山东省寿光市第一中学2024-2025学年高一下学期期末拉练数学试题二

第 1页（共 10页） 期末拉练二数学试卷 一、单项选择题：本大题共 8 小题． 1．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱 AA1异面的棱有（ ） A．8条 B．6条 C．4条 D．2条 2．下列命题正确的是（ ） A．若向量� → ∥ � → ，� → ∥ � → ，则� → ∥ � → B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．方向不同的两个向量不可能是共线向量 D．若向量� → = ( − 3， − 6)，则� → 分别在 x轴，y轴上的投影的数量之和为﹣9 3．下列各式化简结果为 1 2 的是（ ） A．1﹣2cos275° B．sin15°cos15° C．sin14°cos16°+sin76°cos74° D．tan20°+tan25°+tan20°tan25° 4．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，f（z）＝z2就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函 数 f（z）之后，对任意一个复数 z0，通过计算公式 zn+1＝f（zn），n∈N，可以得到一列值 z0，z1，z2，…， zn，…．若 f（z）＝z2，z0＝1﹣i，当 n≥3时，zn＝（ ） A．22�−1 B．22� C．22�+1 D．4n﹣1 5．在△ABC中，若 AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是（ ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 6．若 tanθ＝﹣2，则 �������2� ����−���� =（ ） A．− 65 B．− 2 5 C． 2 5 D． 6 5 第 2页（共 10页） 7．如图，在平行四边形 ABCD中，E，F分别为线段 AD，CD的中点，且 AF∩CE＝G，则（ ） A．�� → = �� → − 12 �� → B．�� → = 23 �� → − 13 �� → C．�� → = 12 (�� → + �� → ) D．�� → = 3�� → 8．已知函数�(�) = ����� − 3�����(�＞0)，若 f（x）的图像在区间（0，π）上有且只有 2个最低点， 则实数ω的取值范围为（ ） A．( 136 ， 7 2 ] B．( 7 2， 25 6 ] C．( 8 3， 14 3 ] D．( 2 3， 8 3 ] 二、多项选择题：本大题共 3 个小题． 9．已知正四棱台上、下底面边长分别为 2，4，侧棱长为 2，则（ ） A．正四棱台的高为 2 B．正四棱台的斜高为 3 C．正四棱台的表面积为 20 + 12 3 D．正四棱台的体积为 28 2 3 10．设 z1，z2，z3为复数，且 z3≠0，则下列命题正确的是（ ） A．若|z1|＝|z2|，则 z1＝±z2 B．若 z1z3＝z2z3，则 z1＝z2 C．若|�3|2 = �1�3，则 z1＝z3 D．若�2 = �1，则|z1z3|＝|z2z3| 11．已知函数�(�) = ���(2� + �12 )，则下列说法正确的是（ ） A．函数 f（x）的最小正周期为 2π B．函数 f（x）的图像关于直线� = 1124�对称 C．函数 f（x）的图像关于点( − 7�24，0)对称 D．函数 f（x）在(0， �4 )上单调递减 第 3页（共 10页） 三、填空题：本大题共 3 小题. 12．记△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 �2 + �2 − �2 = 2 33 ������，则 B ＝ ． 13 ． 已 知 正 三 棱 柱 ABC﹣ A1B1C1 的 底 面 边 长 为 1 ， 侧 棱 长 为 2 ， 则 其 外 接 球 的 表 面 积 为 ． 14．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即 A，B两点间的距离），现取与 A，B两点在同一平面内 的两点 C，D，测得 C，D间的距离为 1500米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°， 则 A，B两点的距离为 米． 