专题13 幂函数（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题13 幂函数 1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质； 2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法． 知识点一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点二：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 对点集训一：求幂函数的值 典型例题 例题1．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例题2．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 精练 1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则 . 3．（24-25高一上·广西柳州·期末）点在幂函数的图象上，则 . 对点集训二：求幂函数的解析式 典型例题 例题1．（24-25高一上·广西百色·期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式 ． 精练 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象过点，则其解析式 . 2．（24-25高一上·青海西宁·期中）已知幂函数，且为偶函数，则的解析式 ． 3．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 . 对点集训三：幂函数的图象问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 对点集训四：幂函数图象过定点问题 典型例题 例题1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 例题2．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 精练 1．（23-24高一上·海南·阶段练习）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 3．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 对点集训五：幂函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则 ． 精练 1．（23-24高一上·云南昭通·期中）使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 对点集训六：幂函数的奇偶性 典型例题 例题1．（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 例题2．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 精练 1．（24-25高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）幂函数在上为减函数，则实数的值为（   ） A．2或 B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一下·北京·开学考试）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，若幂函数的图象关于轴对称，且与轴及轴均无交点，则的值为 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 12．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·陕西·期末）若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． (1)若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； (2)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； (3)设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 幂函数 1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画，，，，五个幂函数的图象，理解它们的性质； 2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法． 知识点一：幂函数的概念 1、定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的特征 ①中前的系数为“1” ②中的底数是单个的自变量“” ③中是常数 知识点二：幂函数的图象与性质 1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 2、五个幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在单调递增 在上单调递增 在单调递增 在上单调递减 在上单调递减 定点 3、拓展： ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 对点集训一：求幂函数的值 典型例题 例题1．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】设出幂函数解析式，根据条件得到方程，求出，代入求值. 【详解】设，由得，解得，所以， 所以． 故选：C 例题2．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B．8 C． D．16 【答案】A 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【分析】由点求得函数解析式即可求解； 【详解】设， 则，解得：， 所以， 故选：A 精练 1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【详解】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】利用幂函数过点计算求参，再计算求出函数值. 【详解】幂函数的图象过点， ，解得， ，则 故答案为： 3．（24-25高一上·广西柳州·期末）点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【分析】由幂函数所过的点求函数解析式，再求的值. 【详解】令，则，故， 所以，则. 故答案为： 对点集训二：求幂函数的解析式 典型例题 例题1．（24-25高一上·广西百色·期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】设幂函数，代入点运算求解即可. 【详解】设幂函数， 代入点，可得，则， 所以该函数的解析式为. 故选：C. 例题2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知幂函数满足以下两个条件：①是奇函数，②在上单调递减．请写出符合要求的的一个解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的奇偶性、第一象限的单调性写出一个满足要求的幂函数. 【详解】对于幂函数在上单调递减，则， 函数为奇函数，取，即满足要求. 故答案为：（答案不唯一） 精练 1．（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象过点，则其解析式 . 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】设的解析式，代入点坐标计算即可. 【详解】设，则，解得． 故答案为：． 2．（24-25高一上·青海西宁·期中）已知幂函数，且为偶函数，则的解析式 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、根据函数是幂函数求参数值、求幂函数的解析式 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据偶函数的定义写出的解析式. 【详解】因为幂函数，， ∴，解得或； 又为偶函数， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，满足题意， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 . 