第16讲 解直角三角形及应用（2知识点+10考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第16讲 解直角三角形及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.掌握直角三角形的所有性质，并能够在解直角三角形时灵活运用； 2. 掌握解直角三角形的所有类型，并能够熟练的判断并解决； 3. 掌握解直角三角形在实际问题中的应用的基本步骤,并能够熟练的应用； 4. 掌握仰角、俯角，方向角以及坡度、坡角的基本类型，并能够熟练的将实际问题转化为数学问题求解。 知识点 1 解直角三角形 1. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. . 1．（2025·上海·模拟预测）已知在中，，若，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为米，约为，则该楼梯的高度可表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2015·山东临沂·一模）如图，菱形的边长为，，，则菱形的面积为 ． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，若，，则的长度为 ． 知识点 2 解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. . 1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数 ． 2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 5．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【题型 1 解直角三角形】 1．（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）如图，菱形的对角线、交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 3．（2022·山东滨州·一模）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 5．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【题型 2 解一图多三角形的直角三角形】 1．（21-22九年级上·吉林长春·期末）如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是(    ) A． B． C． D． 2．（2019·浙江杭州·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B＝α，∠ADC＝β，则为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江湖州·二模）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，将两块直角三角板与按如图方式放置，，，，两条斜边相交于点O，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·二模）如图，等边铜架的立柱于点D，长6m．现将铜架立柱缩短成，则钢架立柱缩短的长度为（   ） A． B． C． D． 【题型 3 解非直角三角形】 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 3．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 4．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【题型 4 网格问题】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（    ） A．是直角三角形 B． C． D． 3．（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 4．（2025·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使； (3)在图③中，找一点C，连接，使． 【题型 5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 1．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 2．（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ． 4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【题型 6仰角俯角问题】 1．（2025·海南·模拟预测）定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是小明参观海口中心时的示意图，当走到点A时观测到海口中心顶端B点的仰角是，沿直线靠近海口中心至点D时，测得顶点B的仰角是．已知海口中心的高度是，则小明靠近海口中心的距离的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升30米到达处，测得博雅楼顶部的俯角为，尚美楼顶部的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度的为 米．（结果保留整数，参考数据：） 4．（2025·宁夏银川·二模）眼睛是心灵的窗户，每年的月日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点为眼睛的位置，到书籍的距离为，与水平方向夹角，小林在书桌上方的身长为，且垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离．（参考数据：，，） 【题型 7坡度坡比问题】 1．（2025·四川德阳·二模）如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，大坝的横断面，斜坡AB的坡度，背水坡的坡度，若坡面的长度为，则斜坡的长度为 ．（，，结果精确到0.1） 4．（2025·湖北·二模）端午节期间，小优与小翼相约攀登武当山附近的一座小山．如图，他们先由山脚处步行到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处步行480到达山顶处．已知点，，，在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为，求，两地的垂直高度．（参考数据：，，） 【题型 8方向角问题】 1．（2025·海南·一模）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（   ） A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里 2．（2025·湖南·模拟预测）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（   ）（参考数据：）． A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米 3．（2025·内蒙古巴彦淖尔·三模）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为 千米 ． 4．（2025·安徽·模拟预测）合肥植物园内的珍稀花卉吸引了众多游客前来观赏与拍照留念．如图，四边形观赏区紧邻三角形温室．经测量C，B，E三点在同一直线上，且，长45米，长60米．点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上．在点处种植了一株造型独特的龙舌兰，若游客从出发，沿着到达点去参观龙舌兰，请计算该游客所走的路程．（结果取整数，参考数据：，，，） 【题型 9实物抽象模型问题】 1．（2025年江西省中考模拟预测数学试题）图1是总台蛇年春晚舞蹈《喜上枝头》的节目图片，节目汲取“喜鹊登枝”的美好寓意，将整个舞台打造成一幅展开的宋画．节目使用了春晚有史以来最大的道具，在画卷中搭建了一根长9.5米的“松枝”，松枝与喜鹊取“送喜”的吉祥寓意．如图2是“松枝”的简化图，已知，，，，点D到点C的垂直距离为，点D到点E的垂直距离为，，．