四、解答题：本大题共 5 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知 A（3，m），B（2，1），C（﹣2，1），D（n，﹣2）是复平面内的四个点，其中 m，n∈R，且向 量�� → ，�� → 对应的复数分别为 z1，z2，且 z1﹣z2＝﹣6+2i． （1）求 z1，z2； （2）若复数� = �1+��2 ，t∈R，在复平面内对应的点 Z在第四象限，求实数 t的取值范围． 16．已知向量� → = (1，2)，� → = ( − 2，5)， � → = 2� → + �� → (� ∈ �)． （1）若 � → ⊥ � → ，求 t的值； （2）若� → 与� → 的夹角为锐角，求 t的取值范围． 17．在△ABC中，点 P在边 BC上，� = �3，AP＝4，记 AC的长为 m，PC的长为 n，且 mn＝16． （1）求∠APB； （2）若△ABC的面积为 7 3，求 sin∠PAB． 第 4页（共 10页） 18．某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋（如图 1）．现测量其中一个屋顶，得到圆锥 SO的底面直径 AB长为 12m，母线 SA长为 18m（如图 2）． （1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花 50朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要 多少朵鲜花（参考数据：π≈3.14）； （2）若 C是母线 SA的一个三等分点（靠近点 S），从点 A到点 C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光 带的最小长度． 19．已知函数�(�) = ���(2� − �6 ) − 2���(� + � 4 )���(� + 5 4�)． （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若函数 y＝f（x）﹣k在区间[ − �6， 11 12�]上有且仅有两个零点，求实数 k的取值范围． 第 5页（共 10页） 期末拉练二数学试卷参考答案与试题解析 1．解：如图所示， 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中， 与棱 AA1异面的棱有：BC，CD，C1D1，B1C1． 故选：C． 2．解：A．若� → 与� → 不共线，� → = 0 → ，满足� → ∥ � → ，� → ∥ � → ，则得不出� → ∥ � → ，A错 误； B．模相等方向相反时，这两个向量不相等，B错误； C．方向相反的两个向量共线，C错误； D.� → = ( − 3， − 6)在 x轴上的投影为﹣3，在 y轴上的投影为﹣6，D正确． 故选：D． 3．解：对于 A，原式＝1﹣（1+cos150°）＝﹣cos150°＝cos30°= 32，故错误； 对于 B，原式= 12sin30°= 1 2 × 1 2 = 1 4，故错误； 对于 C，原式＝sin14°cos16°+cos14°sin16°＝sin（14°+16°）＝sin30°= 12，故正确； 对于 D，原式＝tan（20°+25°）（1﹣tan20°tan25°）+tan20°tan25°＝tan45°（1﹣tan20°tan25°） +tan20°tan25°＝1﹣tan20°tan25°+tan20°tan25°＝1，故错误． 故选：C． 4．解：依题意，z1＝（1﹣i）2＝﹣2i，z2＝（﹣2i）2＝﹣4，z3＝（﹣4）2＝24， 当 n≥3时，zn＞0，由 zn+1= ��2，得： log2zn+1＝2log2zn，而 log2z3＝4，则 ���2��+1 ���2�� =2， 当 n≥4时，���2�� = ���2�3 × ���2�4 ���2�3 × ���2�5 ���2�4 × ���2�6���2�5 ×⋯ × ���2�����2��−1 ＝4×2n﹣3＝2n﹣1， log2z3＝4满足上式， ∴当 n≥3时，log2zn＝2n ﹣1，�� = 22 �−1 ． 故选：A． 5．解：∵AB＝3，BC＝4，AB＜BC， ∴C＜A， 第 6页（共 10页） ∴A必为大于 30°的角，故 A可以为锐角，也可以是钝角， ∴此三角形有二解， 故选：B． 6．解：因为 tanθ＝﹣2，所以 �������2� ����−���� = ����(���2�−���2�) ����−���� = ����(����+����)(����−����)����−���� ＝﹣sinθcosθ﹣sin2θ= −��������−��� 2� ���2�+���2� = −����−���2� ���2�+1 = 2−4 4+1 =− 2 5． 