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的定义域、判断一般幂函数的单调性 【分析】举例，根据幂函数的性质分析判断即可. 【详解】例如，可知的定义域为，且， 所以幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，符合题意. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 对点集训三：幂函数的图象问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数图象选择解析式、幂函数图象的判断及应用 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 例题2．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂函数图象的判断及应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 精练 1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，：在第一象限内单调递减，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足； ：在第一象限内单调递增，且图象呈现下凸趋势，则指数的值满足. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的奇偶性以及单调性和增长速度判断图象可得结论. 【详解】易知满足，即函数为偶函数； 图象关于轴对称，可排除D， 易知当时，函数单调递增，可排除C， 且当时，函数的增长速度越来越慢，其图象在图象下方，排除A； 故选：B 3．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式，并画出其图象； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明. 【答案】(1)，图象见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【知识点】幂函数图象的判断及应用、画出具体函数图象、求幂函数的解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式，并画出图象； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论. 【详解】（1）设（为常数），则，所以， 所以函数的解析式为，定义域为，其图象如图所示. （2）函数在上单调递减.证明如下： 根据题意，得函数，定义域为. ，，且， . 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 对点集训四：幂函数图象过定点问题 典型例题 例题1．（多选）（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【知识点】幂函数图象的判断及应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误. 故选：BC. 例题2．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 精练 1．（23-24高一上·海南·阶段练习）下列幂函数中，其图象关于y轴对称且过点、的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数图象过定点问题 【分析】由各幂函数的性质判断各项是否符合要求即可． 【详解】A项，函数图象在第一象限，故不关于轴对称，故不符合； B项，函数图象关于原点对称，且过，符合； C项，指数小于0，故其图象不过点，故不符合； D项，函数图象关于原点对称，故不符合； 故选：B 2．（24-25高一上·上海·期中）函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 3．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】结合幂函数的性质计算即可得. 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 对点集训五：幂函数的单调性及其应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 例题2．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数在定义域内单调递增，则 ． 【答案】/ 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的性质建立方程求解参数，再结合幂函数的单调性取舍即可. 【详解】因为幂函数在定义域内单调递增， 所以，解得或， 当时，，由幂函数性质得在定义域内单调递减，不符合题意， 当时，，由幂函数性质得在定义域内单调递增，符合题意. 故答案为： 精练 1．（23-24高一上·云南昭通·期中）使幂函数为偶函数，且在上是减函数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数单调性，奇偶性可得答案. 【详解】因为偶函数，则不能为，，可以为，. 又在上是减函数，则. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减， 所以且为奇数， 又，所以， 则，即为， 因为函数的定义域为且为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】先根据幂函数过点求出函数，再结合函数的单调性列出不等式计算求解. 【详解】设幂函数，由题意得，解得，故， 所以，则，即为. 令，解得. 根据在上为单调递增函数， 则有，解得或，故所求解集为， 故答案为:. 对点集训六：幂函数的奇偶性 典型例题 例题1．（24-25高一上·浙江·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用 【分析】由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值. 【详解】由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意， 所以. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义可解得参数的值，再根据函数为偶函数即可求解； （2）结合幂函数的单调性及奇偶性、定义域求解. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ，即，解得或. 当时，，满足，此时为偶函数，符合题意； 当时，，不满足，此时不是偶函数，不符合题意. 综上可得，. （2）由（1）得，所以在上单调递减，在上单调递增且为偶函数， 因为， 所以， 解得或或. 故实数的取值范围为. 精练 1．（24-25高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一般幂函数的单调性、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性一一分析即可. 【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误； 对C，，当时，，此时单调递增，故C错误； 对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数奇偶性分别验证充分性和必要性即可. 【详解】当时，，是奇函数，充分性成立； 若是奇函数，则需，或， 当时，是奇函数， 当时，是奇函数，或，必要性不成立； “”是“是奇函数”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、幂函数的奇偶性的应用 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、幂函数的单调性的其他应用 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点，可排除B和 D. 【详解】因为幂函数在上是严格增函数，所以，故A错误. 对于B，若，则，当时，，不经过，故B错误. 对于C ，若，则，当时，，经过，故C正确. 对于D，若，则，定义域为，不符合题意，故D错误. 故答案为：C. 3．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）幂函数在上为减函数，则实数的值为（   ） A．2或 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的单调性与定义，建立方程与不等式，可得答案. 【详解】由题意可得且，整理可得且， 解得. 故选：D. 4．