第13讲 图形的位似变化（1知识点+10考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第13讲 图形的位似变化 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 掌握位似图形的定义并能够熟练的判定位似关系。 2. 掌握位似图形的性质并能够在解决位似的相关题目时熟练的应用。 3. 掌握位似图形的画法，能够熟练的作位似图形。 4. 掌握位似变换中坐标的关系，能熟练的求出位似变换中的坐标 知识点 1 位似图形 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 常见的位似图形： 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，，，故A正确； ∴，，，故D错误； ∴，， ∴，故C正确； 若，则，即，故B正确； 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．根据位似图形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故D不正确，符合题意． 故选D． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心； （2）解：补全如图所示： 考点一： 辨别位似图形 1．（2024九年级上·全国·专题练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 4．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点分别是边的中点，连接，则下列叙述不正确的是（    ） A．与位似 B．与位似 C．与位似 D．与位似 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，三角形中位线的判定和性质，位似图形的判定和性质，掌握位似的定义和性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，根据点是中点，可得，结合位似的定义和性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，点是的中点， ∴，线段是的中位线， ∴， ∵点是菱形对角线的交点， ∴点是的中点， ∴在中，；在中，； 同理，在中，；在中，； ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点A为位似中心， ∴与关于点A成位似图形，A选项正确，不符合题意； 同理，与关于点A成位似图形，B选项错误，符合题意； 与关于点O成位似图形，C选项正确，不符合题意； 与关于点A成位似图形，D选项正确，不符合题意； 故选：B． 考点二： 确定位似中心 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，和是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别连接、、，其所在直线交于点 则点G为所求的位似中心， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 考点三： 由位似图形的性质判断结论正误 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确； B、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确； D、与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的性质，相似三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选B． 3．（20-21九年级上·重庆·阶段练习）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（   ） A． B． C．点A，O，三点在同一条直线上 D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似三角形的性质，利用位似图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴,，，点A，O，三点在同一条直线上， ∴， 故选项A错误，符合题意，选项B、C、D正确，不符合题意， 故选：A． 考点四： 求位似图形的相似比 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∵的周长与的周长比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质与判定．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可解题． 【详解】解：与位似，位似中心为， ，， 与的周长之比是， ， ， ， ． ∴的值为． 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为， ∴， ， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，再根据相似三角形的性质列式计算即可． 本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：， ． 和是以点为位似中心的位似图形， ，，， ， ， ， ， 故答案为：6． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 的正方形卡纸． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意得进而可得相似比为，则面积比为，即可求解． 【详解】解：每个“”形图近似于正方形， ， ∵第②个小“”形图是的正方形卡纸， ∴第①个大“”形图的面积． 故答案为：． 考点五： 画位似图形 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的特征是解题关键． 两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．作射线，根据位似中心的概念、三角形的位似比解答即可． 【详解】解：作射线，如下图， 射线经过点，且，故， ∴点的对应点为点． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将△放大为原来的2倍后的位似图形； (2)点的坐标是 ； (3)在（1）的条件下，已知△的面积为，则△的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据题意连接并延长至,使得，顺次连接，则即为所求； （2）根据（1）中图形即可得出点的坐标； （3）根据位似图形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）由（1）得：点的坐标是， 故答案为：； （3）∵和关于原点位似， ∴， 故答案为：14． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点、的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出； (2)求的面积； (3)若点在边上，直接写出点位似后的对应点的坐标_____． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换． （1）根据位似的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积，用梯形面积减去两个三角形的面积即可； （3）直接利用位似图形对应点坐标扩大为原来的2倍，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为； （3）解：由题意得，点P位似后的对应点的坐标为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的（点A，B，C的对应点分别是点．）； (2)以点O为位似中心在第四象限内画出的位似图形，使得与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、位似图形等知识点，根据轴对称的性质（位似图形的性质）先确定变化后关键点的坐标是解题的关键． （1）由轴对称的性质先确定点，然后再描点、连线即可解答； （2）根据位似图形的性质确定，然后再描点、连线即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图：即为所求． 6．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)和是位似图形， 【分析】此题考查了位似图形和平移的作图． （1）① 根据位似图形的作图方法作图即可；②根据平移规律作图即可； （2）根据位似图形的定义进行判断并找到位似中心即可． 【详解】（1）解：①如图，为所作； ②如图，为所作； （2）和是位似图形；如图，点为所求，坐标为． 考点六： 求位似图形的线段长度 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解：，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）以点为位似中心，将缩小后得到如图所示的，且．若，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点为位似中心， ∴，又，， ∴， ∴， 故答案为：4． 3．