重点专题1-1 初高衔接之代数强化训练（13类题型）- 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

1 专 1- 1 高衔接之代数强化训练 中与高中数学 知识 容、能 要 学习方式上存 著差异，部 高中必备数学知识 中 段未系统 及。为弥 知识断 、实 高中 容的 滑衔接，本讲义特 针对代数运 与 辑 推理进行强化训练，重点提升运 技能与化归思想， 学们高效 高中数学学习要 。 模块一 代数强化训练 【 1】因式 解强化： 参十字相乘 1 【 2】二重 式的化 3 【 3】试 法解一 三次方 4 【 4】解二 二次方 5 【 5】齐次式计 ：比值 6 【 6】立方 与立方差 式 6 【 7】 识一 二次方 的 7 模块二 初中重要内容回顾与拓展 【 8】一 二次方 与系数的 系 9 【 9】解三角形 (知三 三) 10 【 10】 方差 式与完 方 式提升训练 12 【 11】 式 函数图像： 离 数与反比 函数图像的 移 13 【 12】函数过定点问 14 【 13】 类讨论与数形结 思想 15 【课 训练】 15 模块一 代数强化训练 【题型 1】因式分解强化：含参十字相乘 心|技巧 十字相乘法： x2+ (p+ q)x+ pq= x+p x+q  二次三 式 ax2+ bx+ c(a≠ 0)中,如果二次 系数 a可以 解成两个因数之积,即 a= a1× a2, 数 c可以 解成两个因数之积,即 c= c1× c2,把a1,a2,c1,c2.排 如下: 2 按斜线交叉相乘, 相 ,得 a1c2+ a2c1,若它正好 于二次三 式 ax2+ bx+ c的一次 系数 b, 即 a1c2+ a2c1= b, 么二次三 式 可以 解为两个因式 a1x+ c1与 a2x+ c2之积,即 ax2+ bx + c= a1x+c1 a2x+c2 . 1 ax2- (2a+ 1)x+ 2可因式 解为 ． 2 解因式： x2+ ax- x- a= 0 1 x2- 2-a x- 2a可因式 解为 2 解因式： x2+ a-2 x- a+ 1= ． 3 解因式： x2+ a+ 1 a xy+ y2 a≠0  3 4 解因式： a-1 x2+ 2a-1 x+ 2 【题型 2】二重根式的化简 二重 式化 ，中考不做要 ， ， 高中的三角函数、解析几 中却 出 ! 心|技巧 a+ b 2= a+ b+ 2 ab，要化 A+2 B， a+b=A ab=2B  1 化简 式： 7-4 3 2 (2023新高考二卷T7)化简 3- 5 8 1 化简 式： 8+4 3 2 化简 式： 7- 40 4 【题型 3】试根法解一元三次方程 高次方 高中 段基本上不 单独考查，即 考查次数也不 超过三次， 函数或导数解 计 中 经 出 键一步，所以掌握 单有实数 的一 三次方 的解法 很有必要的。 心|技巧 试 法：高中 段考查的三次方 单 见，如±1，±2，⋯由此 定方 的一个 ，然 对三次方 因式 解，从而完成方 解。 1 解方 :x3- 3x2+ 4= 0 1 解方 ： x3- 3x+ 2= 0 2 解方 ： x3- 3x2+ 4 3 x3- 9x+ 10= 0 5 【题型 4】解二元二次方程 二 方 组的解法 中有过比较详细的学习。 二 二次方 组 高中 继续 ，它的解法 有 特殊性，所以有必要 这一 强化。 心|技巧 1、代 法解二 二次方 组的一 步骤： (1) 取一个系数较 单的二 一次方 变形，用 有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2) 变形 的方 代 另一个方 ， 去一个未知数，得 一个一 方 ； (3)解这个一 方 ， 出未知数的值； (4) 得的未知数的值代 (1)变形 的方 中， 出另一个未知数的值； (5) 出原方 组的解． 2、 减 法解二 二次方 组的一 步骤： (1) 用 式的基本性质， 原方 组中某个未知数的系数化成相 或互为相反数的形式； (2) 变形 的两个方 相 或相减， 去一个未知数，得 一个一 方 (若未知数系数相 用 减法，若未知数系数互为相反数 用 法)； (3)解这个一 方 ， 出未知数的值； (4) 得的未知数的值代 原方 组的任 一个方 中， 出另一个未知数的值； (5) 出原方 组的解． 1 解方 组： 3x2-y2-y+3=0 2x-y=1  1 x 2+y2=5 x+y-3=0  2 4x2-9y2=15, 2x-3y=5.  6 【题型 5】齐次式计算：比值消元 心|技巧 齐次式： 式两端或 子 母中每一 的次数都相 的式子称为齐次式 比值 ：一种特殊的 方式，可以把双变量方 化为单变量计 ， 出两个变量的比 系 1 已知： x2- 3xy+ 2y2= 0， x y = ． 1 已知： a> c> 0，且 c4- 3a2c2+ a4= 0， c a = ． 2 已知： x2+ 5xy- 6y2= 0， 2x+3y 2x-y = ． 【题型 6】立方和与立方差公式 心|技巧 立方差：a3- b3= (a- b) ⋅ a2+ab+b2 ; 方 ： a3+ b3= (a+ b) ⋅ a2-ab+b2  1 已知 x2- 3x+ 1= 0， x3+ 1 x3 7 1 设 x= 2+ 3 2- 3 ， y= 2- 3 2+ 3 ， x3+ y3的值. 2 化简： (x+ 1) (x- 1) x2-x+1 x2+x+1  【题型 7】初识一元二次方程根的分布 心|技巧 一 二次方 的 问 ，原理 单， 点 于要有清 的 类讨论 数形结 的思想.一 考虑以下几方 ： 1. 开口 (若不能 定， 类讨论，特 要注 二次 系数有可能 于零的情  ). 2. 定给定点处函数值的正负.(开口 上的二次函数若存 函数值 于零， △> 0  恒成立) 3. 定△ 号. 4. 定对称轴的 .       总之，耐心去 类讨论 ( 类讨论不容 失误，一步 往往 解或多解)，借 图 去 析 可以得 结论，无 记忆. (1)二 二次方 R上 的 情 ①方 有两个不 的实数 ⇔Δ= b2- 4ac> 0; ②方 有两个相 的实数 ⇔Δ= b2- 4ac= 0; ③方 有实数 ⇔Δ= b2- 4ac< 0 8 (2)一 二次方 的 的“0” ①方 有两个不 正 x1,x2⇔ Δ=b2-4ac>0 x1+x2=- ba >0 x1x2= ca >0      ； ②方 有两个不 负 x1,x2⇔ Δ=b2-4ac>0 x1+x2=- ba <0 x1x2= ca >0      ③方 有一正 一负 ,设两 为x1,x2⇔ x1x2= ca < 0 1 关于 x的一元二次方 m-2 x2+ 2m+1 x+m- 2= 0有两个不相等的正实数 ， m 的取值 围 ( ) A. m> 3 4 B. 3 4 <m< 2 C. - 1 2 <m< 2 D. m> 3 4 且m≠ 2 1 已知关于 x的方 x2+ 2 a+2 x+ a2- 1= 0有一个正 一个负 ， 实数 a的取值 围为 ． 2 关于 x的方 x2- 4mx+ 2m+ 6= 0至 有一个负 ， m的取值 围 ( ) A. m≥ 3 2 B. m≤-1 C. m≥ 3 2 或m≤-1 D. m<-1 9 模块二 初中重要内容回顾与拓展 【题型 8】一元二次方程根与系数的关系 心|技巧 一 二次方 的 与系数 与系数的 系：即 ax2+ bx+ c= 0的两 为x1,x2， x1+ x2=- ba ，x1x2= c a 。 用韦达 定理可以 一些代数式的值 (式子变形)，如x21+ x22= x1+x2 2- 2x1x2 1 已知一元二次方 x2- 5x+ k= 0的两个实数 为 x1， x2，若 x1x2+ 2x1+ 2x2= 1， 实数 k 的值． 1 已知 x1,x2 方 x2- 3x+ 1= 0的两个实 ， 有 x21+ x22= ， x1-x2 = 2 已知关于 x的一元二次方 ax2- 2 a-1 x+ a- 1= 0有两个实数 ． (1)求 a的取值 围． (2)若该方程的两个实数根为 x1， x2，且 x21x2+ x1x22= 2，求 a的值． 10 【题型 9】解三角形 (知三求三) 心|技巧 三角形有三边三角共六个元素，知 其中 3个元素时可以解出三角形的其他三个元素 (AAA除外) 1 (2024新高考二卷)记△ABC的内角A，B，C的对边 为 a， b， c，已知A= 30°， a= 2， 2= 2cosB， △ABC的 长． 2 某 学用 3个全等的 三角形拼成如图所示的等边△ABC，已知EF= 2， cos∠ACF= 13 14 ， S△ABC= ( ) A. 49 4 B. 49 3 4 C. 49 2 D. 49 3 2 1 (2024·高考题)记锐角△ABC的内角A、B、C，已知B= 60°sinC= 2cosB，△ABC 的 积为 3+ 3， AB． 11 2 △ABC中，角A,B,C所对的边 为 a,b,c,B= 15°，C= 60°， b= 1， △ABC的 积． 3 如图，若∠BED= 60°，DE= 8，BD= 46 2 BE， BD 【题型 10】平方差公式与完全平方公式提升训练 高中的过渡衔接 重要， 中必 掌握的一些知识很多 学 掌握好，导致高中学习相当 心|技巧 知识扩 ：三 完 方 (x+ y+ z)2= x2+ y2+ z2+ 2xy+ 2xz+ 2yz 1 计算化简 (1) ( a- b+ 1) (-1+ a- b ) - ( a+ b )2 (2) 1- 1 22  1- 1 32  1- 1 42 ⋯ 1- 1 n2 . 12 2 运用公式 开： (2a- 3b- c)2= 1 已知 a4+ 1 a4 = 7， a2+ 1 a2 等于 2 已知 a+ b+ c= 4， ab+ bc+ ac= 4， a2+ b2+ c2= 3 已知 x= 2 3+ 2， y= 2 3- 2， x2+ 3xy+ y2= ． 13 【题型 11】分式型函数图像：分离常数与反比例函数图像的平移 心|技巧 式 函数：形如 y= ax+b cx+d 的函数，它 由反比 函数 移得 的 离 数法：把函数 y= ax+b cx+d 中的 子变为 数， 于处理 析， 续 式 函数的值域时 还 用 离 数法． 