第11讲 相似三角形的判定（2知识点+11考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第11讲 相似三角形的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：11大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解相似多边形的概念； 2.掌握相似三角形的判定方法，并能够运用熟练的判断三角形的相似. 知识点 1 相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 2．（2024九年级上·全国·专题练习）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 4．【选做】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 知识点 2 相似三角形的判定 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. . 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级下·全国·课前预习）下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 4．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【考点1 相似多边形的识别】 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 3．（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似D．所有的正方形都是相似形 5．（2021九年级·上海·专题练习）下列各组图形中一定是相似形的是 （填序号）． （1）两个平行四边形一定相似；（2）两个矩形一定相似；（3）两个正方形一定相似； （4）两个菱形一定相似；（5）两个下底角相等的等腰梯形相似；（6）有一个内角为80°的两个等腰三角形相似；（7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似；（8）等边三角形都相似；（9）直角三角形都相似；（10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似． 【考点2 判断两个三角形是否相似】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，下列三角形与不一定相似的是（　　） A．B．C．D． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，D为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【考点3 补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 2（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【考点4 裁剪使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B．C．D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在纸片中，，，将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．③④ 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号 【考点5 尺规作图使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，点D为上一点，且．请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 5．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 【考点6 格点中判断两三角形相似】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A．B．C． D． 2．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（    ）    A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    【考点7 确定与己知三角形相似的三角形】 1．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（点不与点，重合），，交于点，则下列一定与相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，点P在边上，，过点P作直线截，使截得的新三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【考点8 确定哪两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24九年级·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若，则下列结论中一定正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似 4．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点9 确定相似三角形的对数】 1．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，平行四边形，是延长线上一点，与、交于点、，则图中相似三角形(相似比不是1)共有(    )对 A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-20九年级上·河南郑州·期中）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接，交于点，交于点． (1)图中共有几对相似三角形？请分别写出来； (2)求证： 【考点10 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】 1．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）如图在直角坐标系中有两点，，点为的中点，点在轴上，若以点，，组成的三角形与相似，则点的坐标为（    ）    A． B．或 C．或 D．或 2．（20-21九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 3．（19-20九年级上·浙江湖州·期末）如图，点A、B、C、D的坐标分别是、、、，若与相似，则点E的坐标不可能是(  ) A． B． C． D． 【考点11 相似三角形的证明】 1．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 5．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，点在的边上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 4．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A．B．C．D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．（23-24九年级上·北京顺义·期末）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 10．（24-25九年级上·河北承德·期末）下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 12．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 13．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 14．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 16．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 17．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 相似三角形的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解相似多边形的概念； 2.掌握相似三角形的判定方法，并能够运用熟练的判断三角形的相似. 知识点 1 相似多边形 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为△ABC∽△DEF. 【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）在如图所示的三个矩形中，相似的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：①②③的邻边之比分别为：， ∴相似的是②③， 故选：B． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥四个角对应相等的两个等腰梯形；⑦有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形．根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】解：①两个矩形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形； ②两个正方形，对应角度数相等，对应边成比例，是相似图形； ③两个等腰三角形，对应边的比、对应角的度数不一定相等，不一定是相似图形； ④两个等边三角形，对应边的比、对应角的度数一定相等，是相似图形； ⑤两个直角三角形，锐角不一定相等，不一定是相似三角形； ⑥四个角对应相等的两个等腰梯形，对应边的比不一定相等，不一定是相似图形； ⑦有一个角为的两个菱形，边的比一定相等，且对应角一定对应相等，是相似图形； ∴有3个相似图形． 故选：C． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【详解】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 4．【选做】（24-25九年级上·河南平顶山·期中）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 知识点 2 相似三角形的判定 1）判定三角形相似的常用定理： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 2）直角三角形相似的判定方法： ①有一个锐角相等的两个直角三角形相似. ②两组直角边成比例的两个直角三角形相似. ③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. . 1．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 2．（21-22九年级下·全国·课前预习）下列各组条件中不能使与相似的是（   ） A．，， B．，， C．，，，， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：A、，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴与的夹角为，与的夹角为， 而给出的条件为， ∴不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故本选项符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意得，， 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 若添加条件，则有，符合题意； 添加的条件可以是或或（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 个． 【答案】1 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 6．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 【考点1 相似多边形的识别】 1．（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 4．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是（   ） A．所有的菱形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似D．所有的正方形都是相似形 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误； B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误； C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误； D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确； 故选：D 5．（2021九年级·上海·专题练习）下列各组图形中一定是相似形的是 （填序号）． （1）两个平行四边形一定相似；（2）两个矩形一定相似；（3）两个正方形一定相似； （4）两个菱形一定相似；（5）两个下底角相等的等腰梯形相似；（6）有一个内角为80°的两个等腰三角形相似；（7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似；（8）等边三角形都相似；（9）直角三角形都相似；（10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似． 【答案】（3）、（7）、（8）、（10） 【分析】利用相似图形的定义，分别判断得出即可． 【详解】解：（1）两个平行四边形对应角不一定相等，所以两个平行四边形不一定相似； （2）两个矩形对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似； （3）两个正方形一定相似，正确； （4）两个菱形对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似； （5）两个下底角相等的等腰梯形其对应边不一定成比例，所以两个下地角相等的等腰梯形不一定相似； （6）有一个内角为80°的两个等腰三角形其对应角不一定相等，所以有一个内角为80°的两个等腰三角形不一定相似； （7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似一定相似，正确； （8）等边三角形都相似，正确； （9）直角三角形其对应锐角不一定相等，所以直角三角形不一定相似； （10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似，正确． 故答案为：（3）、（7）、（8）、（10）． 【点睛】本题考查相似图形的定义，正确把握相似图形的定义是解题关键． 【考点2 判断两个三角形是否相似】 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（   ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据选项条件逐项进行判断即可． 【详解】解：如图， 设 ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故选项B不符合题意； 如图2， ，，， 取的中点H，连接，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项C不符合题意； ，， 若，则， ∴此时与不相似， ∴与不一定相似， 故选项D符合题意； 故选：D 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，已知，下列三角形与不一定相似的是（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：∵原三角形的三边之比为：； A、因为三组对应边的比相等的两个三角形相似；不符合题意； B、因为有两组角对应相等的两个三角形相似；不符合题意； C、因为两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；不符合题意； D、两组对应边的比相等，但是夹角不一定相等，所以与不一定相似． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，D为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键． 利用相似三角形的判定逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，， ， ，故能判定，不符合题意； B、，但不一定等于， 不能判定，符合题意； C、， ，故能判定，不符合题意； D、， ，故能判定，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，连接，下列给出的条件不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A． ，，不是夹对应角的两边对应成比例，不能得到，故符合题意； B．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； C．，即，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； D．，，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得到，故不符合题意； 故选A． 【考点3 补充条件使两个三角形相似】 1．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法“两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；”求解即可． 【详解】解：在和中，， ①， ∴与一定相似，故①正确； ②， ∴与一定相似，故②正确； ③， ∴与不相似，故③错误； ④， ∴与一定相似，故④正确； ⑤， 即， ∴与不相似，故⑤错误； 综上所述，能判定相似的有①②④， 故选：A ． 2（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意； ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意． 综上所述，能满足的条件有①③，共2个． 故选：B． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 【考点4 裁剪使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形判定的方法． 根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，符合题意，选项正确． 故选：． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； 阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ，，，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似； 两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； 故选：A． 5．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在纸片中，，，将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故A正确． 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ．（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 【考点5 尺规作图使两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在正方形中，点E为对角线的延长线上一点，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质、尺规作一个角等于已知角，先根据相似三角形的对应角相等得到，然后利用尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【详解】解：如图，点P即为所求作 在正方形中， 又∵， ∴． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰中，，，请用尺规在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 作的垂直平分线，交于点，连接，由此即可得． 【详解】解：如图，点即为所求．    理由：由线段垂直平分线的性质得：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，，点D为上一点，且．请用尺规作图法，在边上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，等边对等角，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意，利用尺规作一个角等于已知角尺规作出交于点E即为所求． 【详解】解：如图所示，点E即为所求． ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ 由作图得， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线及相似三角形的判定，熟知基本作图方法及相似三角形的判定定理是正确解答此题的关键． （1）根据基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即可； （2）用两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解：如图所示：以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即为中边上的高； （2）证明： ， ， ， ， 又， ． 5．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，为平行四边形的对角线，E为的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，在上作一点F，连接，使得． (2)如图2，在上作一点G，连接，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、重心的性质与判定、中位线定理，相似三角形德邦判定，根据相关性质正确作图是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出； （2）连接交于点，连接交于点，连接并延长交交于点，由平行四边形的性质得点为的中点，结合点E为的中点，可得点为的重心，再由重心的性质可得为的中线，即点为的中点，所以是的中位线，则有，即可得出． 【详解】（1）解：如图，点F即为所求： （2）解：如图，点G即为所求： 【考点6 格点中判断两三角形相似】 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∴，， ∴是直角三角形，夹直角的两边的比为， A、不是直角三角形，故A选项不符合题意； B、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故B选项不符合题意； C、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故C选项符合题意； D、三边分别为、、4，，故不是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（21-22八年级下·山东威海·期末）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①，②，③，④，⑤，其中与⑤相似的三角形是（    ）    A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则 ①△ABC的各边长分别为1、、． ②△ACD的各边长分别为1、、2 ； ③△ADE的各边长分别为2、2 、2 ； ④△AEF的各边长分别为2、2、6； ⑤△AGH的各边长分别为、2、； ∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH， 故选A． 【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，的三个顶点均在的网格的格点上，现任选三个格点，组成一个格点三角形与相似（不全等），则这个格点三角形可以是 （写出一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先利用勾股定理求出三边的长，再根据三边对应成比例的三角形相似在图中找到与三边对应边成比例的三角形即可． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得， ，， ∴，， ∴， 同理可得，， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点7 确定与己知三角形相似的三角形】 1．（22-23九年级上·广西贺州·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线内错角相等即可证明两个三角形相似． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，数量掌握几种判定定理是解题关键． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图，已知与都是等边三角形，点在边上（点不与点，重合），，交于点，则下列一定与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据等边三角形的性质得到，，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，等边三角形的性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，点P在边上，，过点P作直线截，使截得的新三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（   ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．根据相似三角形的判定条件，画出对应的图形进行分析即可解答． 【详解】解：如图，当直线时，此时，符合题意； 如图，当时，此时，符合题意； 如图，当直线时，此时，符合题意； 综上所述，满足这样条件的直线共有3条． 故选：B． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点8 确定哪两个三角形相似】 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，由尺规作图痕迹可知，下列两个三角形一定相似的是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作相等角、相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定． 根据作图可知，即可证明． 【详解】解：根据作图可知， 又， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）剪一张含角的直角三角形，如图所示，将直角沿直线折叠，使点C落在斜边上的点D处，则图中一定相似（不含全等）的三角形是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、折叠性质、等腰直角三角形的性质，根据折叠性质和相似三角形的判定逐个判断即可． 【详解】解：由题意，是等腰直角三角形，则， 由折叠性质得，，，故选项C不符合题意； ∴， 则与、与不相似，故选项A、B不符合题意； ∵，， ∴，故选项D符合题意， 故选：D． 3．（23-24九年级·全国·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若，则下列结论中一定正确的是（    ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似 【答案】B 【分析】由题图可知，，由，可得 即可得出 【详解】由题图可知，，结合，可得. 故选B. 【点睛】当题中所给条件中有两个三角形的两边成比例时，通常考虑利用“两边成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立（类似判定三角形全等的方法“SAS"）. 4．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 【考点9 确定相似三角形的对数】 1．（2024九年级上·山西·专题练习）如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等)共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定；根据等腰直角三角形的性质得出，，进而可得，，根据两角相等即可得出，，，即可求解． 【详解】和是两个全等的等腰直角三角形 ， ，， ，，， 共有对． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知、都是等边三角形，点D、E分别在、上，图中的相似三角形共有（   ）对． A．3对 B．4对 C．6对 D．7对 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，三角形内角和定理，根据相似三角形的判定定理即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵、都是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 综上，相似三角形共有对， 故选：D． 3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，平行四边形，是延长线上一点，与、交于点、，则图中相似三角形(相似比不是1)共有(    )对 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定；根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 则，， ， 则，，， 综上所述，共有对相似三角形． 故选：C． 4．（23-20九年级上·河南郑州·期中）如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EDP=∠FCP=90°， ∵∠EPD=∠FPC， ∴△EDP∽△FCP； ∵∠FEB=∠FCP=90°， ∵∠F=∠F， ∴△FEB∽△FCP； ∴△FEB∽△EDP； ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， ∵∠BEF=90°， ∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠DEP=∠ABE， ∴△EDP∽△BAE； ∴△FCP∽△BAE； ∴△FEB∽△BAE； 共有6对， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接，交于点，交于点． (1)图中共有几对相似三角形？请分别写出来； (2)求证： 【答案】(1)6对，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可； （2）由得，有；由得，有，进而得出． 【详解】（1）解：是平行四边形， ，， ，，，，五对，还有一对特殊的相似即， 共6对； （2）， ． ； ， ． ． ， 即． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似，属于中考常考题型． 【考点10 坐标系中确定使两三角形相似的点的个数】 1．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）如图在直角坐标系中有两点，，点为的中点，点在轴上，若以点，，组成的三角形与相似，则点的坐标为（    ）    A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，再根据与两种情况进行讨论． 【详解】∵点，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵为中点， ∴， 如图，      当时，， 即，解得：， ∴， ∴点， 如图，      当时，， 即，解得：， ∴， ∴点， 综上可知： 故选：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是要进行分类讨论，不要漏解． 2．（20-21九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）．若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（　　）    A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】D 【分析】此题需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得． 【详解】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况： 一、若点P在AB的左边，如图1，有两种可能： ①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD， 则（x﹣2）：3＝4：（x+2） 解得x＝4， ∴点P的坐标为（﹣4，0）； ②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD， 则（x﹣2）：（x+2）＝4：3 解得：x＝﹣14 不存在．    二、若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能： ①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD， ∴4：3＝（x+2）：（2﹣x） 解得：x＝， ∴点P的坐标为（，0）； ②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD， ∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3， 方程无解；    三、若点P在CD的右边，如图3，有两种可能： ①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD， ∴4：3＝（2+x）：（x﹣2）， ∴x＝14， ∴点P的坐标为（14，0）， ②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD， ∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3， ∴x＝4， ∴点P的坐标为（4，0）； ∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）． 故选：D．    【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定．解题的关键是数形结合思想的应用．注意分类讨论，小心别漏解． 3．（19-20九年级上·浙江湖州·期末）如图，点A、B、C、D的坐标分别是、、、，若与相似，则点E的坐标不可能是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：中，，，，AB：． A、当点E的坐标为时，，，，则AB：：DE，∽，故本选项不符合题意； B、当点E的坐标为时，，，，则AB：：DE，∽，故本选项不符合题意； C、当点E的坐标为时，，，，则AB：：CD，与不相似，故本选项符合题意； D、当点E的坐标为时，，，，则AB：：DE，∽，故本选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，难度中等牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 【考点11 相似三角形的证明】 1．（2025·河南周口·一模）如图，在菱形中，． (1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图角平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质， 先根据正方形的性质得和都是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得，，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 【详解】证明：∵，分别是正方形和正方形的对角线， ∴和都是等腰直角三角形，     ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 4．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 5．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点在边上，且，，点是的中点，连接并延长，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识： （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，再分别求出，，，从而可得结论． 【详解】（1）证明： （2）解：由（1）得 又 ，点是的中点 1．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，点在的边上，要判断与相似，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； 时，不是夹角，故不能判定与相似，故C错误，符合题意要求． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）在中，，，平分，则与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 3．（2023·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 4．（22-23九年级上·北京通州·期中）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，，，故A不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、由图形可知，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 6．（19-20九年级上·北京顺义·期末）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 7．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 8．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的三角形相似，根据三边对应成比例的三角形相似得判定方法逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴能判定两个三角形相似，符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 故选：． 9．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．底角为的两个等腰三角形相似 B．一个两边长分别是6和4，另一个两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 C．一个锐角为的两个直角三角形相似 D．有个角为的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形，三角形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据有两角对应相等的两个三角形相似判定A；根据三边不对应成比例的三角形不相似判定B；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定C；根据有两角对应相等的两个三角形相似判定D． 【详解】解：A、底角为的两个等腰三角形，有两底角对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； B、一个的斜边为6，直角边为4，则另一直角边为，另一个两直角边长分别是9和6，则斜边为，∵ 两三角形三边不对应成比例，∴两三角形不相似，故此选项符合题意； C、一个锐角为的两个直角三角形，有角和直角两对应角相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； D、有个角为的两个等腰三角形，它们顶角是，底角是，顶角与底角分别 对应相等，两三角形相似，故此选项不符合题意； 故选：B． 10．（24-25九年级上·河北承德·期末）下列四组三角形中，是相似的三角形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵第二个等腰三角形的顶角也等于， ∴两个三角形的夹角相等，夹边对应成比例，是一对相似三角形，符合题意； 、∵第一个等腰三角形的底角为， ∴顶角为， ∵两个等腰三角形的顶角不相等， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 、由勾股定理得，第二个直角三角形的另一条直角边长为， ∵两个三角形的三边不成比例， ∴两个三角形不相似，不合题意； 故选：． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于构造辅助线． 在上截取，，导角证明，即可证明． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与相似的三角形是， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 13．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 14．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，请用尺规作图法在上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，相似三角形的判定，先在的内部作，再结合平行线的性质可得． 【详解】解：如图，点P即为所求． 理由：∵， ∴， 由作图可得：， ∴． 15．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，．用尺规过点作直线与交于点，使得（其中与不平行，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析． 【分析】本题考查作一个角等于已知角，三角形相似判定与性质，掌握作一个角等于已知角的方法与步骤是解题关键． 利用作一个角等于已知角方法：作，利用相似三角形的判定定理即可判定． 【详解】解：过点以任意长为半径画弧交角的两边分别为、，再以点D为圆心以长为半径画弧交于，再以点为圆心，长为半径画弧交前弧于，则，过点D作射线交于点E，如图所示， ，， ． 16．（24-25九年级上·贵州毕节·阶段练习）如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ． （2）由（1）， ，即， 即， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$