（24-25高一下·北京·开学考试）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，，故为偶函数，不满足条件； 对于B选项，函数为偶函数，不满足条件； 对于C选项，函数为奇函数，且该函数在区间上为减函数，不满足条件； 对于D选项，函数的定义域为，， 则函数为奇函数，且该函数在上为增函数，满足条件. 故选：D. 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】确定函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，又函数都是R上的增函数，则在R上单调递增， 不等式， 则，即，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：A 6．（24-25高一下·河南郑州·开学考试）已知，若幂函数的图象关于轴对称，且与轴及轴均无交点，则的值为 ． 【答案】或1或3 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【分析】由题意，需使，求出k的范围，再根据，结合题意逐一验证即得． 【详解】由题意，令，解得，因为，所以； 当时，，幂函数为，此时， 所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称， 且与x轴及y轴均无交点，不满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称， 且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称， 且与x轴及y轴均无交点，不满足题意； 当时，，幂函数为，此时， 所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意； 综上，k的值为或1或3. 故答案为：或1或3. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利用二次函数的单调性即可确定参数a的取值范围. 【详解】因幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得． 故选:C. 8．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用偶函数的定义结合二次函数与幂函数的性质判断A，C，利用一次函数的性质判断B，利用对勾函数的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，而定义域为， 则，得到，即是偶函数， 由二次函数性质得在区间上单调递增，故A正确， 对于B，当时，， 由一次函数性质得在区间上单调递减，故B错误， 对于C，令，而定义域为， 则，得到是偶函数， 当时，， 由幂函数性质得在区间上单调递增，故C正确， 对于D，由对勾函数性质得在上单调递减，故D错误. 故选：AC 10．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）下列函数在区间上单调递增且图象关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据基本函数的单调性以及奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】的定义域为，在区间上单调递增，但， 即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A错误； 的定义域为，在区间上单调递增， 且，∴是偶函数，其图象关于轴对称，即B正确； 的定义域为，在区间上单调递减，C错误； 的定义域为，在区间上单调递增，且， ∴是偶函数，其图象关于轴对称，即D正确. 故选:BD. 三、填空题 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【详解】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 12．（2025·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、基本不等式“1”的妙用求最值、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数的等式或不等式，解出，可得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得， 正数、满足，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 【详解】（1）因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； （2）因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数在区间上单调递增． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质来求得的值，从而求得的解析式. （2）根据函数的单调性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）是幂函数， ，解得或， 又幂函数在区间上单调递增， ，即． （2））易知在上单调递增， 又， ，即， 解得， 实数的取值范围为． 15．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求幂函数的解析式、由幂函数的单调性求参数 【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性确定的值，即得，再由函数的奇偶性求得的解析式即可； （2）由题设不等式，根据函数奇偶性和单调性，将其转化为，利用二次函数的最值即得参数的范围. 【详解】（1）因是幂函数，故，解得或， 当时，，在区间上是减函数，故舍去； 当时，，在区间上是增函数，符合题意,故. 又时，，因是定义域为的奇函数，故， 当时，，. 故； （2）由，可得， 因是定义域为的奇函数，则， 由时，，可知在上单调递增， 当时，， 结合，为奇函数， 得是上的增函数，故，即， 因，，则，故得， 即实数的取值范围为. 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 2．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果. 【详解】∵函数是幂函数，∴，解得或， ∵对任意的且，满足， ∴在上为增函数，故，即， ∵，∴为上单调递增的奇函数， ∵，∴， ∴，故. 故选：B. 3．（23-24高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、判断一般幂函数的单调性、函数新定义 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 4．（24-25高一上·陕西·期末）若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”． (1)若函数的定义域为，证明：是“闭区间同域函数”； (2)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求正实数的值； (3)设，且，若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． (3)，． 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、函数新定义 【分析】（1）根据闭区间同域函数定义判断证明； （2）根据闭区间同域函数定义求解； （3）根据题意可得，分时、讨论，结合闭区间同域函数定义，的单调性判断可得答案． 【详解】（1）易知函数在上单调递增， 当时，， 即函数的定义域与值域均为， 是“闭区间同域函数”． （2）函数的图象开口向上，对称轴为直线， 函数在上单调递增， 当时，， 即， 所以，解得或（舍）． 当时，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，符合题意． 正实数的值为1． （3）由题意得， 所以的图象是开口向上，对称轴为直线的抛物线，且， 当时，在上单调递增， ， 所以是方程的两根， 令，解得或，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，， ①当时，，不符合题意； ②当时，，解得． 经检验，是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”， 综上，，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由，分时、讨论，结合闭区间同域函数定义求解. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$