（结果精确到） (1)求点A到点B的垂直距离； (2)求道具“松枝”的高度． （参考数据：，，，，，） 2．（2025·湖南永州·模拟预测）图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，） 3．（2025·河南周口·二模）每年3月20日是“世界口腔健康日”．下图是口腔科用的综合治疗椅，其中灯的灯臂长，与水平线的夹角为 ，连接处和灯柄的长相等，都等于，与水平线的夹角为，根据患者在治疗椅上所躺的位置，医生调节灯，使灯柄与水平线的夹角为 时给患者治疗光线最好，求此时、两点在竖直方向上的距离．(结果精确到．参考：取，取，取，取，取) 4．（2025·安徽滁州·三模）梿枷是我国的一种古代农具，如图1是用梿枷工作的场景．图2是该种劳动工具生产过程中某一时刻的简意图，梿枷的最低点B距地面，梿枷的杆身长，．当 时，求此时点A离地面的距离．（参考数据∶，，，，， ，结果精确到） 【题型 10坡度坡比与仰角俯角综合问题】 1．（24-25九年级下·重庆九龙坡·自主招生）如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） (1)求点D到的距离； (2)求塔的高度．（结果精确到0.1米） 在中， ， 2．（2025·四川成都·二模）青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）． 3．（2025·河南洛阳·三模）冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图（1）是某滑雪赛道，图（2）是其侧面简化示意图．是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长7.5米．小华从A处测得C处的仰角为，从B处测得C处的仰角为，已知，求滑雪赛道的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出米，，，则等于（   ）米 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．2 B． C． D．4 6．（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，某货船以28海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，，．要使A、C、E成一条直线．那么开挖点E与点D的距离是（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 10．（2022·陕西西安·三模）如图，在中，，平分交于点E，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·山东烟台·期中）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得博雅楼顶部的俯角为，尚美楼顶部的俯角为，已知博雅楼高度为米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号） 13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 14．（2024·湖北恩施·二模）如图，航拍器在点处监测到恩施大峡谷底端点的俯角为，航拍器垂直下降 米至点，监测到点的俯角为，的水平距离为 米． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 16．（24-25九年级上·上海·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形'与正方形的面积之比为，，则n的值为 ． 17．（2024·广东梅州·三模）小明想测量楼的高度．他在D处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至C处，测得仰角为，那么该楼有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到．参考数值：） 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，，的平分线交于点D，，求的长． 19．（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，求建筑物的高度． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 解直角三角形及应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.掌握直角三角形的所有性质，并能够在解直角三角形时灵活运用； 2. 掌握解直角三角形的所有类型，并能够熟练的判断并解决； 3. 掌握解直角三角形在实际问题中的应用的基本步骤,并能够熟练的应用； 4. 掌握仰角、俯角，方向角以及坡度、坡角的基本类型，并能够熟练的将实际问题转化为数学问题求解。 知识点 1 解直角三角形 1. 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. . 1．（2025·上海·模拟预测）已知在中，，若，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，若，， ，， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）在中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是掌握，求出，再根据勾股定理，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）某楼梯的侧面如图所示，已测得的长约为米，约为，则该楼梯的高度可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用正弦求得即可． 【详解】解：在中， 的长约为米，约为，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 4．（2015·山东临沂·一模）如图，菱形的边长为，，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形，锐角三角形函数的知识，解题的关键是根据题意，则，，求出，再根据菱形的面积公式，即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，中，，，若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查余弦的定义，掌握表示和的长是解题的关键，根解直角三角形的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 知识点 2 解直角三角形的应用 1）仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2）坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 3）方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. . 1．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，由定义得，即可求解；掌握是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 3．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．    【答案】 【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可． 【详解】解：由题意，得：海里， ∴海里； ∴渔船每小时航行海里； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连．为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（其他问题），利用三角形的内角和定理得出是解题的关键． 由三角形的内角和定理可得，然后根据即可求出、两点之间的距离． 【详解】解：，， ， ， 在中， ，米， （米）， 、两点之间的距离约为米． 5．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图，彩旗旗杆用，两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，，，，． (1)求旗杆部分的长． (2)求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用； （1）利用的正切解题即可； （2）在中运用勾股定理求出长，在中运用角所对的直角边等于斜边的一半求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：， 在中，, ∴， ∴钢丝的总长度为． 【题型 1 解直角三角形】 1．（24-25九年级下·辽宁锦州·期中）如图，菱形的对角线、交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角比等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并灵活应用． 利用菱形对角线的性质得出的度数，再利用特殊角的三角比求出长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 故选：B． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，则的长为（　　） A．8 B．12 C．13 D．18 【答案】C 【分析】在中，，求出，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数是解题的关键． 3．（2022·山东滨州·一模）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根据旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，从而求出． 【详解】解：在Rt△ABC中， AB==5， 由旋转旋转性质可得＝AC=3，=CB＝4， ∴＝AB-=2， ∵==2， ∴． 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键． 4．（20-21九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 5．（2024九年级下·全国·专题练习）在中，，a、b、c分别是的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形，含60度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 先利用直角三角形锐角互余求出，再用的正切求出b，再用的余弦求出c． 【详解】解：∵， ． 由知：， 由知，． ∴，，． 【题型 2 解一图多三角形的直角三角形】 1．（21-22九年级上·吉林长春·期末）如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ， ∴， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 2．（2019·浙江杭州·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，点D是BC边上一点．若∠B＝α，∠ADC＝β，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形分别用AC表示出AB，AD即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中，∵AB＝， 在Rt△ADC中，∴AD＝， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2025·浙江湖州·二模）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题考查了解三角形 （1）在中，利用， （2）在直中，利用勾股定理求出的长，由求出的长．再根据求解即可， 【详解】（1）于点D，，， ； （2）由（1）可得：， ∵，，， ∴ ， ， ． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，将两块直角三角板与按如图方式放置，，，，两条斜边相交于点O，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的判定和性质，利用平行线得到相似三角形是解决问题的关键．设，根据三角板的性质分别表示出、 ，然后利用相似三角形的性质得出结果． 【详解】解：设， 在直角中， ∵， ∴ ， ∴， 在直角中，， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 5．（2025·陕西西安·二模）如图，等边铜架的立柱于点D，长6m．现将铜架立柱缩短成，则钢架立柱缩短的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，解直角三角形，掌握特殊角的三边关系是解题的关键． 根据解直角三角形求出的长，从而得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【题型 3 解非直角三角形】 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 3．（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 4．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 【题型 4 网格问题】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在网格的格点上，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点D，连接，根据题意可得，，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图：延长到点D，连接 由题意得∶， ， ∴ 故选：B． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（    ） A．是直角三角形 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形．根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， ∴是直角三角形，， ∴，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 3．（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在一个的正方形网格中有一个，其顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：如图所示，连接，设正方形网格中小正方形的边长为个单位长度， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查解直角三角形，余弦的定义，勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理及余弦的定义是解题的关键． 4．（2025·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，找一格点C，连接，使； (2)在图②中，在线段上找一点C，连接AC，使； (3)在图③中，找一点C，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，即可求解； （2）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，则与交于点，即可求解； （3）结合格点图的特点，以为直角边，点为顶角作出等腰直角三角形，根据三角形全等找到另一个腰的中点，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：如图所示即为所求： （3）解：如图所示即为所求： 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和作法，全等三角形的判定和性质等知识点，根据题意作出符合的等腰直角三角形是解题的关键． 【题型 5 构造直角三角形求不规则图形的面积】 1．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据进行计算即可求出结果． 【详解】解：连接，如图所示   ，， ， 四边形的面积为48 故选：A． 【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．（2025·福建泉州·一模）一根钢管放在“V”形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、解直角三角形、切线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，由题意得都是的切线，得到，利用四边形的内角和定理得出，再证出，得到，利用正切的定义求出的长，最后利用阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，都是的切线， ，， ， ， ， ，，， ， ，， 在中，， ， ， 阴影部分的面积 ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，用6个全等的三角形拼成一个内外都是正六边形的图形，若，，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 过B作于P，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于P，则， ，， ， ， ， ， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【题型 6仰角俯角问题】 1．（2025·海南·模拟预测）定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，，C，，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点处，在点处测得定滑轮O的仰角为，物体从点B移动到点处绳子收回的长度为，已知物体的高度．则定滑轮O距地面的高度（定滑轮自身高度忽略不计）为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角问题），解题的关键是通过作辅助线，利用解直角三角形求解． 过点O作交的延长线于点D，延长交于点E，，根据题意，在中，，在中，求得，利用求解，最终求解出的长度． 【详解】如解图，过点O作交的延长线于点D，延长交于点E， 根据题意，得，在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵绳子收回的长度为， ∴，解得， ∴， 故定滑轮O距地面的高度为． 故选：C． 2．（2025·海南儋州·模拟预测）如图，是小明参观海口中心时的示意图，当走到点A时观测到海口中心顶端B点的仰角是，沿直线靠近海口中心至点D时，测得顶点B的仰角是．已知海口中心的高度是，则小明靠近海口中心的距离的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，在中，， ， 在 中，， ， ∴， ∴小明靠近海口中心的距离的长度是， 故选：A． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升30米到达处，测得博雅楼顶部的俯角为，尚美楼顶部的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度的为 米．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】22 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题． 过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N， 由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴解得（舍负）， ∴． 答：尚美楼的高度为米． 故答案为：22． 4．（2025·宁夏银川·二模）眼睛是心灵的窗户，每年的月日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点为眼睛的位置，到书籍的距离为，与水平方向夹角，小林在书桌上方的身长为，且垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．如图，过点作于，延长交的延长线于点，则四边形是矩形，，，由，，可得，在中，，，则，，，在中，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，延长交的延长线于点， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：小林与书籍底端的水平距离为． 【题型 7坡度坡比问题】 1．（2025·四川德阳·二模）如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（   ） A．13 B． C． D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，某山坡的截面图近似为等腰，，现测得斜坡与地面的夹角为，山顶距离地面5米，则下列说法正确的是（    ） A．斜坡的坡度是 B．斜坡的坡度是 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据坡度的概念，正切和正弦的定义计算，判断即可． 【详解】解：A，斜坡的坡角是，而不是坡度是，本选项说法错误，不符合题意； B，∵， ∴， ∴斜坡的坡度是，本选项说法正确，符合题意； C，过点作于， ∵， ∴， 在中，， ∴，本选项说法错误，不符合题意； D，，本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，大坝的横断面，斜坡AB的坡度，背水坡的坡度，若坡面的长度为，则斜坡的长度为 ．（，，结果精确到0.1） 【答案】13.4 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．过点作于，过点作于，易得四边形为矩形，结合坡的坡比确定，由三角函数可解得的值，再根据斜坡的坡比确定的值，然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， 则， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵坡的坡比， ∴，则， ∴米， ∴米， ∵斜坡的坡比，即， ∴米， ∴米． 故答案为：13.4． 4．（2025·湖北·二模）端午节期间，小优与小翼相约攀登武当山附近的一座小山．如图，他们先由山脚处步行到达山腰处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由处步行480到达山顶处．已知点，，，在同一平面内，山坡的坡度，山坡与水平线的夹角为，求，两地的垂直高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 过点作，过点作，利用含角的直角三角形的性质进行计算得出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， 则四边形是矩形， 由山底处先步行到达处，山坡的坡度， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 答：，两地的垂直高度为． 【题型 8方向角问题】 1．（2025·海南·一模）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（   ） A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，过点C作于点D，由题意得，设，解直角三角形即可得到、、，根据“”列方程求解可得． 【详解】解：过点C作于点D， 由题意得，设， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 即渔船此时与C岛之间的距离为5海里． 故选：C． 2．（2025·湖南·模拟预测）小颖在国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为（   ）（参考数据：）． A．85.5米 B．86.6米 C．87.5米 D．88.5米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点P作，垂足为C， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点P到赛道的距离约为86.6米， 故选：B． 3．（2025·内蒙古巴彦淖尔·三模）台风是一种破坏性极强的自然灾害．如图，点A是东方市，台风中心位于东方市的南偏东方向，距离为240千米的点B 处，已知台风中心沿北偏西的方向移动， 一段时间后台风中心移动到东方市的南偏东方向的点C处，此时台风中心移动的路径 的长度为 千米 ． 