7．解：E，F分别为线段 AD，CD的中点， ∴�� → = 12 �� → ， ∵�� → = �� → + �� → ， ∴�� → = 12 (�� → + �� → )，故选项 C正确； �� → = �� → + �� → = �� → + 12 �� → ，故选项 A错误； �� → = 23 �� → = 23 �� → + 13 �� → ，故选项 B错误； �� → = 2�� → ，故选项 D错误． 故选：C． 8．解：∵函数�(�) = ����� − 3�����(�＞0) =2cos（ωx+ �3）， 若 f（x）的图像在区间（0，π）上有且只有 2个最低点，ωx+ �3∈（ � 3 ，ωπ+ �3）， ∴3π＜ωπ+ �3 ≤5π，求得 8 3 ＜ω≤ 143， 故选：C． 9．解：对于 A，∵正四棱台上下底面对角线长为 2 2，4 2， ∴正四棱台的高ℎ = 22 − ( 4 2−2 22 ) 2 = 2，�错误； 对于 B，正四棱台的斜高ℎ′ = 22 − ( 4−22 ) 2 = 3，B正确； 对于 C，∵正四棱台侧面积为 4 × 12 × (2 + 4) × 3 = 12 3，上下底面面积分别为 4，16， ∴正四棱台的表面积� = 4 + 16 + 12 3 = 20 + 12 3，C正确； 对于 D，正四棱台的体积� = 13 (4 + 4 × 16 + 16) × 2 = 28 2 3 ，D正确． 故选：BCD． 第 7页（共 10页） 10．解：当 z1＝1，z2＝i时，|z1|＝|z2|，但 z1≠±z2， 故选项 A错误； ∵z1z3＝z2z3，且 z3≠0， ∴z1＝z2，故选项 B正确； 当 z1＝i，z3＝﹣i时，|�3|2 = �1�3，但 z1≠z3， 故选项 C错误； 若�2 = �1，则|z1z3|＝|z1|•|z3|， |z2z3|＝|z2|•|z3|＝|�1|•|z3|＝|z1|•|z3|， 故选项 D正确； 故选：BD． 11．解：对于函数�(�) = ���(2� + �12 )， 对于 A：函数的最小正周期为 2� 2 = �，故 A错误； 对于 B：当 x= 11�24 时，f（ 11� 24 ）＝cos 24� 24 =−1，故 B正确； 对于 C：当 x=− 7�24时，f（− 7� 24）＝cos（ −14� 24 + 2� 24 ）＝cos（− �2）＝0，故 C正确； 对于 D：当� ∈ (0， �4 )时，2� + � 12 ∈ ( � 12， 7� 12 )，故函数在该区间上单调递减，故 D正确． 故选：BCD． 12．解：因为�2 + �2 − �2 = 2 33 ������， 所以由余弦定理可得 2accosB= 2 33 acsinB， 所以可得 tanB= 3， 又 B∈（0，π）， 则 B= �3． 故答案为： � 3 ． 13．解：如图，设正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的上下底面中心分别为 E，F， 则由正三棱柱与球的对称性可知 EF 的中点 O 即为正三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的外接球心， ∴OA即为外接球的半径 R，设正三角形 ABC的截面小圆半径为 r， 第 8页（共 10页） 又正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的底面边长为 1，∴由正弦定理可得 1 ���60° = 2�， ∴� = 1 3 ，又 EF＝AA1＝2，∴OF＝1， 在 Rt△AOF中由勾股定理可得 r2+OF2＝R2， ∴ 1 3 + 1 = �2，∴�2 = 43， ∴正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为 4��2 = 4 × � × 4 3 = 16 3 �． 故答案为： 16 3 �． 14．解：由题意可知在△ADC中，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°+15°＝150°， 则∠DAC＝180°﹣150°﹣15°＝15°，故 AD＝DC＝1500， 在△BDC中，∠DCB＝∠ACD+∠ACB＝15°+120°＝135°， 故∠DBC＝180°﹣135°﹣15°＝30°， 故由 �� ���∠��� = �� ���∠��� 得 BD= �����∠������∠��� = 1500× 22 1 2 =1500 2， 在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos135°， ＝15002+（1500 2）2+2×1500×1500 2 × 22 =5×1500 2， 故 AB＝1500 5（米）． 故答案为：1500 5． 15．解：（1）由已知可得�� → =（﹣5，1﹣m），�� → = (n﹣2，﹣3）， 则 z1＝﹣5+（1﹣m）i，z2＝n﹣2﹣3i， 所以 z1﹣z2＝﹣3﹣n+（4﹣m）i＝﹣6+2i，则 −3 − � =− 64 − � = 2 ，解得 m＝2，n＝3， 所以 z1＝﹣5﹣i，z2＝1﹣3i， （2）因为 z= �1+��2 = −5−�+�1−3� = (−5+�−�)(1+3�) (1−3�)(1+3�) = −2+�+(3�−16)� 10 在复平面内对应的点在第四象限，则 −2+ �＞0 3� − 16＜0 ， 解得，即实数 t的范围为（2， 16 3 ）． 16．解：（1）∵ � → ⊥ � → ， � → = (2 − 2�，4 + 5�)， ∴� → ⋅ � → =− 2(2 − 2�) + 5(4 + 5�) = 0， 第 9页（共 10页） ∴� =− 1629； （2）∵� → 与� → 的夹角为锐角， ∴� → ⋅ � → ＞0，且� → 与� → 不共线， ∴ 2 − 2� + 2(4 + 5�)＞0 4 + 5� − 2(2 − 2�) ≠ 0 ，解得�＞ − 54且 t≠0， ∴t的取值范围为：{�|�＞ − 54且� ≠ 0}． 17．解：（1）在△APC中，由于 C= �3， AC＝m，PC＝n，AC•PC＝mn＝16， 所以利用余弦定理��2 = ��2 + ��2 − 2 ⋅ �� ⋅ ����� �3， 整理得：16＝m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn， 解得 m+n＝8， 故 m＝n＝4， 则：AC＝PC＝AP，所以△APC为等边三角形， 所以∠��� = 2�3 ． （2）由�△��� = 7 3， 所以 1 2 ⋅ �� ⋅ �� ⋅ ��� = 7 3，解得 BC＝7，则 BP＝3； 如图所示： 作 AD⊥BC交 BC于点 D，由（1）可知：在等边三角形 APC中， AD＝2 3，PD＝2， 在 Rt△ABD中，AB= ��2 + ��2 = 37， 在△ABP中，利用正弦定理： �� ���∠��� = �� ���∠��� ， 整理得：sin∠��� = 3× 32 37 = 3 11174 ． 18．解：（1）圆锥的侧面展开图的面积为：S＝πrl＝6×18×π≈339.12， 需要的鲜花为：339.12×50＝16956（朵）； （2）圆锥的侧面展开图如图： 第 10页（共 10页） ∠ASC= 12�18 = 2� 3 ， SA＝18，SC＝6， 在△SAC中，AC= ��2 + ��2 − 2�� × �� × ��� 2�3 =6 13， 即灯光带的最小长度为 6 13米． 19．解：（1）�(�) = ���(2� − �6 ) − 2���(� + � 4 )���(� + 5 4�) ＝sin2xcos � 6 −cos2xsin � 6 +2cos（x+ �4）sin（x+ � 4） = 32 sin2x− 1 2cos2x+sin（2x+ � 2） = 32 sin2x− 1 2cos2x+cos2x = 32 sin2x+ 1 2cos2x ＝sin（2x+ �6）， 令− �2 +2kπ≤2x+ � 6 ≤ � 2 +2kπ，k∈Z，所以− � 3 +kπ≤x≤ � 6 +kπ，k∈Z， 所以函数 f（x）的单调递增区间为：[− �3 +kπ， � 6 +kπ]，k∈Z． （2）函数 y＝f（x）﹣k在区间[ − �6， 11 12 �]上有且仅有两个零点， 即曲线 y＝sin（2x+ �6）与直线 y＝k在区间[ − � 6， 11 12�]上有且仅有两个交点， 由 x∈[ − �6， 11 12�]，可得 2x+ � 6∈[− � 6，2π]， 当 x∈[ − �6， 11 12�]时，f（x）＝sin（2x+ � 6）∈[﹣1，1]， 设 t＝2x+ �6，则 y＝sint，t∈[− � 6，2π]， 当 k∈（﹣1，− 12）∪（0，1）时，曲线 y＝sint与直线 y＝k区间 t∈[− � 6，2π]上有且仅有两个交点．