专题09 函数的概念（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题09 函数的概念 1、学会运用集合语言表示函数，理解函数的定义及构成要素，会求解简单函数的定义域和值域 2、掌握函数相等与判定的方法 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：函数关系的判断 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A．   B．   C．     D．       3．（多选）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 对点集训二：集合与区间的转化 典型例题 例题1．（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合： ① ； ② ； ③ . 精练 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）用区间或集合表示下列数集： （1） ； （2）＝ ． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 对点集训三：同一个函数 典型例题 例题1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 例题2．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 精练 1．（23-24高一上·北京·期末）在下列各组中，与表示同一函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）下列各组函数与的图象相同的是（   ） A．， B．， C．， D．， 对点集训四：函数求值问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数，则 ． 例题2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 精练 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 2．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则 . 3．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 对点集训五：求函数的定义域 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·广东清远·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列函数中，其函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，则函数的定义域为 . 对点集训六：函数的值域 角度1：一次、二次、反比例函数的值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 例题2．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 精练 1．（23-24高一上·北京顺义·期中）二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 角度2：根式型值域 典型例题 例题1．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）函数的最大值是 . 例题2．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的最小值为 . 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·全国·单元测试）求函数的值域 角度3：分式型值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B．(-∞,2)∪(2,+∞) C．R D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的值域是 ． 精练 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知，则函数的最小值为 . 2．（23-24高一上·内蒙古通辽·期中）函数在上的值域是 . 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）设函数，求函数的定义域和值域． 一、单选题 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 7．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数的值域为，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或2 8．（24-25高一上·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）下列对应关系是集合A到集合的函数的为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 三、填空题 11．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域 ． 四、解答题 13．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 14．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若在上的值域为，求的取值范围； 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 . 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 函数的概念 1、学会运用集合语言表示函数，理解函数的定义及构成要素，会求解简单函数的定义域和值域 2、掌握函数相等与判定的方法 知识点一：函数的概念 1、初中学习的函数的传统定义 设在一个变化的过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就有唯一确定的一个值与之对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量.它们描述的是两个变量之间的依赖关系. 2、函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 知识点二：函数的三要素 1、定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． 2、对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3、值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 知识点三：函数相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 知识点四：区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 对点集训一：函数关系的判断 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 例题2．（多选）（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知集合且，集合且，下列图象能作为集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】函数关系的判断 【分析】依次判断选项中函数图像对应的定义域是否为且，且每一个自变量是否都有唯一确定的值在集合且中与之对应，或者根据已知判断图象与轴的相对位置关系、图象是否连续得出结论即可. 【详解】解法一：图A中函数是集合且到且的函数，故A错误； 图B中函数是集合且到且的函数，故B错误； 图C中函数是集合且到且的函数，故C正确； 图D中函数是集合且到且的函数，故D正确； 故选：CD． 解法二：图A中函数图象与轴有交点，设交点为，当时按照图中对应关系对应函数值0，而，故选项A错误； 图B中函数图象在区间上是连续的，所以函数在处有意义，即在定义域内，而，故选项B错误；而CD中的函数的定义域和值域均符合题设要求， 故选：CD． 精练 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抽象函数的值域、抽象函数的定义域、函数图像的识别、函数关系的判断 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A．   B．   C．     D．       【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论. 【详解】对于A，函数的值域为，不符合题意； 对于B，函数的值域为，不符合题意； 对于C，函数的定义域为，值域为，符合题意； 对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意． 故选：C． 3．（多选）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数关系的判断 【分析】由函数的定义，对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，即可判断. 【详解】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中， 对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象， 选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象. 故选：ACD. 对点集训二：集合与区间的转化 典型例题 例题1．（24-25高一上·四川成都·期中）集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解. 【详解】集合用区间可表示为. 故选：C 例题2．（24-25高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合： ① ； ② ； ③ . 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】由区间的概念结合一元一次不等的解法即可求解. 【详解】， ， . 精练 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）用区间或集合表示下列数集： （1） ； （2）＝ ． 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据集合与区间的关系写出结论即得. 【详解】（1）；（2）。 故答案为：； 2．（24-25高一上·全国·课后作业）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    3．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 对点集训三：同一个函数 典型例题 例题1．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】判断解析式和定义域是否都相同，若相同则是同一函数，若有不同，则不是同一函数. 【详解】A. 与，定义域均为，故是同一函数，A正确； B. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，B错误； C. ，定义域为，，定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误； D. 与，定义域均为，但是解析式不同，不是同一函数，D错误. 故选：A 例题2．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤ 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 精练 1．（23-24高一上·北京·期末）在下列各组中，与表示同一函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为R，定义域为，C不是； 对于D，函数与的定义域都为R，且，即对应法则也相同，D是. 故选：D 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】利用相同函数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为R，A不是； 对于B，的值域为，的值域是R，B不是； 对于C，定义域都为R，，即对应法则相同，C是； 对于D，的定义域为，的定义域为，D不是. 故选：C 3．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）下列各组函数与的图象相同的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】利用函数图象及相同函数的意义判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，它们的图象不同，A不是； 对于B，与的定义域及对应法则对应相同，它们的图象相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，函数的定义域为，它们的图象不同，C不是； 对于D，函数与函数的对应法则不同，它们的图象不同，D不是. 故选：B 对点集训四：函数求值问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数，则 ． 【答案】 【知识点】求函数值 【分析】令代入，求出，则，再令代入，即可求得的值. 【详解】由， 则， 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知，． (1)求，的定义域； (2)求，的值； (3)求的值． 【答案】(1)的定义域为，的定义域为； (2)，； (3) 【知识点】求函数值、具体函数的定义域 【分析】（1）根据分母不为零可得的定义域，易知的定义域为； （2）将分别代入计算即可； （3）先计算出的值，再代入即可. 【详解】（1）对于可得，解得； 因此的定义域为， 由可得其定义域为. （2）易知， （3）易知， 所以 精练 1．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，则（    ） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】直接代入即可. 【详解】令，则. 故选：B. 2．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则 . 【答案】 【知识点】求函数值 【分析】利用函数的解析式由内到外计算出的值即可. 【详解】由已知得，所以． 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）已知函数， (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【知识点】求函数值、具体函数的定义域 【分析】（1）利用函数有意义列出不等式，求解即得函数的定义域. （2）（3）代入自变量值，计算得函数值. 【详解】（1）函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. （2）. （3）当时，，所以，. 对点集训五：求函数的定义域 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用偶次根式和分式的意义来求定义域即可. 【详解】由题意得： 故函数的定义域为， 故选：A. 例题2．（24-25高一上·广东清远·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由二次根式的被开方数非负进行求解即可. 【详解】由题意得，解得或． 故选：B． 精练 1．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列函数中，其函数的定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】由一元二次函数在是时恒大于等于的条件判断即可. 【详解】由恒成立的条件可知，只需满足且即可； 对于A，B选项根号里的二次函数开口向下，不满足题意，故 AB错误； C选项根号里的二次函数，满足题意，故C正确； D选项根号里的二次函数，不满足题意，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域之间的关系即可得到结论. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义，需满足，解得， ∴函数的定义域为． 故选：A. 3．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，则函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 对点集训六：函数的值域 角度1：一次、二次、反比例函数的值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京·期中）给出下列4个函数：① ；② ；③ ﹔④ ．其中值域为的函数有 （写出所有正确的序号） 【答案】②④ 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】直接求各函数的值域即可判定. 【详解】由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知，即其值域为； 由反比例函数的性质可知③的值域为； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知，即其值域为； 综上可知：②④正确. 故答案为：②④ 例题2．（23-24高一上·福建泉州·期中）函数，的值域为 ． 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】对函数解析式配方后，即可求出最小值，再考虑区间端点函数值的大小，即可求解. 【详解】因为， 则又 故函数的值域为 故答案为： 精练 1．（23-24高一上·北京顺义·期中）二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】解：， 则， 所以函数在此区间上的值域为. 故选：A. 2．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由于在单调递减，故， 故答案为： 3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【知识点】具体函数的定义域、根据二次函数的最值或值域求参数、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可. 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 角度2：根式型值域 典型例题 例题1．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）函数的最大值是 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】对函数进行平方处理，结合二次函数的最值情况求解即可. 【详解】 当时取最大值，则的最大值是. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）函数的最小值为 . 【答案】/0.75 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】换元法求解函数的最值. 【详解】令，则且， 故，所以当时，. 故答案为：. 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 2．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域. 