②， ∵， ∴ ， ， ∵， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，利用一次函数解析式求一次函数与坐标轴交点的方法与技巧． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $