专题12 函数的奇偶性（预备知识）-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题12 函数的奇偶性 1、了解函数奇偶性的定义 2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题 知识点一：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点二：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点三：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 对点集训一：判断函数的奇偶性 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 精练 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 对点集训二：根据函数的奇偶性求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 例题2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知函数 且， 则 ． 精练 1．（2025·四川·一模）函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，且，则 ． 对点集训三：根据函数的奇偶性求解析式 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 精练 1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 3．（24-25高一上·内蒙古通辽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是 ． 对点集训四：根据函数的奇偶性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 例题2．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 精练 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）设且是奇函数，则实数的值为 . 2．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 3．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 . 对点集训五：根据函数的奇偶性解不等式 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 精练 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知奇函数在上是减函数，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数为上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且，则（   ） A．-2 B．0 C．1 D．2 5．（24-25高一上·甘肃武威·期末）若函数是定义在上的偶函数，则 =（  ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 6．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D．3 7．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）. A． B． C． D． 8．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·福建·期中）若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（   ） A．  B．  C．   D．   三、填空题 11．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 12．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 四、解答题 13．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 14．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 15．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的表达式为． (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 1．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在其定文域内为偶函数，且，则 ． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数． (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性求的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论（不需要证明）． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 函数的奇偶性 1、了解函数奇偶性的定义 2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3、会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题 知识点一：函数的奇偶性 1、定义： 1.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 1.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点二：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 3、函数的奇偶性与函数值及最值的关系 设函数的定义域为（其中） （1）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （2）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 知识点三：对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 对点集训一：判断函数的奇偶性 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的解析式判断函数性质即可判断. 【详解】A. 是偶函数，故错误； B.是奇函数，在定义域上又是减函数，故正确； C. 是偶函数，故错误； D. 是奇函数，在定义域内不单调，故错误； 故选：B 例题2．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为， 因为，所以为偶函数. （3）的定义域为， 因为，且， 所以为非奇非偶函数. 精练 1．（2024高二上·黑龙江·学业考试）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】先求函数定义域，看是否关于原点对称，再计算，并判断其与的关系. 【详解】：该函数定义域为，关于原点对称，又，所以该函数为奇函数，故错误； ：该函数定义域为，其定义域不关于原点对称，即该函数为非奇非偶函数，故错误； ：该函数定义域为，关于原点对称，又，即该函数为偶函数，故正确； ：该函数定义域为，关于原点对称，又，所以该函数为奇函数，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数. (2)偶函数. (3)非奇非偶函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义逐一判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 是奇函数. （2）函数的定义域是， ， 是偶函数. （3）函数的定义域是，不关于原点对称， 是非奇非偶函数. 对点集训二：根据函数的奇偶性求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 例题2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）已知函数 且， 则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】证明为奇函数，进而求得答案. 【详解】由，， 又，所以为奇函数， . 故答案为：. 精练 1．（2025·四川·一模）函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】应用已知结合奇偶性计算求值. 【详解】函数， 若，则， 则. 故选：D. 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，且，则 ． 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】设，证明该函数为奇函数，由求出，由奇函数得，从而求得. 【详解】设，则， 由，可得为奇函数， 因解得，故， 于是. 故答案为：. 对点集训三：根据函数的奇偶性求解析式 典型例题 例题1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等、函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 例题2．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 精练 1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等. 【详解】当时，. 因为当时，，所以此时. 又因为是偶函数，即，所以当时，. 故答案为：. 2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 3．（24-25高一上·内蒙古通辽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时， ，∴． 故答案为：. 对点集训四：根据函数的奇偶性求参数 典型例题 例题1．（24-25高一上·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数定义域的夜店求出b，继而根据为奇函数求出a，即可求得答案. 【详解】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 例题2．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，进而计算即可. 【详解】是定义在上的偶函数， 所以其定义域关于原点对称，即，所以， 因为，所以， 所以恒成立，则， 所以， 故选：C． 精练 1．（24-25高三下·上海·阶段练习）设且是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据计算可得. 【详解】函数为奇函数， 则，即， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 2．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】2 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质得到，然后解方程求解. 【详解】因为为奇函数，所以，解得或， 当时，，成立； 当时，，，，故不成立， 所以. 故答案为：2. 3．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知定义在上的奇函数，则 . 【答案】2 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数求m的值，并代入检验即可. 【详解】由题意，解得，即， 且，是奇函数，所以符合题意. 故答案为：2. 对点集训五：根据函数的奇偶性解不等式 典型例题 例题1．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）定义在上的偶函数满足：在上单调递减，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质及单调性脱去法则“f”求解不等式. 【详解】由是定义在上的偶函数，得， 又在上单调递减，因此，整理得，解得， 所以满足不等式的的取值范围是. 故选：C 例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在上是增函数； (3)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用奇函数过原点求参数，再检验是否满足奇函数即可； （2）利用定义法来证明函数的单调性； （3）利用定义在区间上的奇函数和单调递增，来解不等式即可. 【详解】（1）因为是定义在上是奇函数， ，解得：. 此时，所以函数为奇函数. 所以. （2）证明：设是区间上任意两个实数，且， 则 因为，所以， ， 是区间上的增函数. （3）因为是区间上的增函数且是奇函数， 由满足， 所以有， 解得：，即的范围是. 精练 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，求解即得的取值范围. 【详解】因是定义在上的奇函数， 由可得， 又在单调递增，则函数在上单调递增， 则得，解得. 故选：B 3．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知奇函数在上是减函数，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性和单调性可得，解之即可. 【详解】因为奇函数在上是减函数，且， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：A. 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数为上的偶函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）根据函数奇偶性和题设条件求出的值，再由奇偶性求出时的函数解析式； （2）根据（1）求得的函数解析式，判断函数在上的单调性和对称性，得到与等价的不等式组解之即得. 【详解】（1）因为函数为上的偶函数，且当时，， 因，即，解得， 所以当时，. 当时，则，，则. 故有. （2）由（1）已得： 可得在上单调递减，在上单调递增. 又，所以 由① 得：；由② 得：；由③ 得：. 故的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高一下·云南红河·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数奇偶性解不等式 【分析】利用偶函数的图像性质即可. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴其图象关于轴对称， 则即， 当，由图象知时，； 当，由图象知时，； 综上所述，不等式的解集是． 故选：D． 2．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】为奇函数，当时，， 所以， 故选：C. 4．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且，则（   ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据函数为奇函数得，令即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以，令有，又由，所以， 故选：B. 5．（24-25高一上·甘肃武威·期末）若函数是定义在上的偶函数，则 =（  ） A．-1 B．1 C．2 D．-2 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数的定义列方程组即可求解. 【详解】若函数是定义在上的偶函数，则，解得， 所以. 故选：B. 6．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】利用函数的奇偶性得，代入原函数即可得结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 即. 故选：C 7．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】由即可求解. 【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 8．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解. 【详解】. 因为，， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·福建福州·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性与单调性分别判断即可. 【详解】对于，根据一元二次函数的性质，知为偶函数，且在区间单调递增，正确； 对于，当时，，所以在区间单调递减，错误； 对于，易知为偶函数，且当时，单调递增，正确； 对于，为奇函数，错误. 故选：. 10．（24-25高三上·福建·期中）若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】AC 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别 【分析】利用函数奇偶性的定义可得结论. 【详解】因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数， 所以， 所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高三上·河南周口·期中）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质可求的值，故可求. 【详解】因为是奇函数，故， 故恒成立，故，或， 当时，函数定义域为，不关于原点对称，舍， 故，此时，故， 故答案为：. 12．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时， ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)是定义在上的奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可； （2）根据函数的单调性的判断方法即可判断证明； （3）利用（2）的结论，可将不等式转化为不等式组，求解即得. 【详解】（1）依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. （2）在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，， 在上单调递增. （3）由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 14．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的表达式； (2)判断在区间上的单调性，并证明你的结论； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1)； (2)单调递增，证明见解析； (3). 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的性质求参数，即可得函数解析式； （2）应用单调性定义证明函数单调性； （3）利用函数的奇偶性、单调性列不等式组求解集. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，，则， 此时，恒成立． （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， 而，，，故在上单调递增． （3）因为为奇函数，原不等式等价于， 又在上单调递增，所以，解得， 综上． 15．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的表达式为． (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数奇偶性的定义与判断、画出具体函数图象 【分析】（1）代入求值即可； （2）画出函数图象即可判断奇偶性，利用定义法证明即可. 【详解】（1）由题意； （2）的函数图象如图所示： 由图可知是上的奇函数，定义法证明如下： 显然，定义域是， 若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，是上的奇函数. 1．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在其定文域内为偶函数，且，则 ． 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求参数 【详解】因为为偶函数，所以，所以，所以且x不恒为0，所以，则．又因为，所以，解得，所以，故，所以． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数． (1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心； (2)请利用函数的对称性求的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论（不需要证明）． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数 【详解】解：（1）设的图象的对称中心为，则为奇函数，所以，即，所以，即，整理得（对函数定义域内的任意x都成立），所以解得所以函数的图象的对称中心为． （2）由（1）知函数图象的对称中心为，所以，则．又，所以． （3）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数，或函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$