1 已知函数 y= x+2 3x-4 ， y的取值 围 1 已知函数 y1= x+2x-1 由反比 函数 y2= k x 移得 的， k的值. 2 函数 y= -2x+1 x-1 的对称中心 【题型 12】函数过定点问题 心|技巧 把 参的式子放 一起，提出参数， 令 参数相乘的部 为 0 1 知二次函数 y= x2-mx-m- 1(m为实数)，证 ：此二次函数的图 恒过 x轴上的一定点 M . 14 1 已知 2my-mx+m- y- 3= 0，m为任意 数，当 x取 值时，对 y的值为不 m？ 2 已知函数 y= 4a-4 x2+ 4a+2 x+ a+ 2， 该函数的图 恒过定点 【题型 13】分类讨论与数形结合思想 1 (多 )已知函数 y= x2-6x+8 ，当 y随 x的增大而减 时， x的 围可以 ( ) A. 2< x B. 3< x C. 3< x< 4 D. 2< x< 3 2 【 做】 (多 )设 y= x(ax+1) ，下 四个 题中，正 的 ( ) A. 当 a> 0时当 y随 x的增大而增大时， - 1 a < x< 1 2a x> 0 B. 当 a< 0时 y= x(ax+1) 的图 与直线 y=- 1 4a 有两个交点 C. 当 x> 0时，若 y= x(ax+1) 当 y随 x的增大而减 a≤ 0 D. 若 y= x(ax+1) 的最 值 零， a= 0 15 1 已知函数 y= x x-4 ，若 y随 x的增大而减 ， x的取值 围 ． 2 已知函数 y= x+a x-1 ，其中 a为 数，讨论 函数的增减性 (3种情况) 模块三 【课后训练】 1. 解因式： x2+ a-2 x- a+ 1= ． 2. 解因式：mx2-mx- 2x+ 2 3. 解方 ： x3- 3x2+ 4 16 4. 化简 式： 9-4 5 - 6+2 5 5. 关于 x的方 x2+ 2mx+m+ 2= 0，m为 值时，有一正 一负 ． 6. 已知关于 x的一元二次方 x2+ a-1 x+ a- 2= 0的一 于 0，另一 大于 3， 实数 a的 取值 围． 7. 函数 y= 2x+1 x+1 的对称中心 8. 解方 组： x2+xy-2y2=0 x2+y2=5  【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-1 初高衔接之代数强化训练 初中与高中数学在知识内容、能力要求和学习方式上存在显著差异，部分高中必备数学知识在初中阶段未系统涉及。为弥合知识断层、实现初高中内容的平滑衔接，本讲义特别针对代数运算与逻辑推理进行强化训练，重点提升运算技能与化归思想，帮助同学们高效适应高中数学学习要求。总览 题型·解读 模块一 代数强化训练 【题型1】因式分解强化：含参十字相乘 【题型2】二重根式的化简 【题型3】试根法解一元三次方程 【题型4】解二元二次方程 【题型5】齐次式计算：比值消元 【题型6】立方和与立方差公式 【题型7】初识一元二次方程根的分布 模块二 初中重要内容回顾与拓展 【题型8】一元二次方程根与系数的关系 【题型9】解三角形（知三求三） 【题型10】平方差公式与完全平方公式提升训练 【题型11】分式型函数图像：分离常数与反比例函数图像的平移 【题型12】函数过定点问题 【题型13】分类讨论与数形结合思想 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 代数强化训练 【题型1】因式分解强化：含参十字相乘 基础知识 十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 典型例题 【例题1】可因式分解为 ． 【答案】 【例题2】分解因式： 【答案】 【详解】解： 巩固练习 题型 【巩固练习1】可因式分解为_______ 【答案】 【巩固练习2】分解因式： ． 【答案】 【巩固练习3】分解因式： 【答案】 【巩固练习4】分解因式： 【答案】 【题型2】二重根式的化简 基础知识 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现! ，要化简，则 典型例题 【例题1】化简根式： 【答案】 【解析】 【例题2】（2023新高考二卷T7）化简 【答案】 【解析】 巩固练习 题型 【巩固练习1】化简根式： 【答案】 【解析】，故 【巩固练习2】化简根式： 【答案】 【解析】，故 【题型3】试根法解一元三次方程 基础知识 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。 试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。 典型例题 【例题1】解方程: 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根，那么是方程的一个因式 故方程可以改写为，易得 ，则， 解得或 巩固练习 题型 【巩固练习1】解方程： 【答案】或 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 ， 【巩固练习2】解方程： 【答案】 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根， ， 【巩固练习3】 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根 ， 【题型4】解二元二次方程 基础知识 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。 1、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 2、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式； (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 典型例题 【例题1】解方程组： 解： 由②，得．③ 把③代入①，得．整理后，得 解得. 将代入③，得,=3代入③得． 所以原方程组的解是或 巩固练习 题型 【巩固练习1】 【答案】 【解析】解： 由②，得．③ 把③代入①，得．整理后，得 解得. 将代入③，得 =2代入③得． 所以原方程组的解是或 【巩固练习2】 【答案】 【解析】解： 由①，得③ 将②代入③，得 ②+④，得4x=8．解得x=2． 将x=2代入④，得4+3y=3． 解得，所以原方程组的解是 【题型5】齐次式计算：比值消元 基础知识 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 典型例题 【例题1】已知：，则＝ ． 【答案】1或2 【详解】等式两边同时除以得到解方程即可 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知：，且，则＝ ． 【答案】 【解析】原方程两边同时除以得到 解得即得 [说明]注意是正数，要舍去负根 【巩固练习2】已知：，则＝ ． 【答案】5或 【详解】原方程两边同时除以x2得到解方程可得或1，从而原式=或 【题型6】立方和与立方差公式 基础知识 立方差： 立方和： 典型例题 【例题1】已知，求 【答案】18 【解析】，故原式= 巩固练习 题型 【巩固练习1】设，，求的值. 【答案】2702 【解析】直接计算可得， 故原式= [说明]注意综合使用完全平方公式与立方和公式． 【巩固练习2】化简： 【答案】 【解析】原式= 【题型7】初识一元二次方程根的分布 基础知识 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 典型例题 【例题1】关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得，故选：B 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设方程关于的方程的两根分别为、， 则，解得. 故答案为：. 【巩固练习2】关于x的方程至少有一个负根，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解. 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，， 解得， 综上，，即关于x的方程没有一个负根时，， 所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是， 模块二 初中重要内容回顾与拓展 【题型8】一元二次方程根与系数的关系 解题技巧 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 典型例题 【例题1】已知一元二次方程的两个实数根为，，若，求实数k的值． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是和， ∴，， ∵ ∴ ∴． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知是方程的两个实根，则有________，________ 【答案】7， 【解析】，，则， 【巩固练习2】已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）解：由题意，得：且， 解得：且； （2）∵该方程的两个实数根为，， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解． 【题型9】解三角形（知三求三） 解题技巧 三角形有三边三角共六个元素，知道其中3个元素时可以解出三角形的其他三个元素（AAA除外） 典型例题 【例题1】（2024新高考二卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，求的周长． 【答案】 【详解】，得到，作CH垂直AB于H，，则，, 得，故的周长为 【例题2】某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，又，过点A作AH垂直CF于H，设，则，， 在中，解得，所以 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·高考题）记锐角的内角A、B、C，已知，的面积为，求AB． 【答案】 【详解】，从而，作AH垂直BC，设 ，则 而，从而 【巩固练习2】在中，角所对的边分别为，，，求的面积． 【答案】 【分析】过点作交于，利用直角三角形即可求边长，再利用面积公式求解即可. 【详解】如图，过点作交于， 由于，则，所以，， 所以． 【巩固练习3】如图，若°，，，求 【答案】 【简析】作BH垂直DE于H，设，则， 【题型10】平方差公式与完全平方公式提升训练 解题技巧 初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力 知识扩充：三项完全平方公 典型例题 【例题1】计算化简 （1） 【答案】 【解析】原式= = （2） 【答案】 【说明】此处用到了平方差公式和分式的错位相消 【解析】原式= = = = 【例题2】运用公式展开： 【答案】 【解析】原式= 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，则等于________ 【答案】3 【解答】解：，，或（舍去） 【巩固练习2】已知，，则________ 【答案】8 【解答】 【巩固练习3】已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 【题型11】分式型函数图像：分离常数与反比例函数图像的平移 解题技巧 分式型函数：形如的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还会用到分离常数法． 典型例题 【例题1】已知函数，求y的取值范围 【答案】 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值. 【答案】 【巩固练习2】求函数的对称中心 【答案】 对称中心： 【题型12】函数过定点问题 解题技巧 先把含参的式子放到一起，提出参数，再令和参数相乘的部分为0即可 典型例题 【例题1】知二次函数（为实数），证明：此二次函数的图象恒过轴上的一定点. 【答案】证明过程见解析 【分析】，因式分解得到，解得或，求出恒过轴上的点. 【详解】令得，即， 所以，， 解得或， 显然二次函数的图象恒过轴上的点. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，m为任意常数，当x取何值时，对应y的值为不含m？ 【答案】时， 【解析】 当时，解得，故时， 【巩固练习2】已知函数，则该函数的图象恒过定点 【答案】 【解析】将函数的解析式变形为，即可求得函数的图象所过定点的坐标； 【详解】， 当时，令，得； 当时，令，得或. 综上所述，函数的图象必过点. 【题型13】分类讨论与数形结合思想 典型例题 【例题1】（多选）已知函数，当y随x的增大而减小时，x的范围可以是( ) A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据的取值去绝对值符号，画出图象即可求解. 【详解】由，则函数图象如图所示， ，即 ， 由图可知当y随x的增大而减小时x的范围为或 【例题2-选做】（多选）设，下列四个命题中，正确的是（    ） A．当时当y随x的增大而增大时， 和 B．当时的图象与直线有两个交点 C．当时，若当y随x的增大而减小则 D．若的最小值是零，则 【答案】AC 【分析】当，时，分别作出图象逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，二次函数与x轴交于点和， 画出函数的图象如下： 的单增区间是和，故A正确； 对于B，当时，二次函数与x轴交于点和，顶点是， 画出函数的图象如下： 的图象与直线有三个交点，故B不正确； 对于C，当时，在内单调递减； 当时，在内单减，故C正确． 对于D，若的最小值是零，则，均可以，故D不正确． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质确定递减区间. 【详解】当时，， 所以，当上函数递增，当上函数单调递减， 当时，，函数递增， 【巩固练习2】已知函数，其中为常数，讨论求函数的增减性（3种情况） 【详解】（1）， 函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线， 且的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 当，即时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，即时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； 当，即时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； 综上，即时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【课后训练】 1. 分解因式： ． 【答案】 2. 分解因式： 【答案】 3. 解方程： 【答案】 【解析】猜测并验证得出是方程的一个根， ， 4. 化简根式： 【答案】-3 【解析】 5. 关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 【答案】 【分析】利用判别式大于零且两根之积小于零列不等式组求解即可. 