（22-23八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】先根据位似图形的性质得到点的坐标，再根据两点间的距离公式计算出的长即可得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，而，， ，或，， 或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，还考查了两点间的距离公式． 4．（2021·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】过E点作BD的垂线，根据菱形的性质可知，，根据勾股定理可以得出，所以，OH=1，HF=3，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF，OF的长，再根据相似三角形，列出比例：，从而求出OP的长度，最后由求得结果． 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∵E是BC的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形，熟练掌握菱形的相关性质，勾股定理的适用范围，以及相似三角形的应用是解决本题的关键． 考点七： 求位似图形的周长 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与位似，点O为位似中心，，若的周长是5，则的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长是5， ∴的周长是15， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到四边形四边形，，得到，根据相似三角形的性质得到，再根据相似图形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，， ∴， 又∵， ， 四边形与四边形相似比为3， 四边形的周长是2， 四边形的周长为6， 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知 ，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形与四边形的周长比为2：5， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查位似图形的性质．根据正方形的周长为4和位似比求出，进而即可求解． 【详解】解：正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， 正方形的边长为，， ， 四边形的周长为， 故答案为：8． 考点八： 求位似图形的面积 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积是16． 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，三角板在手电筒光源照射下形成了投影，三角板与其投影为一对位似图形，其位似比是，若的面积是，则其投影的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的面积关系，解题关键掌握位似图形的面积比等于相似比的平方．利用位似图形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】依题意： 即 解得：（） 故选：B 3．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，与位似比是， ∴，且与相似比是， ∴与面积比是， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，以点为位似中心的四边形和四边形面积比为，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是位似变换，根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵四边形和四边形面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 考点九： 求位似图形的坐标 1．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，位似比是解题的关键． 根据点，相似比为，点在第三象限即可求解． 【详解】解：，相似比为，以点为位似中心， ∴，即， 故选：C ． 2．（24-25九年级上·云南保山·期末）已知的顶点的坐标为，若以原点为位似中心画，使与的相似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质是解题的关键． 根据与的相似比为，即可求解． 【详解】解：已知的顶点的坐标为，以原点为位似中心，与的相似比为， ∴点的坐标为，即或，即， 即点的坐标为或， 故选：A ． 3．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点 ，点 在第一象限，已知 与 位似，位似中心是原点 ，且 的面积是 面积的 4 倍，则点 对应点 的坐标为（     ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与位似，等边三角形的性质，勾股定理，过点作，根据等边三角形的性质，求出点坐标，根据两个三角形的面积，求出相似比，进而得到位似比，根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵边三角形 的顶点 ， ∴， ∴， ∴， ∵ 与 位似，且 的面积是 面积的 4 倍， ∴与的相似比为， ∴位似比为：， ∵位似中心是原点 ， ∴或， 即： 或 ； 故选D． 4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，A，B两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的图形．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 【答案】/ 【分析】的边长是的边长的2倍，过点B作轴于点M，过点作轴于点N，可证得，再由相似三角形对应边成比例的性质，且的横坐标为，的长为，，据此解题．本题考查相似三角形的性质，把点的坐标问题转化为线段的长的问题是解题关键． 【详解】解：如图，过点B作轴于点M，过点作轴于点N， ∵， 则， ∴， ∵把的边长放大到原来的2倍，记所得的图形．设点的横坐标是， ∴，， ∴， ∴， 则点的对应点的横坐标是 故答案为：． 考点十： 与位似图形相关的规律 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点坐标之间的关系，即可求解． 【详解】解：∵在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形与矩形是位似图形，点B与点是对应点， ∵，，点B的坐标为， ∴点的坐标为， ∵将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形， ∴，即， ， ∴， ∴矩形的对角线交点的坐标为， ∴矩形的对角线交点的纵坐标为， 故答案为：． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换、点的变化规律．根据当、、的坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：，，，，， ， ， 的坐标为，即， 故选：A． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可． 【详解】解：，，， 线段与线段的相似比为， ， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 【答案】或（） 【分析】本题考查的是位似图形的性质、图形的变化规律，根据位似图形的性质求出，根据正方形的面积公式计算，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴的面积； ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 同理可得，的面积； …… 则的面积为， 故答案为：或（）． 5．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 1．（2025·重庆·三模）如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形与坐标的性质是解题的关键； 分在原点同侧和异侧两种情况进行讨论，A的坐标分别乘以和，即可求解． 【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为，以原点为位似中心，按相似比把线段缩小， 点A的对应点的坐标可以是，也可以是，即或． 故选：D． 3．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解． 【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转； 故选：B． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 5．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点O为位似中心，画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键．