【答案】240 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题关键． 根据题意可得，得到，过点C作于H点，利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数的知识求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， 则， ∴， 过点C作于H点， ∴， 则在直角三角形中，千米． 故答案为：240． 4．（2025·安徽·模拟预测）合肥植物园内的珍稀花卉吸引了众多游客前来观赏与拍照留念．如图，四边形观赏区紧邻三角形温室．经测量C，B，E三点在同一直线上，且，长45米，长60米．点在点的正东方向，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向上，点在点的北偏东方向上．在点处种植了一株造型独特的龙舌兰，若游客从出发，沿着到达点去参观龙舌兰，请计算该游客所走的路程．（结果取整数，参考数据：，，，） 【答案】该游客所走的路程约为93米 【分析】本题考查了解直角三角形，以及矩形的性质和判定，解题的关键在于构造直角三角形求解． 过点作于点，利用解直角三角形求出，证明四边形为矩形，得到米，，利用解直角三角形求出，进而求出，即可解题． 【详解】解：如图，过点作于点，                        在中，，米， 米，米， 点在点的正北方向，点在点的正东方向， ， ， ， ， 四边形为矩形， 米，，                在中，， 米，                           米，米， 米， （米）， （米）． 答：该游客所走的路程约为93米． 【题型 9实物抽象模型问题】 1．（2025年江西省中考模拟预测数学试题）图1是总台蛇年春晚舞蹈《喜上枝头》的节目图片，节目汲取“喜鹊登枝”的美好寓意，将整个舞台打造成一幅展开的宋画．节目使用了春晚有史以来最大的道具，在画卷中搭建了一根长9.5米的“松枝”，松枝与喜鹊取“送喜”的吉祥寓意．如图2是“松枝”的简化图，已知，，，，点D到点C的垂直距离为，点D到点E的垂直距离为，，．（结果精确到） (1)求点A到点B的垂直距离； (2)求道具“松枝”的高度． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)点A到点B的垂直距离 (2)道具“松枝”的高度 【分析】本题主要考查解直角三角形和点与点的垂直距离， （1）过点A作交的延长线于点I，根据题意得，利用解直角三角形，即可求得； （2）过点D作的延长线于点J，过点D和点E作相交于点K，根据题意得和，结合即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点I， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 则点A到点B的垂直距离； （2）解：过点D作的延长线于点J，过点D和点E作相交于点K， ∵点D到点C的垂直距离为， ∴， ∵点D到点E的垂直距离为， ∴， 则道具“松枝”的高度． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）图1是某款沙滩椅，图2是该款沙滩椅放置在水平地面上的示意图．已知，可通过调试与的夹角来调整靠背高度． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若此时，求点到地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，， ，，） 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)48厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是： （1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）在中，根据正切的定义求出，结合三角形外角的性质求出，过H作于M，在中，根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：在中，， 又， ∴， ∵， ∴， 过H作于M， ∴（厘米）， 即点H到地面的高度为48厘米． 3．（2025·河南周口·二模）每年3月20日是“世界口腔健康日”．下图是口腔科用的综合治疗椅，其中灯的灯臂长，与水平线的夹角为 ，连接处和灯柄的长相等，都等于，与水平线的夹角为，根据患者在治疗椅上所躺的位置，医生调节灯，使灯柄与水平线的夹角为 时给患者治疗光线最好，求此时、两点在竖直方向上的距离．(结果精确到．参考：取，取，取，取，取) 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 利用锐角三角函数，分别求出点、点、点与点在竖直方向上的距离，计算即可． 【详解】解：根据已知可得， 、两点在竖直方向上的距离为， 、两点在竖直方向上的距离为， 、两点在竖直方向上的距离为， ∴、两点在竖直方向上的距离为 答：、两点在竖直方向上的距离为． 4．（2025·安徽滁州·三模）梿枷是我国的一种古代农具，如图1是用梿枷工作的场景．图2是该种劳动工具生产过程中某一时刻的简意图，梿枷的最低点B距地面，梿枷的杆身长，．当 时，求此时点A离地面的距离．（参考数据∶，，，，， ，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的其他应用，分别过点A，O作，，垂足分别为点C，D，则，故，然后分别在，中，由正弦的定义进行列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点O作平行地面的直线， 分别过点A，O作，，垂足分别为点C，D， 则． ∴， 则 在中，由正弦的定义，得． 在中，由正弦的定义，得． ∴该时刻点A到地面的距离为． 【题型 10坡度坡比与仰角俯角综合问题】 1．（24-25九年级下·重庆九龙坡·自主招生）如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，） (1)求点D到的距离； (2)求塔的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)点D到的距离为5米 (2)塔的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解． （1）过点D作于点G，利用坡度进行求解即可； （2）过点D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）解：过点D作于点G． 在中， ， ，即， ∵米， 米， 答：点D到的距离为5米； （2）解：过点D作于点H，则四边形是矩形． 米， 设，则米， 在中， ， ， 在中，米， 米， 在中， ， ． 解得米， 答：塔的高度约为米． 2．（2025·四川成都·二模）青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）． 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）作交于，四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：作交于， 则， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 3．（2025·河南洛阳·三模）冬季，滑雪项目成为许多人休闲娱乐的新选择．图（1）是某滑雪赛道，图（2）是其侧面简化示意图．是滑雪赛道的高度，斜坡的坡比，坡面长7.5米．小华从A处测得C处的仰角为，从B处测得C处的仰角为，已知，求滑雪赛道的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】11.5米 【分析】本题考查了解直角三角形应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则由题意得，，先解，根据坡比的定义设，结合勾股定理求出，解得到，设，表示出，再解，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过点作于点，则由题意得，， ∵斜坡的坡比，坡面长7.5米 ∴， 设， 则， 解得： 所以：，， 在中，， ∴ ∴， 在中，，即， 则， 解得： 所以滑雪赛道的高度为11.5米． 