专题11 函数的单调性与最大（小）值（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题11 函数的单调性与最大（小）值 1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力 2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养 3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程 知识点一：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点二：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点三：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值 对点集训一：利用定义法判断或证明函数的单调性 典型例题 例题1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 例题2．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在区间上的单调性，即可求出函数的最大值、最小值以及对应的值. 【详解】（1）任取、且，则且， 所以， ，即， 所以，函数在区间上是严格减函数. （2）因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为， 又因为，， 所以，当时，函数取最大值，且最大值为. 精练 1．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ 2．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性定义即可证明； （2）利用函数的单调性，求出函数在给定区间上的最大值，即可得答案. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且，. 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减. （2）由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，， 即所求实数的取值范围为. 3．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)增函数，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数的单调性，即可得到最值. 【详解】（1）在上是增函数.证明如下： 任取，且， . ， ， 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数. 所以最大值为，最小值为. 对点集训二：求函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ． 【答案】（或） 【知识点】求函数的单调区间 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以函数的图象开口向下， 所以函数的单调递减区间为（或）. 故答案为：（或） 例题2．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 精练 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【知识点】求函数的单调区间 【分析】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性. 【详解】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 3．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【知识点】求函数的单调区间 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 对点集训三：利用函数的单调性解不等式 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 例题2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】不妨设，令，变形得到，得到在R上单调递增，并根据得到，得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 精练 1．（2024高二上·云南·学业考试）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的增函数， 所以由，得， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京·期中）函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（    ） A． B． C． D．以上关系均不确定 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】先判断和的大小关系，再根据函数的单调性得出结论. 【详解】对进行变形可得. 因为任何数的平方都大于等于，那么，即. 因为函数在上是减函数，且. 根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据单调性解不等式即可，注意函数的定义域. 【详解】因为是定义在上的增函数，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 对点集训四：利用函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 例题2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 精练 1．（24-25高一上·广西百色·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据二次函数的单调性，结合充分不必要条件，可得答案. 【详解】当时，二次函数的对称轴为直线， 易知此时二次函数在上单调递增； 由二次函数的对称轴为直线， 易知当，即时，二次函数在上单调递增. 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 对点集训五：求函数最值（值域） 典型例题 例题1．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】将函数的解析式配方，结合二次函数性质求其值域. 【详解】函数，可化为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的值域为. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)， 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明得出结论； （2）由单调性代入即可得出其最值. 【详解】（1）函数在上是减函数，证明如下： 任取，且， 则)==， 因为，所以，， 所以，即， 所以在区间上是减函数. （2）因为函数在区间上是减函数， 所以，. 精练 1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】采用分离参数法分析函数的单调性，确定函数的最大、最小值即可求解. 【详解】因为， 因为时，，随着的增大，函数的值越来越小，即函数在上单调递减. 所以，. 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为：，单调减区间为； (2)最大值为13，最小值为． 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法、二次函数的单调性进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 由可得：， 根据：，可得： 整理得：，可得：，解得， 可得为的解析式． 因为可得：对称轴为 且二次项系数为， 可知：函数的单调递增区间为：，单调减区间为； （2）由二次项系数为，和函数的单调性可得，函数在处最小值，即． 当时，，当时，． 因此函数的最大值为13，最小值为． 对点集训六：二次函数（含参数）最值问题 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)． (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得； （2）讨论二次函数的对称轴和区间的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得. 【详解】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 例题2．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据不等式解集与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质分类讨论动区间端点与对称轴的关系可得表达式，再利用二次函数的性质计算最小值即可. 【详解】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 精练 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数在区间上的最值. 【答案】最小值为，最大值为 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】将配方得，利用二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】将配方得， 由知，对称轴在区间的左侧或左端点上，如图所示， . 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 【答案】(1) (2)详见解析； 【知识点】求二次函数的值域或最值、求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据二次函数的图象顶点为，设，再根据函数图象在轴上截得线段长为，由求解； （2）①由（1）得到，利用一元二次不等式的解法求解； ②由，根据其对称轴方程为：，分，，求解. 【详解】（1）解：因为二次函数的图象顶点为， 所以设， 令，即， 则， 由题意得， 解得， 所以； （2）①由（1）得， 即，即， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 所以当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是， ②，对称轴方程为：， 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即，的最大值为. 对点集训七：根据最值（值域）求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 例题2．（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域； （2）根据题意转化为，代入计算即可. 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在区间上的值域为. （2）因为，，开口向上， 则的最大值为和两个中的较大者， 而，要使在区间上的最大值为4，则， ， 故的取值范围为. 精练 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】求得函数的对称轴，对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，对称轴的方程为， 当时，则时，函数取得最大值，不满足题意； 当时，可函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 解得或（舍去）. 故选：C. 2．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 . 【答案】3 【知识点】根据函数的最值求参数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】化简函数，根据函数的解析式判断函数的单调性，再根据最值，即可求解. 【详解】因为在区间上是减函数，所以，解得. 故答案为：3 3．（23-24高一上·广东中山·期中）已知函数． (1)用函数单调性的定义证明：在上是单调递增； (2)若函数在区间上的值域，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的最值求参数 【分析】（1）利用单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可； （2）分别令，可解得，，显然在区间内，所以可得. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，，所以，，， 即； 所以，即， 所以在上是增函数． （2）由，解得， 由，解得， 显然在区间内，且满足单调递增， 所以可知，， 可得. 对点集训八：恒成立（能）成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意列出方程组并解出即可得； （2）结合单调性定义，令，求出的正负即可得； （3）结合函数单调性，可得，解出即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则， 由，故，，即， 故在上单调递增； （3）由在上单调递增， 则当时，有， 即. 例题2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数. (1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)若存在，使成立，求实数的范围. 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析； (2). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用单调性定义，令，作差法判断符号，即可得结果； （2）问题化为成立，即可求参数范围. 【详解】（1）在区间上单调递增. 证明如下：设，则 因为，所以，，，即 所以，故在区间上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， 所以，当时，取得最小值，即 又存在，使成立， 所以只需成立，即，解得. 故实数的范围为. 精练 1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由一元二次不等式的解确定参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【详解】（1）因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. （2）由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 2．（22-23高一上·全国·课后作业）已知，不等式的解集是． (1)求的解析式； (2)若不等式在上有解，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题意可得0和4是方程的两根，由韦达定理可得b，c的值，即可得到的解析式． （2）由题意可得在上有解，利用二次函数求出的最大值即可得到所求范围． 【详解】（1）因为的解集是，则的两根是0和4， 可得，解得， 所以. （2）不等式在上有解，等价于在上有解， 可得， 因为开口向下，对称轴为， 当时，取到最大值是， 所以， 故t的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值 【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论. 【详解】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】利用二次函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 所以所求值域为. 故选：C 5．（24-25高一上·广西·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由二次函数的单调性列不等式计算求参. 【详解】因为函数在上单调递增， 由题意可得，解得. 故选：B. 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的定义域 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 7．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】由分段函数的单调性得到求解即可； 【详解】由是上的增函数， 需满足：解得， 故选：D. 8．（24-25高一上·广西百色·期末）已知函数和，设，则函数（   ） A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值0 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值1 【答案】D 【知识点】分段函数的值域或最值、函数新定义 【分析】作出分段函数图象，由图即可得到答案. 【详解】如图，由函数的图像可知函数无最大值， 当，即或2时，函数有最小值． 故选：D．    二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】ABC 【知识点】函数关系的判断、求函数值、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】由已知，因此，A错； 不是单调增函数，例如且，B错； 定义域是，C错； 值域是，D正确 故选：ABC． 10．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程，解得或， 解方程，解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或，此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故选：BCD. 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数性质结合最小值计算求参. 【详解】时函数取得最小值， 所以由的最小值在内取得，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 12．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】分离参数，将不等式转化为，令，求出的最大值，令可得结果. 【详解】不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 设函数，，都是减函数， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【答案】(1) (2)当时，函数的最大值为；当时，的最大值为 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）可得对称轴为，根据开口向上即可求解； （2）由（1）有对称轴为，开口向上，根据的范围分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意有函数，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 综上，当时，函数的最大值为； 当时，的最大值为． 14．（2025高三下·全国·专题练习）已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)． 【知识点】求二次函数的解析式、函数不等式恒成立问题、利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）根据二次函数的性质和条件，即可联立方程求解； （2）利用分离参数法，结合二次函数性质，即可求解恒成立问题. 【详解】（1）由题意知， 解得，所以， 由知， 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题意知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令， 由，知在区间上是减函数， 则，所以， 即的取值范围是． 15．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用定义法进行证明函数单调性即可； （2）根据（1）中函数单调性解不等式即可． 【详解】（1）任取，且， 则 ∵，∴， 则，即， ∴在上是增函数． （2）由题可知，解得. 故不等式的解集为. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）将中的最大数记为，则函数的最小值为（    ） A．1 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】分段函数的值域或最值 【详解】作函数的图象如图．令得点，则由图可知函数的最小值为5． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在上定义运算：，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】由题意整理不等式，并利用配方法化简不等式，根据二次函数性质以及一元二次不等式的解法，可得答案. 【详解】由题意可知，， 由不等式恒成立， 整理可得恒成立， 即恒成立， ， ，即，解得 则实数的最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，定义函数表示不小于x的最小整数．例如：． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； (3)设，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用给定的定义求出范围； （2）利用单调性，结合不等式性质求出值域，利用定义建立不等式并求出，进而解不等式即可. （3）求出函数的值域，再把问题转化为恒成立，分离参数并分段讨论求解. 【详解】（1）由函数表示不小于x的最小整数， ，得 所以实数x的取值范围为 （2）函数定义域为， 而函数在上单调递增，值域为， 因此，所以， 所以函数的值域为；显然， 由，得，所以， 而时，不等式不成立，则，必有，所以， 所以，解得， 所以实数x的取值范围． （3）当时，， 函数在上单调递减，在是单调递增， 因此函数在上单调递增，在是单调递减， 所以，而， 所以在上的值域为， 依题意，，即， 当时，， 显然当时，，则， 当时，，而恒成立，则， 所以实数a的取值范围． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 函数的单调性与最大（小）值 1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力 2、会用定义证明简单函数的单调性，提高学生的推理论证能力，发展学生的数学运算素养 3、在经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程中，让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程 知识点一：函数的单调性 1、增函数与减函数 1.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 1.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 知识点二：函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点三：函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值 对点集训一：利用定义法判断或证明函数的单调性 典型例题 例题1．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 例题2．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 精练 1．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 2．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 3．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 对点集训二：求函数的单调区间 典型例题 例题1．（23-24高三下·全国·自主招生）函数的单调递减区间为 ． 例题2．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ． 精练 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ． 3．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 ． 对点集训三：利用函数的单调性解不等式 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 精练 1．（2024高二上·云南·学业考试）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（    ） A． B． C． D．以上关系均不确定 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 对点集训四：利用函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·广西百色·期末）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 对点集训五：求函数最值（值域） 典型例题 例题1．（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数 . (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论； (2)若，求函数的最大值和最小值. 精练 1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，则 . 3．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 对点集训六：二次函数（含参数）最值问题 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 例题2．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 精练 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，求函数在区间上的最值. 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 对点集训七：根据最值（值域）求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 精练 1．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在区间上的最大值为，则等于（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 . 3．（23-24高一上·广东中山·期中）已知函数． (1)用函数单调性的定义证明：在上是单调递增； (2)若函数在区间上的值域，求的值． 对点集训八：恒成立（能）成立问题 典型例题 例题1．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 例题2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数. (1)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； (2)若存在，使成立，求实数的范围. 精练 1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知函数，不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若对，恒成立，求实数k的取值范围. 2．（22-23高一上·全国·课后作业）已知，不等式的解集是． (1)求的解析式； (2)若不等式在上有解，求t的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，函数的单调递减区间为（    ） A． B．和 C． D． 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广西·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知是定义域为上的增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广西百色·期末）已知函数和，设，则函数（   ） A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值0 C．无最大值，无最小值 D．无最大值，有最小值1 二、多选题 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 10．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 11．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 12．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 14．（2025高三下·全国·专题练习）已知二次函数，． (1)若函数的最小值为，求的解析式，并写出单调区间； (2)在（1）的条件下，在区间上恒成立，试求的取值范围． 15．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数. (1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增； (2)求关于的不等式的解集. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）将中的最大数记为，则函数的最小值为（    ） A．1 B．5 C．4 D．6 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）在上定义运算：，若不等式对恒成立，则实数的最大值为 ． 3．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知，定义函数表示不小于x的最小整数．例如：． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求函数的值域，并求满足的实数x的取值范围； (3)设，若对于任意的，都有，求实数a的取值范围． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$