根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标是或，原选项错误，不符合题意； B． 由与的位似比为得与的周长之比为，原选项错误，不符合题意； C．由勾股定理得，原选项正确，符合题意； D． 可能在第一象限内，也可能在第三象限内，原选项错误，不符合题意； 故选：C 6．（2025·浙江金华·二模）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似变换，根据相似三角形的判定与性质以及位似图象的定义判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∴，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A正确； ∴， ∴，即蜡烛火焰长，故C正确； 线段中点与线段中点的连线一定经过点O，故D错误， 故选：D． 7．（2025·河北唐山·二模）如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（   ） A．直线一定经过点O B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似的性质，位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，点C是的中点， ∴直线一定经过点O，，位似比为：， ∴与的相似比为， ∴，， ∴，； 故判断错误的是选项D； 故选D． 8．（2025·浙江·二模）已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 9．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为．点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)，将点的横、纵坐标乘以即可得到点的坐标，据此求解即可． 【详解】解：∵①号“”与②号“”的相似比为，点Q坐标为 ∴点的坐标为，即， 故选：D． 10．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识点，解题关键是利用相似求出，设点，用坐标表示三角形面积． 根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，利用位似可得，由轴，结合反比例函数性质可得，进而可，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为2． 11．（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 12．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，构建相似三角形求出点的坐标是解题的关键．过点作轴于，轴于，构造相似三角形求出点的坐标，再利用位似变换的性质求出点的坐标，代入反比例函数即可． 【详解】解：过点作轴于，轴于， 将沿翻折得到， ，，， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 解得， ，， ， 放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ． 故答案为：． 13．（2025·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，在轴下方画出； (2)若以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)计算点转过的弧长（结果保留）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查了位似和旋转变换作图，弧长公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用位似变换的性质分别作出各顶点的对应点并顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出各顶点的对应点并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质得到弧的半径，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：即为所求作： （2）解：即为所求作： （3）解：∵， ∴以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，点转过的弧长为． 14．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长，位似图形的性质，解题的关键是求出函数解析式； （1）得点B坐标为代入解析式即可； （2）由题意得正方形的面积为2，故其边长为，根据点G在反比例函数上，令，解得即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得点B坐标为， 将其代入反比例函数解析式，， 反比例函数解析式为； （2）解：由题意得正方形的面积为2，故其边长为，点G在反比例函数上， 令，解得， ． 15．（24-25九年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 几何透视几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： (1)如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影    B．位似    C．图形的全等 (2)如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． (3)如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，位似； （1）由得到，即可说明一点透视运用的数学原理是位似； （2）由结合得到，再由得到，结合求出 （3）过作交于，于，先根据等腰三角形和平行线得到，即可得到，再由得到，结合得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），， ∴， ∴一点透视运用的数学原理是位似， 故选：B； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：，理由如下： 如图，过作交于，于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 图形的位似变化 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 掌握位似图形的定义并能够熟练的判定位似关系。 2. 掌握位似图形的性质并能够在解决位似的相关题目时熟练的应用。 3. 掌握位似图形的画法，能够熟练的作位似图形。 4. 掌握位似变换中坐标的关系，能熟练的求出位似变换中的坐标 知识点 1 位似图形 1.位似图形 定义: 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心. 【概念混淆】位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形. 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 常见的位似图形： 2.位似图形的性质 1) 位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点. 2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质. 5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似 3.画位似图形 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫做位似变换. 画位似图形的一般步骤： 1）确定位似中心. 2）连接位似中心和原图的关键点并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 4.位似变换的坐标特征 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的（   ） A． B．若，则 C． D． 3．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 5．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 考点一： 辨别位似图形 1．（2024九年级上·全国·专题练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 4．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点分别是边的中点，连接，则下列叙述不正确的是（    ） A．与位似 B．与位似 C．与位似 D．与位似 考点二： 确定位似中心 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，和是位似图形，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点三： 由位似图形的性质判断结论正误 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·重庆·阶段练习）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（   ） A． B． C．点A，O，三点在同一条直线上 D． 考点四： 求位似图形的相似比 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是 ，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，与的面积比为，则为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 的正方形卡纸． 考点五： 画位似图形 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将△放大为原来的2倍后的位似图形； (2)点的坐标是 ； (3)在（1）的条件下，已知△的面积为，则△的面积是 ． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点、的对应点分别为、． (1)在第一象限内画出； (2)求的面积； (3)若点在边上，直接写出点位似后的对应点的坐标_____． 5．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的（点A，B，C的对应点分别是点．）； (2)以点O为位似中心在第四象限内画出的位似图形，使得与的相似比为． 6．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 考点六： 求位似图形的线段长度 1．（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为 ． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）以点为位似中心，将缩小后得到如图所示的，且．若，则线段的长为 ． 3．（22-23八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心画，使与成位似图形，且与的相似比为，则线段的长度为 ． 4．（2021·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 考点七： 求位似图形的周长 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与位似，点O为位似中心，，若的周长是5，则的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，以点 O 为位似中心，作四边形的位似图形 ，已知若四边形的周长是2，则四边形的周长是（      ） A．4 B．6 C．16 D．18 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知 ，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 考点八： 求位似图形的面积 1．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，三角板在手电筒光源照射下形成了投影，三角板与其投影为一对位似图形，其位似比是，若的面积是，则其投影的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东揭阳·阶段练习）与是位似图形，且与的相似比是．已知的面积是3，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，以点为位似中心的四边形和四边形面积比为，若，则的长为 ． 考点九： 求位似图形的坐标 1．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南保山·期末）已知的顶点的坐标为，若以原点为位似中心画，使与的相似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B． C． D．或 3．（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点 ，点 在第一象限，已知 与 位似，位似中心是原点 ，且 的面积是 面积的 4 倍，则点 对应点 的坐标为（     ） A． B． 或 C． D． 或 4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，A，B两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的图形．设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是 ． 考点十： 与位似图形相关的规律 1．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，且，，在第二象限内，将矩形以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形，再将矩形以原点O为位似中心放大倍，得到矩形，，以此类推，得到的矩形的对角线交点的纵坐标为 ． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线于点，以为边作正方形；延长交射线于点，以为边作正方形，．按照这样的规律继续作下去，若，则的面积为 ． 5．（23-24九年级下·四川眉山·期中）如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 1．（2025·重庆·三模）如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．以原点为位似中心，按相似比把线段缩小，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 3．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（2025·山东潍坊·二模）如图，每个小正方形的边长为1，的顶点在格点上．以点O为位似中心，画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法正确的是（   ） A．点的坐标是 B．与的周长之比为 C． D．一定在第一象限内 6．（2025·浙江金华·二模）小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 7．（2025·河北唐山·二模）如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（   ） A．直线一定经过点O B． C． D． 8．（2025·浙江·二模）已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·福建福州·期中）如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为．点与为一组对应点，若点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏南通·一模）如图，点A在反比例函数的图象上，延长到B，使，过点B作轴，与的图象交于点C，，交于点D，若四边形的面积为，则k的值为 ．    11．（2025九年级下·全国·专题练习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 个． 12．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点，，将（点为坐标原点）沿翻折得到，以为位似中心，将放大为原来的两倍后得到，其中点的对应点为点，点恰好在反比例函数的图象上，则的值为 ． 13．（2025·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，在轴下方画出； (2)若以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)计算点转过的弧长（结果保留）． 14．（2025·河南焦作·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点B，以原点O为位似中心，将正方形扩大得到正方形，使其面积比为．交反比例函数的图象于点G，已知． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的长． 15．（24-25九年级下·山西朔州·期中）阅读与思考 几何透视几何透视是一种在二维平面表现三维空间的方法，能使观察者产生空间感和深度感．其基本原理是根据近大远小的视觉规律，平行于观察者视线方向的线条都汇聚于消失点．几何透视主要分为一点透视、两点透视和三点透视． 一点透视，又叫平行透视．适用于物体正面与画面平行的场景，只有一个消失点．如图1，视线，汇聚（相交）于视平线的点O处（消失点O），． 两点透视，又叫成角透视．适用于物体与画面成一定角度的情况，有两个消失点．如图2，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），． 三点透视，适用于俯瞰或仰视场景，有三个消失点．如图3，视线与汇聚（相交）于视平线的点M处（消失点M），视线与视线汇聚（相交）于视平线的点N处（消失点N），视线，，汇聚（相交）于视平线垂直方向上的点P处（消失点P）． 任务： (1)如图1，根据上述信息可知，一点透视运用的数学原理是________．（只有一个选项符合题意） A．平行投影    B．位似    C．图形的全等 (2)如图2，两点透视画法中，若，，，求的长． (3)如图4，是三点透视（图3）中的部分平面图形，若，，，猜想与的数量关系，并说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$