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出米，，，则等于（   ）米 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵米，，， ∴，即：， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，如果，，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图，   ， 在中，， ． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）将含有30°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关整式点是解题的关键． 根据题意得到，，求出，过点作，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，将三角板绕原点顺时针旋转， ，， ， ， 过点作， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）已知正六边形的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正六边形与圆，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，过点作于点，证出是等边三角形，再根据解直角三角形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，某货船以28海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（　　） A．14海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作， 由题意，得：，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴，即货船在航行中离小岛C的最短距离是海里． 故选：B． 7．（24-25九年级上·山东烟台·期末）定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在上取一点B，使，，．要使A、C、E成一条直线．那么开挖点E与点D的距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先利用三角形的外角性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：是的一个外角， ， ， ， 在中，， ， 开挖点与点的距离是， 故选：A． 9．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（   ） A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.4 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形及三角形的面积，先根据三角形的面积公式得出 进而得出，再结合的正弦得出即可解决问题． 【详解】解：因为 所以 所以 在中，， 令， 则， 所以 ， 又因为 所以． 故选： C． 10．（2022·陕西西安·三模）如图，在中，，平分交于点E，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，作于D，作于F，分别解直角三角形求得，和，从而求得，设，在中表示出，进而根据列出方程求得x，进而求得结果． 【详解】解：如图， 作于D，作于F， 在中， ， 在中，， ， ∴， 在中，设， 在中，， ， 由得，， ∴， ∴， 故选：B． 11．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 12．（24-25九年级上·山东烟台·期中）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得博雅楼顶部的俯角为，尚美楼顶部的俯角为，已知博雅楼高度为米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质和锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 过点B作交延长线于点P，交延长线于点Q，先通过矩形的性质可得，求得，然后根据可得，然后在中，根据三角函数的知识求得，然后即可求解． 【详解】解：过点B作交延长线于点P，交延长线于点Q，如图： 由题意可得：，，，四边形和四边形是矩形，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形和四边形是矩形，点为的中点， ∴， 在中，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 14．（2024·湖北恩施·二模）如图，航拍器在点处监测到恩施大峡谷底端点的俯角为，航拍器垂直下降 米至点，监测到点的俯角为，的水平距离为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点C作交延长线于D，根据题意可得由题意得，，米，则可证明，得到米，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交延长线于D， 由题意得，，米， ∴， ∴， ∴米， 在中，米， ∴的水平距离为米， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 【答案】15或9 【分析】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，． 【详解】解：如图，当点D在线段上时，作，锐角中，，，， 在中，，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 的长为； 如图：当点D在线段延长线上时，钝角中，，，， 在中，，，， 则，， 在中，由勾股定理得， ， 的长为． 故答案为：15或9． 16．（24-25九年级上·上海·期中）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形'与正方形的面积之比为，，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故答案为：3． 17．（2024·广东梅州·三模）小明想测量楼的高度．他在D处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进至C处，测得仰角为，那么该楼有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到．参考数值：） 【答案】 【分析】本题考查仰角的定义，要求能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解． 先根据等腰三角形的判定可得，再在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ， ∴， ∴， 答：该楼高约为． 18．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）在中，，，的平分线交于点D，，求的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由求出，然后求出，根据角平分线，则解求出，再由角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25九年级上·重庆黔江·期中）如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在点测得该建筑物顶端C的仰角为，建筑物底端的俯角为，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡度．根据小颖的测量数据，求建筑物的高度． 【答案】建筑物的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 过作于，延长交于．则四边形是矩形，得，在中求出，再解直角三角形求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于，延长交于． 则四边形是矩形， ， 在中，米，， （米）， （米）， 在中，， 是等腰直角三角形， （米）， 在中，，， （米）， 米． 即建筑物的高度约为米． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$