【详解】因为关于x的方程，有一正根一负根， 所以，即，解得． 6. 已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和，则由题意得，∴． 7. 求函数的对称中心 【答案】 对称中心： 8. 解方程组： 【答案】 【解析】解： 由①，得，即或 将代入②，得，得，即或 将代入②，得，得，即或 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-1 初高衔接之代数强化训练 初中与高中数学在知识内容、能力要求和学习方式上存在显著差异，部分高中必备数学知识在初中阶段未系统涉及。为弥合知识断层、实现初高中内容的平滑衔接，本讲义特别针对代数运算与逻辑推理进行强化训练，重点提升运算技能与化归思想，帮助同学们高效适应高中数学学习要求。总览 题型·解读 模块一 代数强化训练 【题型1】因式分解强化：含参十字相乘 【题型2】二重根式的化简 【题型3】试根法解一元三次方程 【题型4】解二元二次方程 【题型5】齐次式计算：比值消元 【题型6】立方和与立方差公式 【题型7】初识一元二次方程根的分布 模块二 初中重要内容回顾与拓展 【题型8】一元二次方程根与系数的关系 【题型9】解三角形（知三求三） 【题型10】平方差公式与完全平方公式提升训练 【题型11】分式型函数图像：分离常数与反比例函数图像的平移 【题型12】函数过定点问题 【题型13】分类讨论与数形结合思想 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 代数强化训练 【题型1】因式分解强化：含参十字相乘 基础知识 十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 典型例题 【例题1】可因式分解为 ． 【例题2】分解因式： 巩固练习 题型 【巩固练习1】可因式分解为_______ 【巩固练习2】分解因式： ． 【巩固练习3】分解因式： 【巩固练习4】分解因式： 【题型2】二重根式的化简 基础知识 二重根式化简，中考不做要求，但是，在高中的三角函数、解析几何中却频频出现! ，要化简，则 典型例题 【例题1】化简根式： 【例题2】（2023新高考二卷T7）化简 巩固练习 题型 【巩固练习1】化简根式： 【巩固练习2】化简根式： 【题型3】试根法解一元三次方程 基础知识 高次方程高中阶段基本上不会单独考查，即使考查次数也不会超过三次，但函数或导数解题计算中经常会出现关键一步，所以掌握简单有实数根的一元三次方程的解法是很有必要的。 试根法：高中阶段考查的三次方程根简单常见，如±1，±2，…由此确定方程的一个根，然后对三次方程因式分解，从而完成方程求解。 典型例题 【例题1】解方程: 巩固练习 题型 【巩固练习1】解方程： 【巩固练习2】解方程： 【巩固练习3】 【题型4】解二元二次方程 基础知识 二元方程组的解法在初中有过比较详细的学习。但是二元二次方程组在高中会继续碰到，它的解法有其特殊性，所以有必要在这一块强化。 1、代入消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； (2)将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元方程； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入(1)变形后的方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 2、加减消元法解二元二次方程组的一般步骤： (1)利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或互为相反数的形式； (2)将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元方程(若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数则用加法)； (3)解这个一元方程，求出未知数的值； (4)将求得的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； (5)写出原方程组的解． 典型例题 【例题1】解方程组： 巩固练习 题型 【巩固练习1】 【巩固练习2】 【题型5】齐次式计算：比值消元 基础知识 齐次式：等式两端或分子分母中每一项的次数都相同的式子称为齐次式 比值消元：一种特殊的消元方式，可以把双变量方程简化为单变量计算，求出两个变量的比例关系 典型例题 【例题1】已知：，则＝ ． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知：，且，则＝ ． 【答案】 【巩固练习2】已知：，则＝ ． 【题型6】立方和与立方差公式 基础知识 立方差： 立方和： 典型例题 【例题1】已知，求 巩固练习 题型 【巩固练习1】设，，求的值. 【巩固练习2】化简： 【题型7】初识一元二次方程根的分布 基础知识 一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面： 1. 开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）. 2. 判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立） 3. 判定△符号. 4. 判定对称轴的位置.       总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆. （1）二元二次方程在上根的分布情况 ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 （2）一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 典型例题 【例题1】关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习2】关于x的方程至少有一个负根，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 模块二 初中重要内容回顾与拓展 【题型8】一元二次方程根与系数的关系 解题技巧 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 典型例题 【例题1】已知一元二次方程的两个实数根为，，若，求实数k的值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知是方程的两个实根，则有________，________ 【巩固练习2】已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根为，，且，求的值． 【题型9】解三角形（知三求三） 解题技巧 三角形有三边三角共六个元素，知道其中3个元素时可以解出三角形的其他三个元素（AAA除外） 典型例题 【例题1】（2024新高考二卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，求的周长． 【例题2】某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2024·高考题）记锐角的内角A、B、C，已知，的面积为，求AB． 【巩固练习2】在中，角所对的边分别为，，，求的面积． 【巩固练习3】如图，若°，，，求 【题型10】平方差公式与完全平方公式提升训练 解题技巧 初高中的过渡衔接尤其重要，初中必须掌握的一些知识很多同学就是没掌握好，导致高中学习相当吃力 知识扩充：三项完全平方公 典型例题 【例题1】计算化简 （1） = （2） 【例题2】运用公式展开： 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，则等于________ 【巩固练习2】已知，，则________ 【巩固练习3】已知，，则 ． 【题型11】分式型函数图像：分离常数与反比例函数图像的平移 解题技巧 分式型函数：形如的函数，它是由反比例函数平移得到的 分离常数法：把函数中的分子变为常数，便于处理分析，后续求分式型函数的值域时还会用到分离常数法． 典型例题 【例题1】已知函数，求y的取值范围 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值. 【巩固练习2】求函数的对称中心 【题型12】函数过定点问题 解题技巧 先把含参的式子放到一起，提出参数，再令和参数相乘的部分为0即可 典型例题 【例题1】知二次函数（为实数），证明：此二次函数的图象恒过轴上的一定点. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，m为任意常数，当x取何值时，对应y的值为不含m？ 【巩固练习2】已知函数，则该函数的图象恒过定点 【题型13】分类讨论与数形结合思想 典型例题 【例题1】（多选）已知函数，当y随x的增大而减小时，x的范围可以是( ) A． B． C． D． 【例题2-选做】（多选）设，下列四个命题中，正确的是（    ） A．当时当y随x的增大而增大时， 和 B．当时的图象与直线有两个交点 C．当时，若当y随x的增大而减小则 D．若的最小值是零，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知函数，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知函数，其中为常数，讨论求函数的增减性（3种情况） 【课后训练】 1. 分解因式： ． 2. 分解因式： 3. 解方程： 4. 化简根式： 5. 关于x的方程，m为何值时，有一正根一负根． 6. 已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 7. 求函数的对称中心 8. 解方程组： 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$