专题10 函数的表示法（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题10 函数的表示法 1、掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点二：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点三：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点四：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 对点集训一：函数的三种表示法的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京·期中）设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 精练 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 对点集训二：求函数的解析式---待定系数法 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 例题3．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足. (1)求的解析式； (2)在（1）的条件下，求函数的解析式，并求的值. 精练 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 2．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 3．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 对点集训三：求函数的解析式---换元法 典型例题 例题1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 精练 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 题型四：求函数的解析式---凑配法 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 例题2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 精练 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，且，则（    ） A．2 B．7 C．25 D．44 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 对点集训五：求函数的解析式---方程组法 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若对于任意实数都有，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 例题2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ． 例题3．（23-24高一上·山东青岛·期中）（1）已知一次函数满足，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式． 精练 1．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 3．（23-24高一上·天津和平·期中）（1）已知函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 对点集训六：分段函数求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 例题2．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数，则等于 ． 精练 1．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知，则 ． 2．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数，，则 . 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若函数且，则 ． 对点集训七：分段函数图象 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 例题2．（23-24高一上·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)； (2) 精练 1．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 2．（24-25高一上·天津东丽·期中） (1)作出该函数的图象， (2)求的值； (3)若，求实数的值. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数. (1)求 的值； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)求关于的方程的实数根． 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·辽宁·学业考试）某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林四平·期末）已知函数，则（    ） A． B．3 C．2 D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 二、多选题 9．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南·期中）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数若，则 . 12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）定义：表示不超过的最大整数，如，，已知函数，，则函数的值域为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 14．（24-25高一上·云南曲靖·期中）求下列函数的解析式及定义域 (1)是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式，定义域； (3)已知，求的解析式. 15．（24-25高一上·内蒙古·期中）（1）已知，求的表达式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的表达式. 16．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 1．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 2．（24-25高一上·上海·期中）二次函数满足对任意的，恒成立． (1)求证：为定值； (2)若，求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 3．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 函数的表示法 1、掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法 2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 知识点二：求函数解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． 2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 知识点三：分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 知识点四：函数的图象 1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面. 2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 对点集训一：函数的三种表示法的应用 典型例题 例题1．（24-25高一上·北京·期中）设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数值求自变量或参数、列表法表示函数 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 例题2．（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的图象： (1)（）； (2)，． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】图象法表示函数、画出具体函数图象 【分析】（1）（2）利用给定条件描点作图即可. 【详解】（1） 因为，所以图象为直线上的孤立点，其图象如图所示． （2） ， 当或时，； 当时，，其图象如图所示． 例题3．（24-25高一上·全国·课后作业）某市出租车的计费方式如下： ①3km以内（含3km）8.5元； ②3km以上，每增加1km，收费增加2元． 某人要去距出发地8km的地点参加一个会议，由于时间比较紧急，因此他选择打出租车前往． (1)请写出票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式； (2)求此人到达目的地后需要支付的金额． 【答案】(1) (2)18.5元． 【知识点】解析法表示函数 【分析】（1）根据已知条件求得函数的解析式. （2）根据（1）的结论求得所付金额. 【详解】（1）由题得，当时，； 当时，，因此票价（元）与出租车行驶的路程之间的函数解析式为 （2）当时，，故需支付18.5元． 精练 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、列表法表示函数 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·宁夏银川·期中）如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求函数值、图象法表示函数 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图像如图所示，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】解析法表示函数、图象法表示函数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据函数图象利用待定系数法求解即可. 【详解】由图知，当时，设函数为，则 ，得，所以， 当时，设函数为，则 ，解得， 所以， 综上与之间的函数关系式为. 故答案为： 对点集训二：求函数的解析式---待定系数法 典型例题 例题1．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 例题2．（24-25高一上·河南新乡·期中）已知一次函数满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设，利用待定系数法法求解. 【详解】设，则由，得， 即，则,得， 则，所以． 故选：B 例题3．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数是一次函数，且满足. (1)求的解析式； (2)在（1）的条件下，求函数的解析式，并求的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求函数值、已知函数类型求解析式 【分析】（1）利用待定系数法，结合题目中的函数类型以及所满足的等式，可得答案； （2）将（1）的答案代入题目中的等式，可得答案. 【详解】（1）由题意可设，代入， 则，整理可得，解得， 所以. （2）由，则； 由，则. 精练 1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数满足，则函数的解析式为 【答案】 【知识点】求二次函数的解析式、已知函数类型求解析式 【分析】设，待定系数法求解. 【详解】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. 3．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 对点集训三：求函数的解析式---换元法 典型例题 例题1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 例题2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】通过换元法即可求解； 【详解】利用换元法令求解析式即可． 令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 精练 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域. 【详解】设，则，则， 因此，， 所以函数的值域为. 故选：C 2．（24-25高一上·云南文山·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】3 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求函数值 【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解． 【详解】令， ， ， ， ． 故答案为：3． 题型四：求函数的解析式---凑配法 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】应用配凑法得出解析式. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 例题2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析； 【知识点】已知f（g（x））求解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用配方法计算可得； （2）对的取值进行分类讨论，即可求得不等式解集. 【详解】（1）将配方可得； 可得， 因此函数的解析式为； （2）不等式即为； 即，所以； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 精练 1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数解析式. 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数，且，则（    ） A．2 B．7 C．25 D．44 【答案】B 【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法可得函数的解析式为，进而代入求解即可. 【详解】由函数，可得， 可知函数的解析式为， 则，解得. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 【答案】/ 【知识点】已知函数值求自变量或参数、已知f（g（x））求解析式 【分析】首先求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 对点集训五：求函数的解析式---方程组法 典型例题 例题1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若对于任意实数都有，则（    ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】D 【知识点】函数方程组法求解析式、求函数值 【分析】根据解方程组法求出的解析式，即可代入具体值得出答案. 【详解】对于任意实数都有， 用代替式中可得， 联立两式可得 则 故选：D. 例题2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得出. 【详解】因为，所以 两式联立得得， 当且仅当，即时取等号.所以的最小值为. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·山东青岛·期中）（1）已知一次函数满足，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）设出一次函数解析式，用待定系数法进行求解； （2）利用方程思想求解函数解析式. 【详解】（1）设，则， 即， 所以， 解得：， 所以； （2）①，则②， 得：， 所以. 精练 1．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）若函数满足关系式，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数方程组法求解析式、求函数值 【分析】先将已知等式中的与替换，列出方程组求得函数解析式，再赋值代入计算即得. 【详解】在中， 用替换，可得：，解得, 故 故选：A. 2．（2024高一·全国·专题练习）已知，求的表达式 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式、求抽象函数的解析式 【分析】在原式中用替换，得，与原式联立方程组，求解即可. 【详解】在原式中用替换，得， 于是有， 消去，得． ∴所求函数的表达式为. 3．（23-24高一上·天津和平·期中）（1）已知函数，求的解析式． （2）已知，求的解析式． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】函数方程组法求解析式、求抽象函数的解析式 【分析】（1）运用换元法令即可. （2）运用换元法令，构造方程组即可求解. 【详解】（1）令，则 ， ， 故． （2）， 令， 则， 联立方程 ， 解得. 对点集训六：分段函数求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值 【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：D 例题2．（24-25高一上·江西抚州·期末）已知函数，则等于 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用函数的解析式，可计算得出的值. 【详解】因为，则. 故答案为：. 精练 1．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知，则 ． 【答案】4 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用函数解析式求函数值. 【详解】因为，，所以. 故答案为：4 2．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数，，则 . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】利用分段函数求值即可得解. 【详解】由题意得： 则有， 故答案为：. 3．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若函数且，则 ． 【答案】0 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】利用分段函数先求的值，再求即可. 【详解】以为. 故答案为：0. 对点集训七：分段函数图象 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南昭通·期中）在图中，作出下列函数的图象. (1)，； (2)已知函数 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 【知识点】画出具体函数图象 【分析】（1）由函数解析式即可直接作图； （2）由函数解析式即可直接作图； 【详解】（1） （2） 例题2．（23-24高一上·云南昭通·期中）在下图中，作出下列函数的图象． (1)； (2) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】画出具体函数图象 【分析】（1）根据函数解析式和定义域直接描点即可； （2）根据分段函数、二次函数和一次函数的特征画图即可. 【详解】（1）的图象如图所示， （2）的图象如图所示， 精练 1．（24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、画出具体函数图象、分段函数的值域或最值、求分段函数值 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 2．（24-25高一上·天津东丽·期中） (1)作出该函数的图象， (2)求的值； (3)若，求实数的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)2 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、求分段函数值、画出具体函数图象 【分析】（1）根据分段函数的解析式，分段画出函数的图象； （2）先求，再求； （3）根据分段函数每段的值域，代入求自变量的值. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出分段函数的图象， （2），； （3）当时，， 当，， 当时，， 所以，即，得. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数. (1)求 的值； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)求关于的方程的实数根． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、画出具体函数图象、求分段函数值 【分析】（1）根据函数的解析式由内到外计算可得出的值； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象； （3）分、两种情况解方程，可得其实数根. 【详解】（1）因为，则，. （2）作出函数的图象如下图所示：    （3）当时，由，可得， 当时，，此时，方程无解. 综上所述，方程的实数根为. 一、单选题 1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求分段函数值 【分析】根据函数的解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则，故. 故选：D. 2．（2025高二上·辽宁·学业考试）某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别 【分析】考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越大， 然后高度的增加量越来越小，最后高度一定，故C符合题意. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知，则的解析式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】令，求得可得的解析式，再求即可. 【详解】令，解得 所以， 则， . 故选：B. 4．（24-25高一上·吉林四平·期末）已知函数，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【知识点】求函数值 【分析】令，代入函数解析式即可求得答案. 【详解】因为函数， 所以，令可得， 故选：B. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数列出关于实数的方程，解之即可求得的值. 【详解】， 则，解得． 故选：A 6．（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的变换 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【详解】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 7．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用给定的函数关系，利用配凑法求出解析式即可判断. 【详解】函数，所以. 故选：B. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】求出，得到方程，求出答案. 【详解】3， 所以， 又，即，解得． 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的值域求定义域 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得． 由，得，即或． 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集． 设定义域为，若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立； D不可能为定义域． 故选：ABC. 10．（24-25高一上·湖南·期中）设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】解析法表示函数、函数新定义 【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可. 【详解】若，则，得为“循环函数”，故A正确； 若，则，得不是“循环函数”，故B错误； 若，则，得为“循环函数”，故C正确； 若，则，得为“循环函数”，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知函数若，则 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数计算即可得出参数. 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）定义：表示不超过的最大整数，如，，已知函数，，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、函数新定义 【分析】根据新定义及分式型函数的值域，求在、上对应值域，即可得结果. 【详解】由， 当时，，则； 当时，，则. 所以函数的值域为. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一上·云南红河·期末）根据下列条件，求的解析式. (1)已知； (2)已知是二次函数，且满足. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的解析式 【分析】（1）利用换元法，可求得函数解析式； （2）利用待定系数法，即可求得答案. 【详解】（1）令，则， 所以由， 得， 所以； （2）由题意设， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 所以. 14．（24-25高一上·云南曲靖·期中）求下列函数的解析式及定义域 (1)是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式，定义域； (3)已知，求的解析式. 【答案】(1)，定义域为； (2)，定义域为； (3)定义域为. 【知识点】已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）利用待定系数法，设一次函数解析式，根据已知等式确定系数即得； （2）利用已知式拼凑后取将其化成关于的函数式，求出的范围，改写即得； （3）用替换,列出方程组，解之即得函数解析式. 【详解】（1）依题意，可设函数， 则， 由， 可得， 所以解得. 故函数的解析式为；函数定义域为； （2）由， 取，则得， 将改为，即得函数解析式为：，函数定义域为； （3）由已知①，， 用替换，即得：②， 由①+3②，得，， 所以函数定义域为. 15．（24-25高一上·内蒙古·期中）（1）已知，求的表达式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的表达式. 【答案】； 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）利用配凑法计算解析式即可； （2）利用待定系数法计算解析式即可. 【详解】（1）易知，所以； （2）根据题意可设， 则，， 即，所以，即. 16．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【答案】（1）；（2）；（3），值域为 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）化简函数，即可求得的解析式； （2）设一次函数，利用待定系数法，即可求解； （3）令，化简 求得，即可求解. 【详解】解：（1）由函数， 所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得 因为， 因为，所以，解得， 所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为， 又单调递增，所以函数的值域为. 1．（2025高三·全国·专题练习）设函数对任意都满足，试求出． 【答案】 【知识点】求抽象函数的解析式 【分析】应用赋值法结合已知等式计算求解即可. 【详解】令代入条件得出，∴． 令代入条件得出， ∴． 再令，则有， 而用代入条件中得，       ① ①中与条件相加得 ． ∵， ． ∴， 于是． 令，有， ∴，∴或． 当时，，∴． ∵，∴， ∴，即为所求． 2．（24-25高一上·上海·期中）二次函数满足对任意的，恒成立． (1)求证：为定值； (2)若，求二次函数的表达式； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】求函数值、求二次函数的解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）取，代入恒成立的不等式即可. （2）由已知求出，结合（1）及一元二次不等式恒成立求出，再验证即可得解. （3）由（1）求得，再利用恒成立的不等式，结合一元二次方程有等根求得即可求出范围. 【详解】（1）对任意的，恒成立，则， 所以，为定值. （2）由（1）知，，由，得，则， ，不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立，则， 解得，此时，恒成立， 所以. （3）由（1）知，，， 不等式， 依题意，一元二次不等式恒成立， 则，且方程有相等的实数根，因此， 不等式， 同理，且方程有相等的实数根，因此， 从而，， 所以的取值范围是. 3．（24-25高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$