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 3．（23-24高一·全国·单元测试）求函数的值域 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法将函数变为，再根据二次函数的性质即可求得值域. 【详解】设，， 则，， 所以， ， 当时，有最大值2，所以. 故函数的值域为. 角度3：分式型值域 典型例题 例题1．（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B．(-∞,2)∪(2,+∞) C．R D． 【答案】B 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【解析】应用分离常量法，将函数式化为，即可求值域. 【详解】由，知：，， ∴函数的值域为， 故选：B 【点睛】本题考查了求具体函数的值域，应用分离常量法求函数值域，属于简单题. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用反比例函数的定义域和值域都是，来求分式函数的值域. 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求出函数的定义域，化简函数并求出值域即得. 【详解】函数有意义，则，解得且， 显然，则，由，得， 所以函数的值域是． 故答案为： 精练 1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知，则函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】由于，然后利用基本不等式可求得答案 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 故答案为：9 2．（23-24高一上·内蒙古通辽·期中）函数在上的值域是 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【解析】，再利用不等式的性质可求出函数的值域 【详解】解：， 因为，所以 所以，， 所以，即， 所以函数的值域为 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）设函数，求函数的定义域和值域． 【答案】定义域为，值域为． 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】由分母不为零可得定义域，利用分离常数可求值域. 【详解】由题意可得，定义域为： 可得 因此，值域为． 因此，定义域为，值域为． 一、单选题 1．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 2．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域 【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得 【详解】依题意，，解得或或， 所以原函数定义域为. 故选：B 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【分析】求出使解析式有意义的的范围即可. 【详解】为使有意义，只需，解得且， 即函数的定义域为. 故选：D 4．（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解． 【详解】由题意得，解得， 由，解得， 故函数的定义域是， 故选：B． 5．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）下列函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个函数是否相等、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、具体函数的定义域 【分析】根据同一函数定义域，值域，解析式相同分别判断各个选项即可. 【详解】定义域是，值域是， 对于A：定义域是，定义域不同，A选项错误； 对于B：值域是，值域不同，B选项错误； 对于C：定义域是，定义域不同，C选项错误； 对于D：定义域是，值域是，解析式可以化成相同，D选项正确； 故选：D. 6．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）下列各组中的两个函数是同一函数的是（    ） ①，；  ②，； ③，；         ④，． A．①② B．②③ C．③ D．③④ 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据函数相等的概念逐项判断即可. 【详解】对于①，函数定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，故两个函数不是同一函数； 对于②，函数、的定义域都为， 所以两个函数的定义域相同对应关系不相同，故两个函数不是同一函数； 对于③，函数、的定义域均为， 所以两个函数的定义域相同对应关系相同，故两个函数是同一函数； 对于④，由，解得， 所以函数的定义域为， 函数的定义域为，这两个函数的定义域不相同，故两个函数不是同一函数. 故选：C. 7．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数的值域为，则实数的值为（    ） A．或1 B． C．1 D．1或2 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】因为函数，则由题意得，进而可求得答案. 【详解】因为函数， 又函数的值域为， 则，解得或. 故选：A. 8．（24-25高一上·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】区间的定义与表示、函数关系的判断 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 10．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）下列对应关系是集合A到集合的函数的为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数定义逐项分析判断即可． 【详解】根据函数定义，集合A中的每一个元素，对应集合中唯一元素． 对于选项A：符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确； 对于选项B：A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误； 对于选项C：A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故C正确； 对于选项D：符合函数的定义，是从A到B的函数，故D正确； 故选：ACD． 三、填空题 11．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 【详解】因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ， 即，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域 ． 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数． (1)求和，和的值． (2)猜想一下与有什么关系？并证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析. 【知识点】求函数值 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）利用代入法进行判断证明即可. 【详解】（1），，，； （2）猜想： 证明：由， 可得：， 则即证猜想． 14．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若在上的值域为，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式 【分析】（1）由已知代入得，建立方程组，解之可得函数的解析式； （2）由解析式可得，，可得. 【详解】（1）二次函数，则， 而，于是，，解得，， 则，又，解得， 所以的解析式是． （2），所以，又因为，， 所以在上的值域为时，，所以的取值范围为. 1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得. 【详解】，， 令，得，又，， ， 再令，，， . 故选：B 2．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，则需满足， 综合可得的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏扬州·期中）规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则 ；若集合，则A中元素的个数是 . 【答案】 2 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数新定义 【分析】根据题意直接代入运算即可得；整理可得，分和两种情况，结合的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知，； 因为， 当时，则， 可得，则或2； 当时，则， 可得，则. 综上所述：，即集合A中元素的个数是2. 故答案为：；2. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）①②；（2）；（3）． 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域、已知函数的定义域求参数 【详解】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是． （2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是． （3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$