精品解析：2025年广西柳州市柳南区九年级中考三模数学试题

2025年5月九年级教学实验研究质量监测试卷 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是绿灯 D. 画一个三角形，其内角和为 6. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 9. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（参考数据：，，） A. 9.98cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm 11. 如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（ ） A. B. C. D. 12. “结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（ ） A. 186 B. 185 C. 184 D. 183 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：_______． 14. 不等式的解集是______． 15. 二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，）．若某一振动频率f为260赫兹，长度l为0.5米，则k的值为______． 16. 如图，在矩形中，已知，P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解 第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 18. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，交于点D，E．（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的基础上，连接，求的周长． 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．统计如下：请你完成下列任务： 李悦、王芳的三项测试成绩和总评成绩表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 李悦 86 84 m n 王芳 83 72 80 78 （1）在摄影测试中，五位评委给李悦打出的分数如下：71，68，68，74，69．这组数据的中位数是______分，平均数是______分； （2）计算李悦的总评成绩n； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析李悦、王芳能否入选，并说明理由． 20. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元． （1）采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ （2）请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 21. 如图，为半圆直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 23. 实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积． ③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月九年级教学实验研究质量监测试卷 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将考号、姓名、班级填写在试卷和答题卡上，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A：是整数，不是无理数，不符合题意； B：是整数，不是无理数，不符合题意； C：是分数，不是无理数，不符合题意； D：符合无理数的定义，符合题意．   故选：D ． 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 3. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 4. 2025年蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，设计了“巳巳如意纹样”，象征着美好的愿望和幸福．以下四个如意纹样中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A项中的图形能够找到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以是中心对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一点，使图形绕着该点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以都是中心对称图形， 故选：A． 5. 下列事件中，必然事件的是（ ） A. 掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上 B. 某同学投篮球，一定投不中 C. 经过红绿灯路口时，一定是绿灯 D. 画一个三角形，其内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、掷一枚硬币，恰好是国徽面朝上，是随机事件，不符合题意； B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意； C、经过红绿灯路口时，一定是绿灯，是随机事件，不符合题意； D、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 6. 如图，一把直尺、两个含的三角尺拼接在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意知，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：C． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 8. 在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B 9. 如图，在扇形纸扇中，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式，是解题的关键．根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的长是． 故选：B． 10. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（ ）（参考数据：，，） A. 9.98cm B. 11.22cm C. 19.58cm D. 22.44cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据等腰三角形性质求出，根据角度的正切值可求出． 【详解】解：∵，为高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象识别，根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象． 【详解】解：根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是D． 故选：D． 12. “结绳计数”是远古时代人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，类似我们现在熟悉的“进位制”，如图所示是一位古人记录的当天采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，这位古人当天采摘果实的个数是（ ） A. 186 B. 185 C. 184 D. 183 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，读懂题意，理解古代记数规则，再转化为现代的十进制数是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，绳子上按照古代记数规则是，由于满四进一，将其转化为现在的十进制数为， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算：_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简多重符号，根据表示求的相反数即可解答． 【详解】解：． 故答案：2025 14. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， 则， ∴， 故答案为： 15. 二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即（k为常数，）．若某一振动频率f为260赫兹，长度l为0.5米，则k的值为______． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，待定系数法求出k的值即可． 【详解】解：∵，当f为260赫兹，长度l为0.5米， ∴； 故答案为：130． 16. 如图，在矩形中，已知，P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由勾股定理可得．由三边关系可得，当且仅当A、M、C三点共线时取等号，即，即可得答案． 【详解】解：连接，，如图1所示， ∵四边形为矩形，， ∴由勾股定理可得． 由折叠可知， 在中，由三边关系可得，当且仅当A、M、C三点共线时取等号， 即， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段最值，轴对称的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得 第一步 第二步 第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解 第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 【答案】任务一：一，漏乘了；任务二：正确解题过程见解析 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据分式方程的解法步骤即可确定解题步骤错误之处及原因，最后根据分式方程解法步骤求解即可得到答案．熟记分式方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了， 故答案为：一，漏乘了； 任务二：该题的正确解题过程如下： ， 去分母得， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 18. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别与，交于点D，E．（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的基础上，连接，求的周长． 【答案】（1）图见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）以为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于点，连接分别与，交于点D，E即可； （2）勾股定理求出的长，中垂线的性质得到，设，在中，利用勾股定理求出的值，再根据周长公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴的周长． 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．统计如下：请你完成下列任务： 李悦、王芳的三项测试成绩和总评成绩表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 李悦 86 84 m n 王芳 83 72 80 78 （1）在摄影测试中，五位评委给李悦打出的分数如下：71，68，68，74，69．这组数据的中位数是______分，平均数是______分； （2）计算李悦的总评成绩n； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析李悦、王芳能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，70 （2）82 （3）李悦能入选，王芳不一定能入选，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查直方图，求中位数和平均数，熟练掌握中位数和平均数的计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）根据直方图中的数据进行判断即可． 【小问1详解】 解：5个数据排序后，第3个数据为69， 故中位数为：69分； 平均数为：（分） 故答案为：69，70； 【小问2详解】 由题意，得：； ∴； 【小问3详解】 李悦能入选，王芳不一定能入选，理由如下： 由直方图可知，80分以上的学生有人，李悦的成绩为82，故李悦能入选，分有6人，王芳的成绩低于80分，入选12人，故无法确定王芳是否能入选． 20. 在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角的设计．种植与养护同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍已知绿萝每盆元，吊兰每盆元． （1）采购组计划将经费元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？ （2）请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】（1）可购买绿萝盆，吊兰盆 （2）购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）设可购买绿萝盆，吊兰盆，根据题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共盆，采购组计划将预算经费元全部用于购买绿萝与吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍，得，求得的取值范围，设购买两种绿植共花费元，由题意得：，根据一次函数的增减性即可求得最省钱的方案． 【小问1详解】 解：设可购买绿萝盆，吊兰盆， 依题意得：， 解得：， 答：可购买绿萝盆，吊兰盆； 【小问2详解】 解：设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 绿萝盆数不少于吊兰盆数的倍， ， 解得：， 设购买两种绿植共花费元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最小值，即花费最少， （元）， 此时购买吊兰盆，绿萝（盆）， 答：购买吊兰的盆，绿萝盆，总花费最少，最少为元． 21. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在的延长线上，与半圆相切于点，与的延长线相交于点，与相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由等腰三角形的性质得，进而由切线的性质得，再由对顶角和等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）设，则，可得，，再在中，利用勾股定理得，即得，得到，，，再根据求出即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴, ∵是切线， ∴， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴，， ∴， 中，， ∴， 解得，(不合，舍去)， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 22. 项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】任务一：；；任务二：（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：任务一：设，将点代入得， ， 解得：， ∴， 设，将点代入得， ， 解得：， ∴； 任务二：（1）由，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （2）当时，，解得：， 当时，， ∴． 23. 实践与探究 杨老师在教学过程中特别重视教材的运用，下面是他以教材课后习题为载体，引导学生进行数学实践操作与拓展探究． 【教材再现】人教版九年级上册数学课本第70页“综合运用”第6题： 已知，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得这两个三角形能够拼成一个以，为邻边的平行四边形？ 【实践操作】 （1）如图1，航天小组同学将绕中点______（填“平移”或“轴对称”或“旋转”）得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形． 【特例探究】 （2）航天小组同学继续探索，若是直角三角形，，，，在（1）的基础上，将绕点C顺时针旋转得到，探索中发现： ①当D，B，点共线时，连接（如图2），四边形是个特殊的四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论． ②当旋转角度是时，设与交于点E（如图3），求的面积． ③当B，，三点构成直角三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）旋转；（2）①四边形是矩形；证明见详解；②的面积为；③线段的长度为或或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得答案； （2）①由旋转可得：，进而证明 ，得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形，根据，可证明四边形是矩形；②作于，证明，进而可求得，，由，可得，进而可求，即可求的面积；③分三种情况：当时，当时，当时，结合题意画出图形，证明三角形相似或运用勾股定理定理逐一求解即可． 【详解】解：（1）将绕中点旋转得，就可拼成一个以，为邻边的平行四边形， 故答案为：旋转； （2）①四边形是矩形， 证明：由旋转可得：， ， ， 当D，B，点共线时，， ， ， ， 中，，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形矩形； ②作于， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， 旋转角度是，即， ， ， ， ， ， ； ③当时，如图所示： 作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 当时，如图所示： 由旋转可得：， ， 作于， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， 此时三点共线， ， ， 综上所述，当B，，三点构成直角三角形时，线段长度为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $